A.B.
C.D.
答案 A
解析 ∵00，
∴y＝x（3－3x）＝3x（1－x）≤3×[]2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．
6．若对x>0，y>0，不等式（x＋2y）（＋）≥m恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．（－∞，8]B．（8，＋∞）
C．（－∞，0）D．（－∞，4]
答案 A
解析 （x＋2y）（＋）＝4＋（＋）．
∵x>0，y>0，∴>0，>0，∴＋≥2＝4，
当且仅当＝，即x＝2y时等号成立，
∴（x＋2y）（＋）的最小值为8，故m≤8.
7．若a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为（ ）
A．2B．4
C．6D．8
答案 B
8．已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是（ ）
A．2B．2
C．4D．2
答案 C
解析 ∵lg2x＋lg8y＝lg2，∴lg（2x·8y）＝lg2，∴2x＋3y＝2，∴x＋3y＝1.
∵x>0，y>0，∴＋＝（x＋3y）（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号，故选C.
9．若函数f（x）＝x＋（x>2）在x＝a处取最小值，则a＝（ ）
A．3B．1＋
C．1＋D．4
答案 A
解析 f（x）＝x＋＝x－2＋＋2.
∵x>2，∴x－2>0.
∴f（x）＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时“＝”成立．
又f（x）在x＝a处取最小值．∴a＝3.
10．设x>y>z，n∈N，且＋≥恒成立，则n的最大值为（ ）
A．2B．3
C．4D．5
答案 C
解析 ∵＋＝≥＝，∴n的最大值为4.
11．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值为________．
答案 18
解析 ∵＋＝1，
∴x＋2y＝（x＋2y）×（＋）＝8＋＋＋2＝10＋（＋）．
∵x>0，y>0，∴>0，>0.
∴＋≥2＝8，
当且仅当即时等号成立．
∴x＋2y的最小值为18.
12．建造一个容积为18m3，深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每1m2的造价分别为200元和150元，那么水池的最低造价为________元．
答案 5400
解析 设水池的造价为y元，池底的长为am，则由题意知，池底的宽为m，
故y＝（2a×150）×2＋（2××150）×2＋9×200
＝600（a＋）＋1800≥600×2＋1800
＝5400，
当且仅当a＝，即a＝3（m）时取等号．
故水池的最低造价为5400（元）．
13．已知正实数a，b满足2ab＝a＋b＋12，则ab的最小值是________．
答案 9
解析 由2ab＝a＋b＋12，得2ab≥2＋12，化简得（－3）（＋2）≥0，解得ab≥9，所以ab的最小值是9.
14．设x>－1，求y＝的最小值．
解析 ∵x>－1，∴x＋1>0.
设x＋1＝t>0，则x＝t－1.
于是有y＝＝
＝t＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，函数y＝取得最小值为9.
15．求函数y＝的值域．
解析 函数的定义域为R，y＝＝1＋.
（1）当x＝0时，y＝1；
（2）当x>0时，y＝1＋≤1＋＝4.当且仅当x＝时，即x＝1时，ymax＝4；
（3）当x<0时，y＝1＋＝1－≥1－＝－2.
当且仅当－x＝－时，即x＝－1时，ymin＝－2.
综上所述：
－2≤y≤4，即函数的值域是[－2，4]．
16．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，若将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x（单位：
元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：
平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝）
解析 设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋＝560＋48（x＋）．
当x＋取最小值时，y有最小值．
∵x>0，∴x＋≥2＝30.
当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立．
所以当x＝15时，y有最小值2000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．
17．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
解析 设该厂应每隔x天购买一次面粉，则其购买量为6x吨．由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6（x－1）＋…＋6×2＋6×1]＝9x（x＋1）．
设每天所支付的总费用为y1元，则
y1＝[9x（x＋1）＋900]＋6×1800
＝＋9x＋10809≥2＋10809＝10989，
当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．
所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
1．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为（ ）
A.B.
C.D．1
答案 D
解析 由条件可知x＝loga3，y＝logb3，所以＋＝log3a＋log3b＝log3（ab）．又a＋b＝2≥2，所以ab≤3，log3（ab）≤1.故选D.
2．当x<时，求函数y＝x＋的最大值．
解析 y＝（2x－3）＋＋＝－（＋）＋，
∵当x<时，3－2x>0，
∴＋≥2＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数有最大值－.
3．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
（1）＋＋≥8；
（2）（1＋）（1＋）≥9.
证明
（1）＋＋＝＋＋＝2（＋），
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8（当且仅当a＝b＝时等号成立）．
（2）∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，
同理，1＋＝2＋，
∴（1＋）（1＋）＝（2＋）（2＋）＝5＋2（＋）≥5＋4＝9.
∴（1＋）（1＋）≥9（当且仅当a＝b＝时等号成立）．
4．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙的长度为x（单位m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：
元）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）试确定x，使修建此矩形场地的围墙的总费用最少，并求出最少总费用．
解析
（1）设矩形的另一边长为am，
则y＝45x＋180（x－2）＋180·2a＝225x＋360a－360.
由已知ax＝360，得a＝.∴y＝225x＋－360（x>0）．
（2）∵x>0，∴225x＋≥2＝10800.
∴y＝225x＋－360≥10440，当且令当225x＝时，等号成立．
即当x＝24m时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元．
1．（2016·课标全国Ⅰ，理）若a>b>1，0A．acC．alogbc答案 C
解析 对于选项A，考虑幂函数y＝xc，因为c>0，所以y＝xc为增函数，又a>b>1，所以ac>bc，A项错．对于选项B，abc2．（2016·浙江）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝（ ）
A．2B．4
C．3D．6
答案 C
解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，又C（2，－2），D（－1，1），所以|AB|＝|CD|＝＝3.故选C.
3．（2016·山东）若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是（ ）
A．4B．9
C．10D．12
答案 C
解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P（x，y）为平面区域内任意一点，则x2＋y2表示|OP|2.显然，当点P与点A重合时，|OP|2即x2＋y2取得最大值．由解得故A（3，－1）．所以x2＋y2的最大值为32＋（－1）2＝10.故选C.
4．（2015·陕西）设f（x）＝lnx，0A．q＝rp
C．p＝rq
答案 C
解析 p＝f（）＝ln，q＝f（）＝ln，r＝（lna＋lnb）＝ln，
函数f（x）＝lnx在（0，＋∞）上单调递增，因为>，所以p＝r5．（2014·安徽）x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）
A.或－1B．2或
C．2或1D．2或－1
答案 D
解析
作出约束条件满足的可行域，根据z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，通过数形结合分析求解．如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.
6．（2015·北京，理）若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为（ ）
A．0B．1
C.D．2
答案 D
解析 由题意作出可行域如图中阴影部分所示，当z＝x＋2y经过点A（0，1）时，目标函数取得最大值，且zmax＝0＋2×1＝2.
7．（2015·湖南，文）若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值为（ ）
A．－1B．0
C．1D．2
答案 A
解析 画出可行域，如图中阴影部分所示，平移参照直线2x－y＝0，当直线2x－y＝z经过x＋y＝1与y－x＝1的交点（0，1）时，z取最小值为zmin＝2×0－1＝－1，选A.
8．（2015·陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
甲
乙
原料限额
A（吨）
3
2
12
B（吨）
1
2
8
A.12万元B．16万元
C．17万元D．18万元
答案 D
解析 设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x，y吨，则利润z＝3x＋4y.
由题意可列其表示如图阴影部分区域．当直线3x＋4y－z＝0过点A（2，3）时，z取得最大值，所以zmax＝3×2＋4×3＝18，故选D项．
9．（2015·四川，文）设实数x，y满足则xy的最大值为（ ）
A.B.
C．12D．16
答案 A
解析 根据不等式组作出可行域，如图中阴影部分所示．在△ABC区域中结合图像可知，当动点在线段AC上时xy取得最大值，此时2x＋y＝10，xy＝（2x·y）≤（）2＝，当且仅当x＝，y＝5时取等号，对应点（，5）落在线段AC上，故xy的最大值为，选A.
10．（2014·山东）已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为（ ）
A．5B．4
C.D．2
答案 B
解析 方法一：
不等式组表示的平面区域如图所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A（2，1）处取得最小值，故2a＋b＝2，两端平方得4a2＋b2＋4ab＝20.又4ab＝2×a×2b≤a2＋4b2，
所以20≤4a2＋b2＋a2＋4b2＝5（a2＋b2），所以a2＋b2≥4，即a2＋b2的最小值为4，当且仅当a＝2b，即b＝，a＝时等号成立．
方法二：
把2a＋b＝2看作平面直角坐标系aOb中的直线，则a2＋b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a2＋b2的最小值是坐标原点到直线2a＋b＝2距离的平方，即＝4.
11．（2014·北京，理）若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为（ ）
A．2B．－2
C.D．－
答案 D
解析 作出可行域，平移直线y＝x，由z的最小值为－4求参数k的值．
作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx－y＋2＝0与x轴的交点为A.
∵z＝y－x的最小值为－4，∴＝－4，解得k＝－，故选D项．
12．（2016·课标全国Ⅱ，文）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝（ ）
A．{－2，－1，0，1，2，3}B．{－2，－1，0，1，2}
C．{1，2，3}D．{1，2}
答案 D
13．（2016·山东，理）设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝（ ）
A．（－1，1）B．（0，1）
C．（－1，＋∞）D．（0，＋∞）
答案 C
14．（2015·福建，文）若直线＋＝1（a>0，b>0）过点（1，1），则a＋b的最小值等于（ ）
A．2B．3
C．4D．5
答案 C
解析 方法一：
因为直线＋＝1（a>0，b>0）过点（1，1），所以＋＝1，所以1＝＋≥2＝（当且仅当a＝b时取等号），所以≥2.又a＋b≥2（当且仅当a＝b时取等号），所以a＋b≥4（当且仅当a＝b＝2时取等号），故选C.
方法二：
因为直线＋＝1（a>0，b>0）过点（1，1），所以＋＝1，所以a＋b＝（a＋b）（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4（当且仅当a＝b＝2时取等号），故选C.
15．（2015·湖南，文）若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为（ ）
A.B．2
C．2D．4
答案 C
解析 由题意知，a>0，b>0.∵＝＋≥2＝2.即ab≥2.当且仅当即时取“＝”．故选C.
16．（2015·江苏）不等式2x2－x<4的解集为________．
答案 （－1，2）
解析 不等式2x2－x<4⇔x2－x<2⇔－117．（2014·江苏）已知函数f（x）＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是________．
答案 （－，0）
解析 由题可得f（x）<0对于x∈[m，m＋1]恒成立，即解得－18．（2014·浙江，理）当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [1，]
解析 由线性规划的可行域，求出三个交点坐标分别为（1，0），（1，），（2，1），都代入1≤ax＋y≤4，可得1≤a≤.
19．（2016·课标全国Ⅰ，理）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
答案 216000
解析 由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2100x＋900y，线性约束条件为
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为（60，100），所以zmax＝2100×60＋900×100＝216000（元）
20．（2016·天津）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
并求出此最大利润．
解析
（1）由已知，x，y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：
图1
（2）设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
图2
解方程组得点M的坐标为（20，24）．
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
答：
生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
21．（2016·山东，理）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2（tanA＋tanB）＝＋.
（1）证明：
a＋b＝2c；
（2）求cosC的最小值．
解析
（1）由题意知2（＋）＝＋，化简得2（sinAcosB＋sinBcosA）＝sinA＋sinB，
即2sin（A＋B）＝sinA＋sinB，
因为A＋B＋C＝π，
所以sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC.
从而sinA＋sinB＝2sinC.
由正弦定理得a＋b＝2c.
（2）由
（1）知c＝，
所以cosC＝＝＝（＋）－≥，
当且仅当a＝b时，等号成立．
故cosC的最小值为.
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