版高中数学第三章基本初等函数Ⅰ322对数函数一学案新人教B版必修10226231.docx
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版高中数学第三章基本初等函数Ⅰ322对数函数一学案新人教B版必修10226231
3.2.2 对数函数
（一）
学习目标
1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．
知识点一 对数函数的概念
思考 已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？
梳理 ______________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．
知识点二 对数函数的图象与性质
思考 y＝logax化为指数式是x＝ay.你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗？
梳理 类似地，我们可以借助指数函数图象和性质得到对数函数图象和性质
定义
y＝logax（a>0，且a≠1）
底数
a>1
0图象
定义域
值域
单调性
在（0，＋∞）上是增函数
在（0，＋∞）上是减函数
共点性
图象过点________，即loga1＝0
函数值特点
x∈（0,1）时，y∈________；
x∈[1，＋∞）时，y∈________
x∈（0,1）时，y∈________；
x∈[1，＋∞）时，y∈________
对称性
函数y＝logax与y＝log
x的图象关于________对称
类型一 对数函数的概念
例1 已知对数函数y＝f（x）过点（4,2），求f
及f（2lg2）．
反思与感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法
一个函数是对数函数必须是形如y＝logax（a＞0，且a≠1）的形式，即必须满足以下条件：
系数为1；底数为大于0且不等于1的常数；对数的真数仅有自变量x.
跟踪训练1 判断下列函数是不是对数函数？
并说明理由．
（1）y＝logax2（a＞0，且a≠1）；
（2）y＝log2x－1；
（3）y＝logxa（x＞0，且x≠1）；
（4）y＝log5x.
类型二 与对数函数有关的定义域问题
例2 求下列函数的定义域．
（1）y＝loga（3－x）＋loga（3＋x）；
（2）y＝log2（16－4x）．
引申探究
1．把例2
（1）中的函数改为y＝loga（x－3）＋loga（x＋3），求定义域．
2．求函数y＝loga[（x＋3）（x－3）]的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？
反思与感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变．
跟踪训练2 求下列函数的定义域．
（1）y＝
；
（2）y＝log（x＋1）（16－4x）；
（3）y＝log（3x－1）（2x＋3）．
类型三 对数函数单调性的应用
例3 比较下列各组数中两个值的大小：
（1）log23.4，log28.5；
（2）log0.31.8，log0.32.7；
（3）loga5.1，loga5.9（a>0，且a≠1）．
反思与感悟 比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．对于不同底的对数，可以估算范围，如log22跟踪训练3 设a＝log3π，b＝log2
，c＝log3
，则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞b
C．b＞a＞cD．b＞c＞a
例4 函数f（x）＝log2（3x＋1）的值域为________．
反思与感悟 在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系．故求y＝logaf（x）型函数的值域必先求定义域，进而确定f（x）的范围，再利用对数函数y＝logax的单调性求出logaf（x）的取值范围．
跟踪训练4 函数y＝
的值域为（ ）
A．（0,3）B．[0,3]
C．（－∞，3]D．[0，＋∞）
类型四 对数函数的图象
例5 画出函数y＝lg|x－1|的图象．
反思与感悟 现在画图象很少单纯描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
跟踪训练5 画出函数y＝|lg（x－1）|的图象．
例6 函数f（x）＝4＋loga（x－1）（a>0，a≠1）的图象过一个定点，则这个定点的坐标是__________．
反思与感悟 y＝f（x）
y＝f（x＋a），y＝f（x）
y＝f（x）＋b.对具体函数（如对数函数）仍然适用．
跟踪训练6 已知函数y＝loga（x＋c）（a，c为常数，其中a>0，a≠1）的图象如图，则下列结论成立的是（ ）
A．a>1，c>1
B．a>1,0C．01
D．01．下列函数为对数函数的是（ ）
A．y＝logax＋1（a＞0且a≠1）
B．y＝loga（2x）（a＞0且a≠1）
C．y＝log（a－1）x（a＞1且a≠2）
D．y＝2logax（a＞0且a≠1）
2．函数y＝log2（x－2）的定义域是（ ）
A．（0，＋∞）B．（1，＋∞）
C．（2，＋∞）D．[4，＋∞）
3．函数f（x）＝log0.2（2x＋1）的值域为（ ）
A．（0，＋∞）B．（－∞，0）
C．[0，＋∞）D．（－∞，0]
4．函数y＝lg|x|的图象是（ ）
5．若函数f（x）＝2loga（2－x）＋3（a>0，且a≠1）过定点P，则点P的坐标是__________．
1．含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数．
判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y＝logax（a>0，且a≠1）的形式．如：
y＝2log2x，y＝log5
都不是对数函数，可称其为对数型函数．
2．研究y＝logaf（x）的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质．
3．研究与对数函数图象有关的问题，以对数函数图象为基础，加以平移、伸缩、对称或截取一部分．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈（0，＋∞），都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈（0，＋∞）．
梳理
函数y＝logax（a>0，且a≠1） （0，＋∞）
知识点二
思考 当a＞1时，若0＜x1＜x2，则ay1＜ay2，解指数不等式，得y1＜y2从而y＝logax在（0，＋∞）上为增函数．
当0＜a＜1时，同理可得y＝logax在（0，＋∞）上为减函数．
梳理
（0，＋∞） R （1,0） （－∞，0） [0，＋∞） （0，＋∞） （－∞，0] x轴
题型探究
例1 解 设y＝logax（a＞0，且a≠1），则2＝loga4，故a＝2，即y＝log2x，因此f
＝log2
＝－1，f（2lg2）＝log22lg2＝lg2.
跟踪训练1 解
（1）
（2）（3）不是对数函数．（4）为对数函数．
例2 解
（1）由
得－3∴函数的定义域是{x|－3（2）由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2（16－4x）的定义域为{x|x<2}．
引申探究
1．解 由
得x>3.
∴函数y＝loga（x－3）＋loga（x＋3）的定义域为{x|x>3}．
2．解 （x＋3）（x－3）>0，即
或
解得x<－3或x>3.
∴函数y＝loga[（x＋3）（x－3）]的定义域为{x|x<－3或x>3}．
相比引申探究1，函数y＝loga[（x＋3）（x－3）]的定义域多了（－∞，－3）这个区间，原因是对于y＝loga[（x＋3）·（x－3）]，要使对数有意义，只需（x＋3）与（x－3）同号，而对于y＝loga（x－3）＋loga（x＋3），要使对数有意义，必须（x－3）与（x＋3）同时大于0.
跟踪训练2 解
（1）要使函数有意义，需
即
即－3故所求函数的定义域为（－3，－2）∪[2，＋∞）．
（2）要使函数有意义，
需
即
所以－1故所求函数的定义域为{x|－1（3）要使函数有意义，需
即
所以x>
且x≠
，
故所求函数的定义域为
∪
.
例3 解
（1）考察对数函数y＝log2x，
因为它的底数2>1，
所以它在（0，＋∞）上是增函数，
又3.4＜8.5，
于是log23.4（2）考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0<0.3<1，
所以它在（0，＋∞）上是减函数，
又1.8＜2.7，
于是log0.31.8>log0.32.7.
（3）当a>1时，y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，
又5.1＜5.9，
于是loga5.1当0又5.1＜5.9，
于是loga5.1>loga5.9.
综上，当a＞1时，loga5.1＜loga5.9，
当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.
跟踪训练3 A
例4 （0，＋∞）
跟踪训练4 D
例5 解
（1）先画出函数y＝lgx的图象（如图）．
（2）再画出函数y＝lg|x|的图象（如图）．
（3）最后画出函数y＝lg|x－1|的图象（如图）．
跟踪训练5 解
（1）先画出函数y＝lgx的图象（如图）．
（2）再画出函数y＝lg（x－1）的图象（如图）．
（3）再画出函数y＝|lg（x－1）|的图象（如图）．
例6 （2,4）
跟踪训练6 D
当堂训练
1．C 2.C 3.B 4.A 5.（1,3）
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