广西南宁玉林柳州桂林高三第一次适应性检测数学理试题.docx
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广西南宁玉林柳州桂林高三第一次适应性检测数学理试题
2015年高中毕业班第一次适应性检测
数学试卷（理科）
第I卷
一．选择题：
本大题共12小题，每小题5分共60分。
1．已知全集U＝R,集合A＝{x|x2＋3x－10＞0},B＝{x|－2≤x≤5}，则（∁UA）∩B等于
（A）{x|＝5＜x≤3}（B）{x|－2＜x≤5}（C）{x|－2≤x≤2}（D）{x|－5≤x≤5}
2．设复数z满足z•（1－i）＝2，则复数z的模|z|等于
（A）（B）2（C）（D）4
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a4＝－8，则S5等于
（A）－11（B）11（C）31（D）－31
4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0,＋∞）上单调递减的函数是
（A）y＝lnx（B）y＝x2（C）y＝cosx（D）y＝2－|x|
5．（1－）5的展开式中，x2的系数
（A）－5（B）5（C）－10（D）10
6．已知x，y满足，则目标函数z＝x＋y的最大值为
（A）4（B）5（C）6（D）7
7．如图所示的程序框图中输出的a的结果为
（A）2（B）－2（C）（D）－
8．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四锥的三视图可以是下列各图中的
9．已知函数f（x）＝sin（x＋），其中x∈[－,a]，若f（x）的值域是[－,1]，则a的取值范围是
（A）（－,]（B）[,]（C）[,]（D）[,π]
10．甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为
（A）（B）（C）（D）
11．双曲线－＝1（a＞0,b＞0）与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于A、B两点，直线AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为
（A）（B）1＋（C）2（D）2＋
12．定义域为[a,b]的函数y＝f（x）的图象的两个端点为A、B，M（x,y）是f（x）图象上任意一点，其中x＝λa＋（1－λ）b，向量＝λ＋（1－λ），其中O为坐标原点，若不等式||≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”，若函数y＝x＋在[1,2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为
（A）[0,＋∞）（B）[1,＋∞）（C）[－,＋∞）（D）[＋,＋∞）
二．填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若a2＋b2＝4c2（c≠0），则圆O:
x2＋y2＝1的圆心到直线l:
ax＋by＋c＝0的距离为_____
14．已知向量＝（,1）,＝（0,1）,＝（k,），若（＋2）⊥，则k＝_________
15．在数列{an}中，已知a1＝2,a2＝7，记an与an＋1的积的个位数为an＋2，则a2015＝____
16．已知长方体ABCD-A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，
OA⊥平面BDE，则球O的表面积为_____________
三．解答题：
本大题共6小题，共70分，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤。
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知cos＝，
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若acosB＋bcosA＝2,a＝,求sinA的值。
18．（本小题满分12分）
某网站且“10分制”调查一社区人们的治安满意度，现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数为茎，小数点后一位数字为叶）；
（Ⅰ）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；
（Ⅱ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“极安全”的人数，求X的分布列及数学期望。
治安满意度
7
3
0
8
6
6
6
6
7
7
8
8
9
9
9
7
6
5
5
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝AA1，D为AB的中点，
（Ⅰ）求证：
BC1∥平面DCA1；
（Ⅱ）求二面D－CA1－C1的平面角的余弦值。
（20）（本小题满分12分）l
已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（,），
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS,BS与直线l：
x＝分别交于M、N两点，求线段MN长度的最小值。
（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝xlnx＋ax（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[e2,＋∞）上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x∈（1,＋∞），f（x）＞k（x－1）＋ax－x恒成立，求正整数k的值。
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本题满分10分）选修4－1：
几何证明选讲
已知：
直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与A、F垂直，垂足为G，连结AC
（Ⅰ）求证：
∠BAC＝∠CAG；
（Ⅱ）求证：
AC2＝AE•AF
修4－4：
坐标系与参数方程
23．（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2＋t,y＝t＋1,（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线P的方程为ρ2－4ρcosθ＋3＝0
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|。
24．（本小题满分10分）选修4－5：
不等式选讲
设函数f（x＝|x＋1|＋|x－4|－a
（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）≥＋1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围。
2015年高中毕业班第一次适应性检测理科数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
D
B
D
A
C
D
A
B
C
13．14.－315.216.16π
1.A＝{x|x2＋3x－10＞0）}＝{x|x＞2或x＜－5}
∴∁UA＝{x|－5≤x≤2}
∴（∁UA）∩B＝{x|－2≤x≤2}
2.z•（1－i）＝2∴z＝＝＝1＋i∴|z|＝
3．设公比为q，则a4＝a1q3＝－8∴q＝－2
∴S5＝＝＝11
4．y＝lnx单调递增，且为非奇非偶函数，不成立，y＝x2是偶函数，但在（0,＋∞）上递增，不成立，y＝cosx为偶函数，但在（0,＋∞）上不单调，不成立，∴选D
5．展开式的通项公式为Tk＋1＝C（－1）k（）k＝（－1）Cx
∴当k＝4时T5＝Cx2＝5x2,即展开式中x2的系数是5。
6．画出可行域如图所示，可知当目标函数过点A（4,3）时，取值最大，zmax＝4＋3＝7
7．i＝1,a＝2；i＝2,a＝＝－1；i＝3,a＝＝；i＝4,a＝＝2，此时i＝4≥4退出循环。
8．选A，B，D中的俯视图，正方形内的线应该为另一条对角线，当四棱锥的直观图为右图时，它的三视图是C
9．若－≤x≤a，则－≤x＋≤a＋∵当x＋＝－或x＋＝时，sin（x＋）＝－，
∴要使f（x）的值域是[－,1]，则有≤a＋≤，≤a≤π，即a的取值范围是[,π]
10.P＝＝,第一个CA表示甲与除乙外的某一位志愿者一起去同一个岗位服务，第二个CA表示乙与除甲外的某一位志愿者一起去同一个岗位服务，CA表示甲与乙都一个人去某一岗位服务。
11．抛物线的焦点为F（,0），且c＝，
∴p＝2c，根据对称性可知公共弦AB⊥x轴，且AB的方程为x＝,
当x＝时，yA＝p，∴A（,p）
∴F1（－,0），即AF1＝＝p，AF＝p，
∴p－p＝2a即（－1）×2c＝2a∴＝＝＋1，选B
12．由题意知a＝1,b＝2∴A（1,2），B（2,）
∴直线AB的方程为y＝（x＋3），
∵xM＝λa＋（1－λ）b＝λ＋2（1－λ）＝2－λ，＝λ＋（1－λ）＝λ（1,2）＋（1－λ）（2,）＝（2－λ,－）∴xN＝2－λ，M、N的横坐标相同，且点N在直线AB上，
∴||＝|yM－yN|＝|x＋－（x＋3）|＝|＋－|
∵＋≥2＝且＋≤
∴||＝|＋－|＝－（＋）≤－，
即||的最大值为－∴k≥－
13.圆心O到直线l：
ax＋by＋c＝0的距离为d＝＝
14.∵＋2与垂直∴有（＋2）•＝0即•＋2•＝0
∴k＋＋2＝0解得k＝－3
15．a1a2＝2×7＝14∴a3＝4,4×7＝28∴a4=8,4×8＝32,
∴a5=2,2×8＝16∴a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4,a10＝8,a11＝2
∴从第三项起，an的值成周期排列，周期数为6，2015＝335×6＋5
∴a2015＝a5＝2
16．取BD的中点为O1，连结OO1，OE，O1E，则四边形OO1AE为矩形，
∵OA⊥平面BDE∴OA⊥EO1，即四边形OO1AE为正方形，则球O的半径R＝OA＝2
∴球O的表面积S＝4π×22＝16π
（17）（本小题满分12分）
（Ⅰ）∵cos＝∴cosC＝2cos2－1＝2（）2－1＝……………5分
（Ⅱ）∵acosB＋bcosA＝2∴a×＋b×＝2…………7分
∴c＝2又∵a＝,cosC＝∴sinC＝…………………………………9分
＝得sinA＝＝＝………………………………12分
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