秋人教版七年级数学上《第三章一元一次方程》教案.docx
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秋人教版七年级数学上《第三章一元一次方程》教案
第三章 一元一次方程
3．1 从算式到方程
3．1.1 一元一次方程（2课时）第1课时 方程的概念
1．初步学会寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念．
2．培养学生获取信息、分析问题、处理问题的能力．
重点
了解一元一次方程及相关概念．
难点
寻找问题中的相等关系，列方程．
活动1：
创设情境，导入新课
师：
小学中我们已经学习过列方程解决问题，什么是方程？
你能举一个例子吗？
学生回答．
活动2：
探究新知
1．定义方程，回顾举例
师：
你知道什么叫方程吗？
生：
含有未知数的等式叫做方程．
师：
你能举出一些方程的例子吗？
由学生举例，教师总结．
练习：
判断下列式子是不是方程，正确的打“√”，错误的打“×”．
（1）1＋2＝3
（2）x＋2＞1 （3）1＋2x＝4
（4）x＋y＝2 （5）x2－1 （6）x2＝x＋2
（7）x＋3－5 （8）x＝8
2．如何根据题意列方程
师：
利用多媒体展示图片，出示教材本小节开头的问题：
一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1小时经过B地，A，B两地间的路程是多少？
学生分组活动，同桌两个同学讨论看能否用算术方法解，然后考虑用方程如何解决，然后小组内同学交流，教师可以参与到学生中去，要关注学生解决问题的思路，在用算术法时，是否遇到了麻烦，用方程可以轻松解决吗？
让学生感受方程在解决实际问题时的优势．
解：
设A，B两地间的路程是xkm.根据客车比卡车早1小时经过B地，可得方程
－
＝1.
在这一过程的教学中，教师不仅要使学生掌握本问题的解决方法，更重要的是让学生去体会列方程过程中的一般思路和方法．
在这一过程中，教师还应当注意培养学生的发散思维和创新能力，可以让他们进行小组间的交流，也可以根据题意画一个表格讨论，看一看各小组所列的方程是否一致，以开拓学生的思路，从而掌握更多的解题方法．
活动3：
归纳整理
师：
提出问题，你能谈谈列方程过程中的思路和方法吗？
你是怎样一步步列出方程的？
学生讨论交流，然后回答．
算术法和方程法有什么不同？
你能谈谈你的认识吗？
两种方法的比较：
从形式上观察：
算术方法与方程方法有什么不同的情况出现？
从思路上看：
你刚才做题的想法有什么不同？
（师根据学生的口述列成表，便于比较）
用方程解
用算术方法解
1.未知数用x表示，x参加列式
1.未知数不参加列式
2.根据题意找出数量间的相等
关系，列出含有未知数x的等式
2.根据题里已知数和未知数间的
关系，确定解答步骤，再列式计算
师指出：
在两个方面的区别中，未知数能不能参加列式决定了怎样分析，并且决定了列式的不同特点．
学生讨论交流后回答．
教师不必苛求学生的回答，只要学生能谈出一两点体会，教师都应当加以鼓励．
练习：
教材练习第1，2题．
学生独立完成，然后交流．
活动4：
小结与作业
小结：
谈谈你本节课的收获．
作业：
习题3.1第1，5题．
要上好一节课不仅要埋头钻研教材，设计教学过程，还必须善于与学生交流，要学会从学生的角度看问题，也就是常说的要学会做学生，应从学生能否理解的角度来安排适当的教学程序，用有趣的资料激发学生的学习热情，更应主动地去了解学生对过去相应的知识的掌握程度，这样才能把握住实施教的深浅及分寸，做到进行适当的引导，达到事半功倍的效果．
第2课时 一元一次方程
1．理解一元一次方程、方程的解的概念．
2．掌握检验某个值是不是方程的解的方法．
重点
寻找等量关系，列出方程．
难点
对于复杂一点的方程，用估算的方法寻求方程的解，需要多次的尝试，也需要一定的估计能力．
一、情境引入
师出示问题：
问题：
小雨、小思的年龄和是25，小雨年龄的2倍比小思的年龄大8岁，小雨、小思的年龄各是几岁？
如果设小雨的年龄为x岁，你能用不同的方法表示小思的年龄吗？
在学生回答的基础上，教师加以引导：
小思的年龄可以用两个不同的式子25－x和2x－8来表示，这说明许多实际问题中的数量关系可以用含字母的式子来表示．
由于这两个不同的式子表示的是同一个量，因此我们可以写成：
25－x＝2x－8.这样就得到了一个方程．
二、尝试探究
师：
让学生尝试解决例1，对于基础比较差的学生，教师可以作如下提示：
（1）选择一个未知数，设为x.
（2）对于这三个问题，分别考虑：
用含x的式子分别表示正方形的周长；
用含x的式子表示这台计算机x个月的使用时间；
用含x的式子分别表示男生和女生的人数．
（3）找一个问题中的相等关系列出方程．
学生讨论完成后交流．
师：
让学生观察并讨论所列方程等号两边式子的关系，师生归纳：
（1）方程等号两边表示的是同一个量；
（2）左右两边表示的方法不同．
简单地说：
列方程就是用两种不同的方法表示同一个量．
学生讨论交流：
以上各题，你还能用两种不同的方法来表示另一个量，再列出方程吗？
让学生在学习小组内讨论，然后分组汇报交流：
如
（2）题中，选“已使用的时间”可列方程：
2450－150x＝1700.
选“还可使用的时间”可列方程：
150x＝2450－1700.
解题书写过程（略）．
三、探究概念
学生讨论交流．
在学生观察上述方程的基础上，教师进行归纳：
各方程都只含有一个未知数，并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程式．
“一元”：
一个未知数，“一次”：
未知数的次数是一次．
引导学生归纳：
从上面的分析过程我们可以发现，用方程的方法来解决实际问题，一般要经历哪几个步骤？
在学生回答的基础上，教师用方框表示：
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法．
列出方程后，还必须解这个方程，求出未知数的值，对于简单的方程，我们可以采用估算的方法．
①问题：
你认为该怎样进行估算？
可以采用“尝试—发现—归纳”的方法：
让学生尝试后发现，要求出答案必须用一些具体的数值代入，看方程是否成立，最后教师进行归纳．
可以用列表的方法进行尝试，也可以像下面的示意图那样按程序进行尝试．
②在此基础上给出概念：
能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，求方程解的过程，叫做解方程．
一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个值代替未知数代入方程，看方程左右两边是否相等．
四、练习与小结
练习：
教材练习第3题．
小结：
1．谈谈你对一元一次方程的认识．
2．谈谈你对列方程的认识．
3．如何进行估算？
五、布置作业
习题3.1第6，7，8题．
学生在小学已经对方程有初步认识，但这个过程没有给“一元一次方程”这样准确的理性的概念．本节课是基于学生在小学已经学习的基础上来进行的．继续对有关方程的一些初步知识，并能通过对多个熟悉的实际问题的分析，由学生结合已有知识，得出一元一次方程，并能给出一元一次方程的简单概念及一些相关概念．
3．1.2 等式的性质（2课时）
第1课时 等式的性质
1．了解等式的两条性质．
2．会用等式的性质解简单的（用等式的一条性质）一元一次方程．
3．培养观察、分析、概括及逻辑思维能力．
重点
理解和应用等式的性质．
难点
应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x＝a”的形式．
活动1：
创设情境，导入新课
师：
哪位同学能谈谈上节课我们学习了哪些内容？
学生思考回答．
师：
通过估算的方法，我们可以求得方程的解，可是我们也看到，通过估算求解，需要通过多次尝试才能得到正确的答案，有没有相对简单的方法，使我们可以获得方程的解呢？
从今天开始我们就来学习解方程．
活动2：
探究等式的性质
分组进行实验（时间约10～15分钟）；每小组准备天平一架，砝码、等质量小木块等若干．
教师引导学生进行以下操作．
操作
（1）
1．先在托盘中放入一块小木块，然后在另一个托盘中加入砝码，使天平平衡．
2．然后在两个托盘中放入等质量的木块各一块，观察此时天平是否平衡，可以重复此步骤．
操作
（2）
在两个托盘中放入等质量的木块各一块，观察此时天平是否平衡．
在两个托盘中放入等质量的木块各两块，观察此时天平是否平衡．
在两个托盘中放入等质量的木块各相等数量的块数，观察此时天平是否平衡，可以重复此步骤．
思考：
这其中包含的数学道理是什么？
学生讨论后交流．
然后师生共同归纳出等式的性质：
如果a＝b，那么a±c＝b±c.
等式性质1：
等式两边加（或减）同一个数或同一个式子，结果仍相等．
教师按类似的方法得出等式性质2：
如果a＝b，那么ac＝bc；
如果a＝b，那么
＝
（c≠0）．
等式性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
活动3：
解决问题
师出示教材82页例2
（1）
（2）．
师生共同分析如何运用等式的性质解决这两个问题，在分析过程中教师注意化归思想的渗透，应当告诉学生解方程就是使方程向“x＝a”的形式进行化归，沿着这个思路进行引导，使学生感受化归思想，能自觉地运用等式的性质解决问题．
解：
略
练习：
教材第83页练习
（1）
（2）．
学生独立完成，然后同学间交流．
根据时间情况和学生的掌握情况，教师可以随机再补充几个练习．
活动4：
小结与作业
小结：
谈谈你对等式性质的认识．
作业：
习题3.1第2，3题．
等式的性质（关于乘除的），是在学生掌握了等式的性质（关于加减的）的基础上教学的．学生已掌握了一定的学习方法，形成了一定的推理能力．因此，本节课教学中，充分利用原有的知识，探索、验证，从而获得新知，给每个学生提供思考、表现、创造的机会，使他成为知识的发现者、创造者，培养学生自我探究和实践能力．
第2课时 用等式的性质解方程
1．通过解一元一次方程进一步理解等式的性质；
2．会用等式的性质解简单的（两次运用等式的性质）一元一次方程．
重点
用等式的性质解方程．
难点
需要两次运用等式的性质，并且有一定的思维顺序．
一、创设情境，复习引入
解下列方程：
（1）x＋7＝5；
（2）2x＝5.
要求学生能说出：
①每一步的依据分别是什么？
②求方程的解就是把方程化成什么形式？
师：
这节课继续学习用等式的性质解一元一次方程．
二、探究新知
对于简单的方程，我们通过观察就能选择用等式的哪一条性质来解，下列方程你也能马上做出选择吗？
例1：
利用等式的性质解方程：
（1）0.6－x＝2.4
（2）－
x－5＝4
先让学生对第
（1）题进行尝试，然后教师进行引导：
①要把方程0.6－x＝2.4转化为x＝a的形式，必须去掉方程左边的0.6，怎么去？
②要把方程－x＝1.8转化为x＝a的形式，必须去掉x前面的“－”，怎么去？
然后给出解答：
解：
两边减0.6，得0.6－x－0.6＝2.4－0.6.
化简，得
－x＝1.8，
两边同乘－1得
x＝－1.8.
小结：
（1）这个方程的解答中两次运用了等式的性质；
（2）解方程的目标是把方程最终化为x＝a的形式，在运用性质进行变形时，始终要朝着这个目标去转化．
你能用这种方法解第
（2）题吗？
在学生解答后点评．
解：
两边加5，得到
x－5＋5＝4＋5，
化简，得－
x＝9，
两边同乘－3，得x＝－27.
解后反思：
①第
（2）题能否先在方程的两边同乘“－3”？
②比较这两种方法，你认为哪一种方法更好？
为什么？
允许学生在讨论后再回答．
例2：
（补充）服装厂用355米布做成人服装和儿童服装，成人服装每套平均用布3.5米，儿童服装每套平均用布1.5米．现已做了80套成人服装，用余下的布还可以做几套儿童服装？
在学生弄清题意后，教师再作分析：
如果设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需要布1.5x米，根据题意，你能列出方程吗？
解：
设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需要布1.5x米，根据题意，得
80×3.5＋1.5x＝355.
化简，得
280＋1.5x＝355，
两边减280，得
280＋1.5x－280＝355－280，
化简，得
1．5x＝75，
两边同除以1.5，得x＝50.
答：
用余下的布还可以做50套儿童服装．
解后反思：
对于许多实际问题，我们可以通过设未知数，列方程，解方程，以求出问题的解．也就是把实际问题转化为数学问题．
问题：
我们如何才能判别求出的答案50是否正确？
在学生代入验算后，教师引导学生归纳出方法：
检验一个数值是不是某个方程的解，可以把这个数值代入方程，看方程左右两边是否相等，例如：
把x＝50代入方程80×3.5＋1.5x＝355的左边，得80×3.5＋1.5×50＝280＋75＝355.
方程的左右两边相等，所以x＝50是方程的解．
你能检验一下x＝－27是不是方程
x－5＝4的解吗？
三、课堂练习
练习：
1.课本83页练习（3），（4）．
2．补充练习：
小刚带了18元钱到文具店买学习用品，他买了5支单价为1.2元的圆珠笔，剩下的钱刚好可以买8本笔记本，问笔记本的单价是多少？
（用列方程的方法求解）
解：
设笔记本的单价为x元．
根据圆珠笔和笔记本的钱的总和为18元，得方程
5×1.2＋8x＝18.
化简，得6＋8x＝18.
两边减6，得6＋8x－6＝18－6，
化简，得8x＝12.
两边同除以8，得x＝1.5.
答：
笔记本的单价是每本1.5元．
四、小结
（1）这节课学习的内容．
（2）我有哪些收获？
（3）我应该注意什么问题？
五、作业
习题3.1第4，10题．
解方程是学生刚接触的新知识，学生原有的知识储备与生活经验不足，因此教学中老师要时刻关注学生的学习的情况，引导学生经历将现实生活问题加以数学化，引导学生通过操作、观察、分析和比较，由具体的知识渗透到抽象的去理解等式的性质，并应用等式的性质来解方程．
3．2 解一元一次方程
（一）
——合并同类项与移项（4课时）
第1课时 合并同类项
1．经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．
2．学会合并（同类项），会解“ax＋bx＝c”类型的一元一次方程．
重点
建立方程解决实际问题，会解“ax＋bx＝c”类型的一元一次方程．
难点
分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程．
一、创设情境，导入新课
师：
背景资料投影展示：
约公元820年，中亚细亚数学家阿尔－花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》．“对消”与“还原”是什么意思呢？
通过下面几节课的学习讨论，相信同学们一定能回答这个问题．
二、探究分析，解决问题
师：
出示教材问题1.
某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？
分析：
引导学生回忆：
问题：
如何列方程？
分哪些步骤？
师生共同讨论分析：
①设未知数：
前年购买计算机x台．
②找相等关系：
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台．
然后教师引导学生列出方程．
③x＋2x＋4x＝140.
进一步提出问题：
怎样解这个方程？
如何将方程向x＝a的形式进行转化？
学生观察，讨论交流，教师引导学生说出将方程左边合并同类项，向x＝a的形式转化．
教师板演过程或用教材的框图表示过程．（过程略）
思考：
本问题的解决过程中，合并同类项起到了什么作用？
学生讨论后回答．（让学生感受化归的思想）
问题：
对于本问题，你还有其他的方法解决吗？
三、尝试运用，巩固加深
教师出示教材例1.
解下列方程：
（1）2x－
x＝6－8；
（2）7x－2.5x＋3x－1.5x＝－15×4－6×3.
师生共同解决，教师板书过程．
四、练习与小结
练习：
课本第88页练习1.
小结：
谈谈你对这节课的收获．
五、作业
习题3.2第1，4，5题．
本节课研究的内容是“合并同类项”，“合并同类项”是化简解方程的重要方法．通过合并同类项可以使方程向x＝a的形式转化．这节课与前面所学的知识有千丝万缕的联系．合并同类项的法则是建立在数的运算的基础上，在合并同类项的过程中，要不断运用数的运算，可以说合并同类项是有理数加减运算的延伸和拓广．
第2课时 合并同类项的应用
学会探索数列中的规律，建立等量关系．
能正确地求解一元一次方程．
重点
建立一元一次方程解决实际问题．
难点
探索并发现实际问题中的等量关系，并列出方程．
活动1：
创设情境，导入新课
师：
练习解方程：
（1）－4x＋0.5x＝6；
（2）7x－4.5x＝7.5－5；
（3）－
x＋
x＝－3.
学生独立完成，然后同学交流．
活动2：
探究新知
教师出示教材例2.
有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243，…，其中某三个相邻数的和是－1701，这三个数各是多少？
引导学生探究规律：
第一个数
1
第二个数
－3
第三个数
9
第四个数
－27
第五个数
81
第六个数
－243
教师可利用表格上下对比，便于学生观察、发现规律，可引导学生从符号和绝对值两方面进行观察．
师生共同完成解答过程，教师注意要规范地书写过程．
在这一过程中，老师要关注学生能否准确地发现规律，能否列出方程，本问题的难点在于它有多个未知数，要引导学生找到相邻的数的关系，然后设出未知数，再用含未知数的式子表示相邻的数．
解：
设这三个相邻数中的第1个数为x，则第2个数为－3x，第3个数为－3×（－3x）＝9x.
根据这三个数的和是－1701.得
x－3x－9x＝－1701，
合并，得x＝－243，
所以－3x＝729，
9x＝－2187.
答：
这三个数是－243，729，－2187.
思考：
有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243，…，你能说出它的第n个数是多少吗？
（用含n的式子表示）
可作为课下思考题，本问题与本课时的关系不大，但作为对本例题的一个拓展，却有让学生重新思考的价值．
活动3：
综合运用
教师出示例题．（或投影展示）
补例：
一批商界人士在露天茶座聚会，他们先是两人一桌，服务员给每桌送上一瓶果汁，后来他们又改为三人一桌，服务员又给每桌送上一瓶葡萄酒，不久他们改坐成四人一桌，服务员再给每桌一瓶矿泉水．此外他们每人都要了一瓶可口可乐．聚会结束时服务员共收拾了50个空瓶．如果没人带走瓶子，那么聚会有几人参加？
分析：
要求聚会有几人参加，就要先设出未知数，再根据题意列出等量关系，设共有x人参加，由题意得，一共要了
瓶果汁，
瓶葡萄酒，
瓶矿泉水，x瓶可口可乐，即：
空瓶子数为各类饮料瓶子数之和，由这个等量关系，列出方程求解．
解：
设这次聚会共有x人参加，
由题意得：
x＋
＋
＋
＝50，
解得：
x＝24.
答：
这次聚会共有24人参加．
学生讨论交流，师生共同解决．
活动4：
小结
小结：
谈谈你这节课的收获．
活动5：
作业
习题3.2第5，12，13题．
实施开放式教学，倡导自主探索、合作交流的学习方式．让学生从熟悉的生活实例出发，探索获得同类项概念，体验知识的形成过程，体会观察、分析、归纳等解决问题的技能与方法．教师只是整个教学活动的组织者和指导者，体现了以人为本的现代教学理念．
第3课时 移项
1．通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性．
2．掌握移项方法，学会解“ax＋b＝cx＋d”类型的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴涵的化归思想．
重点
建立方程解决实际问题，会解“ax＋b＝cx＋d”类型的一元一次方程．
难点
分析实际问题中的相等关系，列出方程．
一、创设情境，导入新课
出示教材问题2：
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？
二、探究新知
引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路．
学生讨论、分析：
1．设未知数：
设这个班有x名学生．
2．找相等关系：
这批书的总数是一个定值，表示它的两个等式相等．
3．列方程：
3x＋20＝4x－25.
问题1：
怎样解这个方程？
它与上节课遇到的方程有何不同？
学生讨论后发现：
方程的两边都有含x的项（3x与4x）和不含字母的常数项（20与－25）．
问题2：
怎样才能使它向x＝a的形式转化呢？
学生思考、探索：
为使方程的右边没有含x的项，等号两边同减去4x，为使方程的左边没有常数项，等号两边同减去20.
3x－4x＝－25－20.
问题3：
以上变形依据是什么？
等式的性质1.
归纳：
像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．
师生共同完成解答过程，或用框图表示．
问题4：
以上解方程中“移项”起了什么作用？
学生讨论、回答，师生共同整理：
通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x＝a的形式．
师：
解方程时，要合并同类项和移项．前面提到的古老的代数书中的“对消”与“还原”，指的就是“合并同类项”和“移项”．
三、尝试运用，加深巩固
师出示教材例3.
解下列方程：
（1）3x＋7＝32－2x；
（2）x－3＝
x＋1.
教师引导学生按照框图所展示的过程，共同完成本例．
练习：
课本第90页练习1.
四、小结
谈谈本节课你的收获．
五、作业
习题3.2第2，3题．
这节课要学习的方程类型是两边都有x和常数项，通过移项的方法化到合并同类项的方程类型．教学重点是用移项解一元一次方程，难点是移项法则的探究．在教学过程中一定要强调学生，移项的时候要注意变号．
第4课时 方程的应用
1．进一步培养学生列方程解应用题的能力．
2．通过探究实际问题与一元一次方程的关系，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．
重点
建立一元一次方程解决实际问题．
难点
探究实际问题与一元一次方程的关系．
活动1：
创设情境，引入新课
师：
展示投影：
练习解方程：
（1）
x＋4x＝9
（2）－4x＝－2x＋6
（3）5x＋4＝4x－3（4）0.6x＝50＋0.4x
学生独立完成，然后师生交流答案，看谁做得又对又快．
活动2：
探究新知
教师展示教材例4.
某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100t．新旧工艺的废水排量之比为2：
5，两种工艺的废水排量各是多少？
学生讨论交流．
教师可提示学生分析：
1．本题可否用小学学习的算术法来求解？
2．题目中两种工艺的废水排量都是与环保最大值相关的，根据小学学过的比例式，如果设环保设计的最大量为xt，你能否列出一个关于x的比例式？
3．根据新旧工艺的废水排量之比为2：
5，如果设新、旧工艺的废水排量分别为2xt和5xt，你能列出方程吗？
解：
设新、旧工艺的废水排量分别为2xt和5xt.
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得
5x－200＝2x＋100.
移项，得
5x－2x＝100＋200.
合并同类项，得
3x＝300，
系数化为1，得
x＝100，
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