完整版水平宽铅垂高求三角形面积docWord文档格式.docx
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设直线AB为y=kx+b.所以kb3,解得3,因此直线AB为y3x23,当x=-1时,y3,
2kb0.23333b
3
因此点C的坐标为
(-1,
3/3).
(4)如图,
过P
作y轴的平行线交AB于D
SSS1(y
SPABSPADSPBD2(yD
yP)(xBxA)
13
x
23
32x
23x3
32
3x
2
1
93
8
当x=-1时,△PAB的面积的最大值为93,此时P1,3
2824
例2.(2014益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物
连结PA,PB,当P点运动到顶点
线和直线AB的解析式;
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,
(2)因为C点坐标为(1,4)所以当x=1时,y1=4,y2=2所以CD=4-2=2SCAB323(平方单位)
(3)假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h,则
229129
hy1y2(x22x3)(x3)x23x由S△PAB=S△CAB得3(x23x)3化简
828
线的解析式;
(2)设
(1)中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的
周长最小?
若存在,求出Q点的坐标;
若不存在,请说明理由.(3)在
(1)中的抛物线上的第二象限上
明理由.
(1)将A(1,0),B(-3,
0)代y
x2bx
c中得
c=0
3b
c0
∴抛物线解析式为:
y
x22x
(2)存在。
理由如下:
由题知A、B两点关于抛物线的对称轴
1对称
∴直线BC与x1的交点即为Q点,此时△AQC周长最小
2x
∴C的坐标为:
(0,3)直线BC解析式为:
yx3Q点坐标即为
的解
x3
x1
∴Q(-1,2)
y2
3)答:
存在。
理由如下:
12(x
(x,
3)
(3x
0)∵
SBPCS四边形BPCO
S四边形BPCO
=SRt
S直角梯形PEOC
SBPC就最大,
BPE
3)(
1(x)(
2x
33)=
有最大值,则
P点
S四边形BPCO最大值=
x22x3145
27
点P
SBOCS四边形BPCO若S四边形BPCO
211
BEPEOE(PEOC)
22
2(x
2)
最大=
9
15
(32,
)
4
标为
SBPC
332927
y
C
Q
同学们可以做以下练习:
存在,求出这个最大值及此时M点的坐标;
若不存在,请说明理由。
图②
图①
3.(2015年恩施)如图11,在平面直角坐标系中,二次函数错误!
未找到引用源。
的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连结PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP错误!
C,那么是否存
在点P,使四边形POP错误!
C为菱形?
若存在,请求出此时点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
(1)将B、C两点的坐标代入得
错误!
解得:
所以二次函数的表达式为
引用源。
(2)存在点P,使四边形POP错误!
C为菱形.设P点坐标为(x,错误!
),PP错误!
交CO于E若四边形POP错误!
C是菱形,则有PC=PO.
连结PP错误!
则PE⊥CO于E,∴OE=EC=错误!
未找到引用
源。
错误!
∴错误!
=错误!
解得错误!
未找到引用源。
错误!
,错误!
∴P点的坐标为(
不合题意,舍去)
)错误!
3)过点P作错误!
轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x,错误!
未找到
),易得,直线BC的解析式为错误!
则Q点的坐标为(x,x-3)
当时,四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为,四边形ABPC的面积错误!
未找到引错误!
用源。
.
25.(2015绵阳)如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为
A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.
1)
求抛物线的函数解析式,并写出顶点
D的坐标;
在直线EF上求一点H,使△CDH
的周长最小,并求出最小周长;
若点K在x轴上方的抛物线上运动,
当K运动到什么位置时,△EFK的面积最大?
并求出最大
面积.
0,3),(0,-1),求△
DH+CH=DH+HB=BD=BM2DM2313.
∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH=.
2k1b10,3设直线BD的解析式为y=k1x+b,则9解得k13,b1=3.
k1b19,12
所以直线BD的解析式为y=3x+3.由于BC=25,CE=BC∕2=5,Rt△CEG∽△COB,
13得CE:
CO=CG:
CB,所以CG=2.5,GO=1.5.G(0,1.5).同理可求得直线EF的解析式为y=1x+3.
22联立直线BD与EF的方程,解得使△CDH的周长最小的点H(3,15).
48
(3)如图所示,设K(t,1t2t4),xF<
t<
xE.过K作x轴的垂线交EF于N.
则KN=yK-yN=1t2t4-(
1t+3)
1t2
3t
5.
2.
所以S△EFK=S△KFN+S△KNE
=KN(t+
3)+1
KN(1
-t)=
2KN
=-t2-3t+5=
-(t+3)
229
+
即当t=-3时,△EFK的面积最大,
最大面积为
29,
,
此时
K(-
3,
35).
平面直角坐标系中三角形面积的求法
.解题时我们要注意其中的解题方法和解题
我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题技巧.
1.有一边在坐标轴上:
例1:
如图1,平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为(-3,0),ABC的面积.
分析:
根据三个顶点的坐标特征可以看出,△ABC的边BC在y轴上,
由图形可得BC=4,点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离,也就是
A点横坐标的绝对值3,然后根据三角形的面积公式求解.
2.有一边与坐标轴平行:
例2:
如图2,三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(4,5),C(-1,2),求△ABC的面
积.
由A(4,1),B(4,5)两点的横坐标相同,可知边AB
与y轴平行,因而AB的长度易求.作AB边上的高CD,就可求得线段CD的长,进而可求得三角形ABC的面积.
3.三边均不与坐标轴平行:
4.三角形面积公式的推广:
过△ABC三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出1一种计算三角形面积的新方法:
S△ABC=1ah
即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半
例4:
已知:
直线l1:
y=﹣2x+6与x轴交于点A,直线l2:
y=x+3与y轴交于点B,直线l1、l2交于点C.(Ⅰ)建立平面直角坐标系,画出示意图并求出C点的坐标;
(Ⅱ)利用阅读材料提供的方法求△ABC的面积.
5.巩固练习:
k'
1)已知:
如图,直线ykxb与反比例函数y(x<
0)
点C,其中点A的坐标为(-2,4),点B的横坐标为-4.(Ⅰ)试确定反比例函数的关系式;
(Ⅱ)求△AOC的面积.
2)如图,在直角坐标平面内,函数y
m(x0,m是常数)的图象经过A(1,4),B(a,b),其中a1.过x
点A作x轴垂线,垂足为C,过点B作y轴垂线,垂足为D,连结AD,DC,CB.
若△ABD的面积为4,求点B的坐标;
3)已知,直线
与x轴、
y轴分别交于点
A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰
Rt△ABC,∠BAC=90°
.且点P(1,a)为坐标系中的一个动点.Ⅰ)求三角形ABC的面积S△ABC;
Ⅱ)请说明不论a取任何实数,三角形BOP的面积是一个常数;
Ⅲ)要使得△ABC和△ABP的面积相等,求实数a的值.