微积分下期末复习题完整版docx.docx
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期末复习题
一、填空题
fcos2tdtlim
XTOx
10、
11、
12、
13、
设z=xe2",则—
dxdy
交换积分次序J*d^J^"J）dj=_
交换积分次序J2（irJ,f（x,y）dy=交换积分次序J；心
/（x,j）dx=
二、选择题
pan2x
|lnQ+，）d£
1、极限lim等于（
（A）1
1-cosx
（B）2
（C）4
（D）8
dre
2、设一dxJo
（A）-4
x2
f（t）dt=ex,则/（x）=（）
（B）-一r（C）产（D）-e-2x
3、设/'（x）是连续函数，且j/（x）dx=F（x）+C,则必有（）B
（A）[V（Od/=F（x）（B）[fXF（f）dfr=F（x）
JaJa
（D）[^F\t）dt]'=f（x）-f（a）
4、设/'（x）在［a0］上连续，则/'（x）在［a0］上的平均值是（）
7、（）是微分方程jlnxdx+xlnjdj=0满足条件，*=[=e2的特解。
（A）Inx2+lnj2=0（B）Inx2+lnj2=2
（C）In2x+ln2j=0（D）In2x+In2j=
三、计算题
1、计算下列不定积分:
（1）
fdx
（2）JxInxdx
⑶Jin
2xdx
（2—x）a/1—x
（4）
pdx
（5）[,dx
J2/2i
X\x—1
（6）j
•2x,dx
l+cos2x
J1+Vx+1
2、计算下列定积分：
（1）
n
[2exsinxdx
Jo
⑵jjjInT^dx
⑶]
.1x2
arctanxdx
lol+x2
（4）
广二"
J。
e'+3
-1dx⑸Jidx
2
（6）fxarctan\/l-x2dx
Jo
2o/（x-l）dx・
e~x,x>0f3
4、设/'（x）=<2，求If（x-2）dxo
1+x2,x<0J1
5、设z=f（x,y）是由方程-=ln-确定的隐函数，求孚，孚。
zyOXdy
6、设z=ln（x2+j2）,求二。
7、/（x,y）=x2arctan^-y2arctair^,求''。
xydxdy
8、己知x3+z3+yz—2,求一，——o
dxdy
9、求函数f（x,j）=e2x（x+j2+2y）的极值。
15、求微分方程满足初始条件的特解：
—+^=0,贝3）=4.
Jx
16、求微分方程Q‘+7—e'=0的通解。
17、求方程y'=—2xj+2xe~x的通解。
18、求微分方程（x2+1）+2xy-4x2=0的通解。
19、求解微分方程xlnxdj+（j-lnx）dx=O,y|x=e=1.
四、应用题
1、求y=x2与x=y2所围成的图形的面积及它绕x轴旋转而成的旋转体体积。
2、求j=-x2与y=x所围成的图形的面积，并求此图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
3、过曲线y=^c,x>0上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形D的面积S为°。
4
（1）求点0的坐标；
（2）求平面图形D绕x轴旋转一周而成的旋转体体积。
4、为销售某种产品，需要作两种方式的广告，当两种广告的费用分别为x和v时，销售利润的增加是纹+兰七（万元）。
现花25万元用于广告，问怎样分配两种方式的广告费用，可使利润的增加达到5+x10+y
最大?
5、某厂生产产量分别为x和y的两种产品，总成本c（x,j）=x2+j2+4xj-10x4-10j+500,需求函数分别为x=70-0.25p,y=120—0.5g,（p,g为产品单价），且产品需求要受限制x+2j=50,求工厂获最大利润时的产量和单价。
6、设某企业的总产量函数为尸（x,y）=0.005x2）（吨），X,）为两种投入要素，其单价分别为1万元/吨和2万元/吨，且该企业拥有资金150万元，试求X,）使产量最大。
7、生产某种产品需要三种原料，且产量与A,B,C原料的用量的关系为。
=0.005亍队，巳知三种原料售价分别为1,2,3（万元），今用2400（万元）购买材料，问应如何进料才能使产量最大？
五、证明题
n
1、设/*（x）在［0,1］上连续,证明：
/（siitf）dZ=2jJ/（siitf）dZo
2、设/*（x）在［0,1］上连续,证明：
x/（sinx）dx=y/（sinx）dxo
3、证明［1xw（l-x）ndx=rxn（l-x）mdx.
J0J0
解答：
一、填空题
1.12.-2f（2x）3.2F（4x+a）-2F（a）4.-2e-15.In26.^（^5-1）
2
7.sinxd——-—8.—9.810、2e"11.fdyff（x^y）dx
1-7T2J。
J"
f（x,y）dx
flx2f72-x2
13、］odxJo/（x,j）dj+JidxJof（x,y）dy
二、选择题
1.C2.B
3、解选B
利用变上限积分函数的导数结合f'（x）=f（x）,得
（A）\Xf（t）dt=F（x）-F（a）,（C）f>,（f）df=F（x）-F（a）,（D）［f=Fr（x）=/（x）,JaJaJa
故选（B）.
4、解选C
1pb
若函数/*（x）在［。
0］上连续，则称一|/（x）dx^j/（x）在［。
0］上的平均值，故选（C）.
b-aJa
5、解选D
设u=tx,则x=—,dx=-du,
于是Z=4-/（zx）dx=[7（w）dM,故积分[与s有关.应选①）.
JoJ0
6、解选B
由于X—=et+xsin，可写成坐=—-ezsim,故应选（B）.d£d#x
7、解选
将原方程分离变量并两边积分，得到通解为-ln2x+-ln2j=C,22
代入初始条件，；=e2,得C=一,所求特解为11?
工+1112，=一。
JIx=e242
三、计算题
1、计算下列不定积分:
解令t=Vl—x,则x=1-t29dx=-2tdt,于是rdx_.一2,・d,J（2-x）Vl-x"J（1+产）《
（2）
-2,“,=-2aretain-C=—2arcta/ii—x+C.J1+t2
X2,fX21X2,]2八
—Inx—I—•—dx=—lux—x+C.
2J2x24
Jxlnxdx=Jlnxd（^-）=
rsec/tan^rv
^=dx=\d£=[cos，d，=sin，+C=+C
2-1Jsec?
ttantJx
解
=xtanx-Jtanxdx=xtanx-ln|secx|+C・
2、计算下列定积分：
冗兀冗冗nn
⑴解：
[2exsinxdx=fsinxdex=exsinxlj-fexcosxdx=e，一口cosxdex
JoJo10JoJo
丸n_艾-n
=e成一[excoxlj+[^exsirrdx]=+1-exsiwdx
IoJ（）J0
7T[〃
解得[2exsiadx=—（e，+1）.
Jo2
⑵解：
原式=-Jiln^[x^dx+J^InJ^F
=-[xlnx/x-|1-Jixdln^/x-Jd-xlny/x-^_[xdln^/x^
1…2心312
一dx]+e—I一dx=1H—e.
2Ji22e22
丸[丸
t&t=["dtan，——尸『
oJo2lo
H
-17TI17T119
4tan,d,冗=InsectH冗=ln2冗
。
324110324232
解设x=silt,
兀2七兀四
原式=j：
s，^2dr=J^（csc2，一l）d£=一（cot£+£）|《=1-
3
10
-T
_f2X—1=tflf01
解[/Xx_Ddx=[/（^）d^=\d，+
JtJ-12+x
.I、|0.I71、、
―ln|2+目]+arcsii^=—+ln2
4、解设x-2=t,
J：
f（x-2）dx=J：
=£/（odt+Jj（odf=£（i+f2）df+J%rd/=|-|.
atjZ".々xxfZi—rtTtnfZ
5、解;=——=>Zx=;同理，Zv=—o
zzz+xyj（z+x）
6、解zx
If
2x'2y，z=，x2+y2yx2+y2
23一，）,,二2（尸一—2）
（亍+乃2，^—（亍+^尸。
7、解：
g=2xarcta『r，=
oxxdxoyx+y
8、解：
方程两边关于x求偏导，3x2+3z2^+j^=0n—=-,
dxdxdx3z2+j
方程两边关于’求偏导，3z2：
+z+y；=0ndydy
=e2x（2x+2j2+4j+l）=01
:
，求得驻点（x,y）=（一,-1）,
|/；=峪
（2）+2）=02
=f'L—1）=2e>0,B=—=0,C=f"y（—,-1）=2e
所以（-,-1）为极小值点，极小值为
22210、解原式=J。
dxj2S1Wdj=J。
（sin—xsiir）dx=（—cosr+xcosr—siir）「=1-si11、解JJy/1-x2da=J。
dxJ。
71-x2dy=[xy/1-x2dx=—o
D0003
V2-1
3
16、解方程改写为
1+）32»
W
X+1s1IXpl
dj=[xsiirdx=siii-cod0
1xJo
15、解分离变量，xdx+jdj=0,积分得x2+y2=C,将）（3）=4代入，得C=25,所求特解为x2+y2=25.
fdx1_i_
ejTdx+C]（3分）=—[Je*dx+C]=17、解原方程为V+2xy=2xe~x2,
y=e~^2xdx（|2xe-x2e^2xdxdx+C）=（J2xdx+C）=e-^（x2+C）
2i*41*2
18、解原方程为:
x+1x"+1
dx2i4,
y=e、+idx+C）=——（-x3+C）
Jx2+1x2+l3
19、解原方程改写为y，+-^—y=-,通解为
xlnxx
J=ef7m^（flj7m7dx+c）=J_[flZl£dx+C]=J（lln2X+C）JxInxJxInx2
将j（e）=l代入，得C=L,故所求特解为7=?
（inx+口—）。
22Inx
四、应用题
1、解S=J：
（&-x2）d*=5,Vx=^-J^[（Vx）2-（x2）2]dx=
po,1coo2
2、解S=[（-x-x）dx=—,Vx=tt\[x-（-x）]dx=_冗
Ji6J15
3、解
（1）设AU,。
）,。
〉。
，贝彻线的斜率k=^a2,切线方程：
y=^a2x^a切线与x轴交点
为（一2已3,0）,s=ffl[j3-（3aj-2a3）]dj=-a4解得a=l,A（l,l）.
Jo44
F=+i-+2（x+y-25）
5+x10+y
令刊=—+2=0,=—+2=0,x+y=25
x（5+x）2J（10+x）2
解得唯一驻点x=15,j=10
由实际意义］此时利润的增加最大
5、解：
目标函数为L（x,y）=px+qy—C=—5,—3y2+290x+23Qy—4xy—500,
约束条件x+2j=50
F——5x2—3y2+290x+230j—4xj—500+2（x+2j-50）
令F'x=-10x+290-4j+2=0,F；=-6j+230-4x+22=0,x+2j=50解得唯一驻点x=20,j=15,此时价格p=200,g=210
由实际意义，此时利润最大
6^解：
F（x,j）=0.005x2j+2（x+2j—150）,
F；=0.0Ixy+2=0,
<=0.005*2+24=0,
x+2y=150,
得x=100,y=25,唯一,
由实际问题存在产量最大，即当x=100,j=25时产量最大。
7、解目标函数e=0.005x2^,约束条件x+2j+3z=240,
F=0.005x2jz+A（x+2y+3z-240Q）,…（3分）
令—=0.0Ixyz+4=0,—=0.005x2z+2人=0,—=0.005*勺+3A=0,dxdydz
x+2y+3z=2400,
解得唯一驻点x=120Qj=30Qz=200,由实际问题，此时产量最大。
五、证明题
n
1、证明：
J/（sinx）dx=J2/（sinx）dx+/（sinx）dx
°°2^
七=冗—jq冗4
而J^./（sinx）dx=f（sint）dt=J/（sinx）dx
~2°°
n
故j。
/（sinx）dx=2^2/（sinx）dx
2、见教材P22例1廿2）
3、证明j：
V"（1-x）"dx令1-X=/=-j：
（l-仃"t"dl=J^（l-t）mtndt=（1-x）mdx
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