《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案.doc
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概率论与数理统计习题答案第四版盛骤（浙江大学）
浙大第四版（高等教育出版社）
第一章概率论的基本概念
1.[一]写出下列随机试验的样本空间
（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一]1）
，n表小班人数
（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一]2）
S={10，11，12，………，n，………}
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一]（3））
S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}
2.[二]设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。
（1）A发生，B与C不发生。
表示为：
或A－（AB+AC）或A－（B∪C）
（2）A，B都发生，而C不发生。
表示为：
或AB－ABC或AB－C
（3）A，B，C中至少有一个发生 表示为：
A+B+C
（4）A，B，C都发生， 表示为：
ABC
（5）A，B，C都不发生， 表示为：
或S－（A+B+C）或
（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生
相当于中至少有一个发生。
故表示为：
。
（7）A，B，C中不多于二个发生。
相当于：
中至少有一个发生。
故表示为：
（8）A，B，C中至少有二个发生。
相当于：
AB，BC，AC中至少有一个发生。
故表示为：
AB+BC+AC
6.[三]设A，B是两事件且P（A）=0.6，P（B）=0.7.问
（1）在什么条件下P（AB）取到最大值，最大值是多少？
（2）在什么条件下P（AB）取到最小值，最小值是多少？
解：
由P（A）=0.6，P（B）=0.7即知AB≠φ，（否则AB=φ依互斥事件加法定理，P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.6+0.7=1.3>1与P（A∪B）≤1矛盾）.
从而由加法定理得
P（AB）=P（A）+P（B）－P（A∪B） （*）
（1）从0≤P（AB）≤P（A）知，当AB=A，即A∩B时P（AB）取到最大值，最大值为
P（AB）=P（A）=0.6，
（2）从（*）式知，当A∪B=S时，P（AB）取最小值，最小值为
P（AB）=0.6+0.7－1=0.3。
7.[四]设A，B，C是三事件，且，.求A，B，C至少有一个发生的概率。
解：
P（A，B，C至少有一个发生）=P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）－P（AB）－P（BC）－P（AC）+P（ABC）=
8.[五]在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？
记A表“能排成上述单词”
∵从26个任选两个来排列，排法有种。
每种排法等可能。
字典中的二个不同字母组成的单词：
55个
∴
9.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。
（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）
记A表“后四个数全不同”
∵后四个数的排法有104种，每种排法等可能。
后四个数全不同的排法有
∴
10.[六]在房间里有10人。
分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。
（1）求最小的号码为5的概率。
记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A
∵10人中任选3人为一组：
选法有种，且每种选法等可能。
又事件A相当于：
有一人号码为5，其余2人号码大于5。
这种组合的种数有
∴
（2）求最大的号码为5的概率。
记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有种，且每种选法等可能，又事件B相当于：
有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有种
11.[七]某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。
在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？
记所求事件为A。
在17桶中任取9桶的取法有种，且每种取法等可能。
取得4白3黑2红的取法有
故
12.[八]在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。
（1）求恰有90个次品的概率。
记“恰有90个次品”为事件A
∵在1500个产品中任取200个，取法有种，每种取法等可能。
200个产品恰有90个次品，取法有种
∴
（2）至少有2个次品的概率。
记：
A表“至少有2个次品”
B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有种，200个产品含一个次品，取法有种
∵ 且B0，B1互不相容。
∴
13.[九]从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？
记A表“4只全中至少有两支配成一对”
则表“4只人不配对”
∵从10只中任取4只，取法有种，每种取法等可能。
要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。
取法有
15.[十一]将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？
记Ai表“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3,
三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能
对A1：
必须三球放入三杯中，每杯只放一球。
放法4×3×2种。
（选排列：
好比3个球在4个位置做排列）
对A2：
必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。
放法有种。
（从3个球中选2个球，选法有，再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。
对A3：
必须三球都放入一杯中。
放法有4种。
（只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种）
16.[十二]50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？
记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。
法一：
用古典概率作：
把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。
但10组钉铆完10个部件要分先后次序）
对E：
铆法有种，每种装法等可能
对A：
三个次钉必须铆在一个部件上。
这种铆法有〔〕×10种
法二：
用古典概率作
把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。
（铆钉要计先后次序）
对E：
铆法有种，每种铆法等可能
对A：
三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，…或“28，29，30”位置上。
这种铆法有种
17.[十三]已知。
解一：
注意.故有
P（AB）=P（A）－P（A）=0.7－0.5=0.2。
再由加法定理，
P（A∪）=P（A）+P（）－P（A）=0.7+0.6－0.5=0.8
于是
18.[十四]。
解：
由
由乘法公式，得
由加法公式，得
19.[十五]掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。
解：
（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P（A|B），即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。
掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x,y）（x,y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为
S={（x,y）|（1,6）,（6,1）,（2,5）,（5,2）,（3,4）,（4,3）}
每种结果（x,y）等可能。
A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。
故}
方法二：
（用公式
S={（x,y）|x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能
A=“掷两颗骰子，x,y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。
则，
故
20.[十六]据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：
P（A）=P{孩子得病}=0.6，P（B|A）=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P（C|AB）=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。
求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
解：
所求概率为P（AB）（注意：
由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P（|AB）
P（AB）=P（A）=P（B|A）=0.6×0.5=0.3,P（|AB）=1－P（C|AB）=1－0.4=0.6.
从而P（AB）=P（AB）·P（|AB）=0.3×0.6=0.18.
21.[十七]已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
（1）二只都是正品（记为事件A）
法一：
用组合做在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。
法二：
用排列做在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。
法三：
用事件的运算和概率计算法则来作。
记A1，A2分别表第一、二次取得正品。
（2）二只都是次品（记为事件B）
法一：
法二：
法三：
（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）
法一：
法二：
法三：
（4）第二次取出的是次品（记为事件D）
法一：
因为要注意第一、第二次的顺序。
不能用组合作，
法二：
法三：
22.[十八]某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？
如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
记H表拨号不超过三次而能接通。
Ai表第i次拨号能接通。
注意：
第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。
如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。
24.[十九]设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？
（此为第三版19题
（1））
记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”
再记B表“再从乙袋中取得白球”。
∵ B=A1B+A2B且A1，A2互斥
∴ P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）
=
[十九]
（2）第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。
先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。
记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。
C2为“从第一盒子中取得2只白球”。
C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，
D为“从第二盒子中取得白球”，显然C1，C2，C3两两互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有
P（D）=P（C1）P（D|C1）+P（C2）P（D|C2）+P（C3）P（D|C3）
26.[二十一]已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。
今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
解：
A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1A2=φ
由已知条件知
由贝叶斯公式，有
[二十二]一学生接连参加同一课程的两次考试。
第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为
（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。
（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。
解：
Ai={他第i次及格}，i=1,2
已知P（A1）=P（A2|A1）=P，
（1）B={至少有一次及格}
所以
∴
（2） （*）
由乘法公式，有P（A1A2）=P（A1）P（A2|A1）=P2
由全概率公式，有
将以上两个结果代入（*）得
28.[二十五]某人下午5:
00下班，他所积累的资料表明：
到家时间
5:
35~5:
39
5:
40~5:
44
5:
45~5:
49
5:
50~5:
54
迟于5:
54
乘地铁到
家的概率
0.10
0.25
0.45
0.15
0.05
乘汽车到
家的概率
0.30
0.35
0.20
0.10
0.05
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:
47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。
解：
设A=“乘地铁”，B=“乘汽车”，C=“5:
45~5:
49到家”，由题意,AB=φ,A∪B=S
已知：
P（A）=0.5,P（C|A）=0.45,P（C|B）=0.2,P（B）=0.5
由贝叶斯公式有
29.[二十四]有两箱同种类型的零件。
第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。
今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。
试求
（1）第一次取到的零件是一等品的概率。
（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。
解：
设Bi表示“第i次取到一等品”i=1，2
Aj表示“第j箱产品” j=1,2，显然A1∪A2=S A1A2=φ
（1）（B1=A1B+A2B由全概率公式解）。
（2）
（先用条件概率定义，再求P（B1B2）时，由全概率公式解）
3
1
2
L
R
32.[二十六
（2）]如图1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L和R是通路的概率。
5
4
记Ai表第i个接点接通
记A表从L到R是构成通路的。
∵A=A1A2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥
∴P（A）=P（A1A2）+P（A1A3A5）+P（A4A5）+P（A4A3A2）－P（A1A2A3A5）
+P（A1A2A4A5）+P（A1A2A3A4）+P（A1A3A4A5）
+P（A1A2A3A4A5）P（A2A3A4A5）+P（A1A2A3A4A5）+P（A1A2A3A4A5）
+（A1A2A3A4A5）+P（A1A2A3A4A5）－P（A1A2A3A4A5）
又由于A1，A2，A3，A4，A5互相独立。
故 P（A）=p2+p3+p2+p3－[p4+p4+p4+p4+p5+p4]
+[p5+p5+p5+p5]－p5=2p2+3p3－5p4+2p5
[二十六
（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。
它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图
（1）的方式联接，求系统的可靠性。
记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，
2
4
1
3
A表示系统正常。
∵A=A1A2A3+A1A4两种情况不互斥
∴P（A）=P（A1A2A3）+P（A1A4）－P（A1A2A3A4） （加法公式）
=P（A1）P（A2）P（A3）+P（A1）P（A4）－P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）
=P1P2P3+P1P4－P1P2P3P4 （A1,A2,A3,A4独立）
34.[三十一]袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）。
在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。
问这只硬币是正品的概率为多少？
解：
设“出现r次国徽面”=Br “任取一只是正品”=A
由全概率公式，有
（条件概率定义与乘法公式）
35．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。
飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。
求飞机被击落的概率。
解：
高Hi表示飞机被i人击中，i=1，2，3。
B1，B2，B2分别表示甲、乙、丙击中飞机
∵ ，三种情况互斥。
三种情况互斥
又B1，B2，B2独立。
∴
+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41
P（H3）=P（B1）P（B2）P（B3）=0.4×0.5×0.7=0.14
又因：
A=H1A+H2A+H3A 三种情况互斥
故由全概率公式，有
P（A）=P（H1）P（A|H1）+P（H2）P（A|H2）+P（H3）P（AH3）
=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458
36.[三十三]设由以往记录的数据分析。
某船只运输某种物品损坏2%（这一事件记为A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分别为P（A1）=0.8,P（A2）=0.15,P（A2）=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为B），试分别求P（A1|B）P（A2|B）,P（A3|B）（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地）
∵ B表取得三件好物品。
B=A1B+A2B+A3B 三种情况互斥
由全概率公式，有
∴ P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
=0.8×（0.98）3+0.15×（0.9）3+0.05×（0.1）3=0.8624
37.[三十四]将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是（1－α）/2。
今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1,p2,p3（p1 +p2+p3=1），已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？
（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。
）
解：
设D表示输出信号为ABCA，B1、B2、B3分别表示输入信号为AAAA，BBBB，CCCC，则B1、B2、B3为一完备事件组，且P（Bi）=Pi,i=1,2,3。
再设A发、A收分别表示发出、接收字母A，其余类推，依题意有
P（A收|A发）=P（B收|B发）=P（C收|C发）=α，
P（A收|B发）=P（A收|C发）=P（B收|A发）=P（B收|C发）=P（C收|A发）=P（C收|B发）=
又P（ABCA|AAAA）=P（D|B1）=P（A收|A发）P（B收|A发）P（C收|A发）P（A收|A发）
=，
同样可得P（D|B2）=P（D|B3）=
于是由全概率公式，得
由Bayes公式，得
P（AAAA|ABCA）=P（B1|D）=
=
[二十九]设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。
独立地分别从两只盒子各取一只球。
（1）求至少有一只蓝球的概率，
（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。
解：
记A1、A2、A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1、B2、B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。
（1）记C={至少有一只蓝球}
C=A1B1+A1B2+A1B3+A2B1+A3B1，5种情况互斥
由概率有限可加性，得
（2）记D={有一只蓝球，一只白球}，而且知D=A1B3+A3B1两种情况互斥
（3）
[三十]A，B，C三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给A，B，C的电话的概率分别为。
他们三人常因工作外出，A，B，C三人外出的概率分别为，设三人的行动相互独立，求
（1）无人接电话的概率；
（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了3个电话，求（3）这3个电话打给同一人的概率；（4）这3个电话打给不同人的概率；（5）这3个电话都打给B，而B却都不在的概率。
解：
记C1、C2、C3分别表示打给A，B，C的电话
D1、D2、D3分别表示A，B，C外出
注意到C1、C2、C3独立，且
（1）P（无人接电话）=P（D1D2D3）=P（D1）P（D2）P（D3）
=
（2）记G=“被呼叫人在办公室”，三种情况互斥，由有限可加性与乘法公式
（3）H为“这3个电话打给同一个人”
（4）R为“这3个电话打给不同的人”
R由六种互斥情况组成，每种情况为打给A，B，C的三个电话，每种情况的概率为
于是
（5）由于是知道每次打电话都给B，其概率是1，所以每一次打给B电话而B不在的概率为，且各次情况相互独立
于是P（3个电话都打给B，B都不在的概率）=
第二章随机变量及其分布
1.[一]一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律
解：
X可以取值3，4，5，分布律为
也可列为下表
X：
3，4，5
P：
3.[三]设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，
（1）求X的分布律，
（2）画出分布律的图形。
解：
任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。
P
x
1
2
O
再列为下表
X：
0，1，2
P：
4.[四]进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q=1－p（0（1）将实验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。
（此时称X服从以p为参数的几何分布。
）
（2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。
（此时称Y服从以r,p为参数的巴斯卡分布。
）
（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。
解：
（1）P（X=k）=qk－1p k=1,2,……
（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n－1次有n次失败，且最后一次成功}
其中q=1－p，
或记r+n=k，则P{Y=k}=
（3）P（X=k）=（0.55）k－10.45 k=1,2…
P（X取偶数）=
6.[六]一大楼装有5
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