中考数学复习专题归纳猜想型问题一.docx
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中考数学复习专题归纳猜想型问题一
中考数学复习专题-归纳猜想型问题
一、中考专题诠释
归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲
归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：
计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲
考点一：
猜想数式规律
通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1（沈阳）有一组多项式：
a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为 ．
考点：
多项式。
810360
专题：
规律型。
分析：
首先观察归纳，可得规律：
第n个多项式为：
an+（﹣1）n+1b2n，然后将n=10代入，即可求得答案．
解答：
解：
∵第1个多项式为：
a1+b2×1，
第2个多项式为：
a2﹣b2×2，
第3个多项式为：
a3+b2×3，
第4个多项式为：
a4﹣b2×4，
…
∴第n个多项式为：
an+（﹣1）n+1b2n，
∴第10个多项式为：
a10﹣b20．
故答案为：
a10﹣b20．
点评：
此题考查的知识点是多项式，此题难度不大，注意找到规律第n个多项式为：
an+（﹣1）n+1b2n是解此题的关键．
例2（珠海）观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52× = ×25；
② ×396=693× ．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
考点：
规律型：
数字的变化类。
810360
专题：
规律型。
分析：
（1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；
（2）按照
（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可．
解答：
解：
（1）①∵5+2=7，
∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，
∴52×275=572×25，
②∵左边的三位数是396，
∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，
63×369=693×36；
故答案为：
①275，572；②63，36．
（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，
右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，
∴一般规律的式子为：
（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
证明：
左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]，
=（10a+b）（100b+10a+10b+a），
=（10a+b）（110b+11a），
=11（10a+b）（10b+a），
右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
=（100a+10a+10b+b）（10b+a），
=（110a+11b）（10b+a），
=11（10a+b）（10b+a），
左边=右边，
所以“数字对称等式”一般规律的式子为：
（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．
点评：
本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．
考点二：
猜想图形规律
根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
其中，以图形为载体的数字规律最为常见。
猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
例31．（重庆）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（ ）
A．
50
B．
64
C．
68
D．
72
考点：
规律型：
图形的变化类。
810360
分析：
先根据题意求找出其中的规律，即可求出第⑥个图形中五角星的个数．
解答：
解：
第①个图形一共有2个五角星，
第②个图形一共有：
2+（3×2）=8个五角星，
第③个图形一共有8+（5×2）=18个五角星，
…
第n个图形一共有：
1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n﹣1）
=2[1+3+5+…+（2n﹣1）]，
=[1+（2n﹣1）]×n
=2n2，
则第（6）个图形一共有：
2×62=72个五角星；
故选D．
点评：
本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成三部分进行考虑，并找出第n个图形五角星的个数的表达式是解题的关键．
例4（绍兴）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm，如图，第一棵树左边5cm处有一个路牌，则从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
规律型：
图形的变化类。
810360
分析：
根据题意可得，第一个灯的里程数为10米，第二个灯的里程数为50，第三个灯的里程数为90米…第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=40n﹣30米，从而可计算出530米处哪个里程数是灯，也就得出了答案．
解答：
解：
根据题意得：
第一个灯的里程数为10米，
第二个灯的里程数为50，
第三个灯的里程数为90米
…
第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=（40n﹣30）米，
故当n=14时候，40n﹣30=530米处是灯，
则510米、520米、540米处均是树，
故应该是树、树、灯、树，
故选B．
点评：
本题考查了图形的变化类问题，解决本题的关键是从原图中找到规律，并利用规律解决问题．
例5（荆门）已知：
顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（ ）
A．
8048个
B．
4024个
C．
2012个
D．
1066个
考点：
规律型：
图形的变化类。
810360
专题：
规律型。
分析：
写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n，根据此规律求解即可．
解答：
解：
第1个图形，有4个直角三角形，
第2个图形，有4个直角三角形，
第3个图形，有8个直角三角形，
第4个图形，有8个直角三角形，
…，
依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n个，
所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024．
故选B．
点评：
本题主要考查了图形的变化，根据前几个图形的三角形的个数，观察出与序号的关系式解题的关键．
考点三：
猜想坐标变化
例6（德州）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为 ．
考点：
等腰直角三角形；点的坐标。
810360
专题：
规律型。
分析：
由于2012是4的倍数，故A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，可见，A2012在x轴上方，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即可解答．
解答：
解：
∵2012是4的倍数，
∴A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，
∴A2012在x轴上方，横坐标为2，
∵A4、A8、A12的纵坐标分别为2，4，6，
∴A12的纵坐标为2012×
=1006．
故答案为（2，1006）．
点评：
本题考查了等腰直角三角形、点的坐标，主要是根据坐标变化找到规律，再依据规律解答．
例7（鸡西）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2012的坐标为 ．
考点：
正方形的性质；坐标与图形性质。
810360
专题：
规律型。
分析：
首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2012的坐标．
解答：
解：
∵正方形OABC边长为1，
∴OB=
，
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1=2，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知OB2=2
，B2点坐标为（﹣2，2），
同理可知OB3=4，B3点坐标为（﹣4，0），
B4点坐标为（﹣4，﹣4），B5点坐标为（0，﹣8），
B6（8，﹣8），B7（16，0）
B8（16，16），B9（0，16
），
由规律可以发现，每经过9次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的
倍，
∵2012÷9=223…5，
∴B2012的纵横坐标符号与点B4的相同，纵横坐标都是负值，
∴B2012的坐标为（﹣21006，﹣21006）．
故答案为（﹣21006，﹣21006）．
点评：
本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过9次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的
倍，此题难度较大．
四、中考真题演练
一、选择题
1．（烟台）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
考点：
规律型：
图形的变化类。
810360
专题：
规律型。
分析：
答案中断去的菱形个数均为较小的正整数，由所示的图形规律画出完整的装饰链，可得断去部分的小菱形的个数．
解答：
解：
如图所示，断去部分的小菱形的个数为5，
故选C．
点评：
考查图形的变化规律；按照图形的变化规律得到完整的装饰链是解决本题的关键．
2．（铜仁地区）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是（ ）
A．54B．110C．19D．109
考点：
规律型：
图形的变化类。
810360
专题：
规律型。
分析：
得到第n个图形在1的基础上如何增加2的倍数个平行四边形即可．
解答：
解：
第①个图形中有1个平行四边形；
第②个图形中有1+4=5个平行四边形；
第③个图形中有1+4+6=11个平行四边形；
第④个图形中有1+4+6+8=19个平行四边形；
…
第n个图形中有1+2（2+3+4+…+n）个平行四边形；
第⑩个图形中有1+2（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=109个平行四边形；
故选D．
点评：
考查图形的变化规律；得到第n个图形中平行四边形的个数在第①个图形中平行四边形的个数1的基础上增加多少个2是解决本题的关键．
4．（永州）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
考点：
规律型：
图形的变化类。
810360
分析：
因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=
k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
解答：
解：
因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=
k（k+1），应停在第
k（k+1）﹣7p格，
这时P是整数，且使0≤
k（k+1）﹣7p≤6，分别取k=1，2，3，4，5，6，7时，
k（k+1）﹣7p=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
若7＜k≤10，设k=7+t（t=1，2，3）代入可得，
k（k+1）﹣7p=7m+
t（t+1），
由此可知，停棋的情形与k=t时相同，
故第2，4，5格没有停棋，
即：
这枚棋子永远不能到达的角的个数是3．
故选D．
点评：
本题考查理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．
5．（扬州）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是（ ）
A．43B．44C．45D．46
考点：
规律型：
数字的变化类。
810360
专题：
规律型。
分析：
观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出2013所在的奇数的范围，即可得解．
解答：
解：
∵23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，
…
∴m3分裂后的第一个数是m（m﹣1）+1，共有m个奇数，
∵45×（45﹣1）+1=1981，46×（46﹣1）+1=2071，
∴第2013个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，
∴m=45．
故选C．
点评：
本题是对数字变化规律的考查，找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律是解题的关键．
6．（盐城）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：
a1=0，a2=﹣|a1+1|，a3=﹣|a2+2|，a4=﹣|a3+3|，…，依次类推，则a2012的值为（ ）
A．﹣1005B．﹣1006C．﹣1007D．﹣2012
考点：
规律型：
数字的变化类。
810360
专题：
规律型。
分析：
根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于﹣
，n是偶数时，结果等于﹣
，然后把n的值代入进行计算即可得解．
解答：
解：
a1=0，
a2=﹣|a1+1|=﹣|0+1|=﹣1，
a3=﹣|a2+2|=﹣|﹣1+2|=﹣1，
a4=﹣|a3+3|=﹣|﹣1+3|=﹣2，
a5=﹣|a4+4|=﹣|﹣2+4|=﹣2，
…，
所以，n是奇数时，an=﹣
，n是偶数时，an=﹣
，
a2012=﹣
=﹣1006．
故选B．
点评：
本题是对数字变化规律的考查，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．
二．填空题
9．（泰州）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：
x，3x2，5x3， ，9x5，…．
考点：
单项式。
810360
专题：
规律型。
分析：
本题规律比较明显，先观察得出系数为7，然后再推算x的次数．
解答：
解：
由题意得，系数的变化规律为：
1、3、5、7、9…；
x的次数的变化规律为：
1、2、3、4…；
故可得中间的空需要填：
7x4．
故答案为：
7x4．
点评：
此题考查了单项式的知识，属于基础题，解答本题关键是依次寻找系数及x的次数的变化规律．
10．（肇庆）观察下列一组数：
，
，
，
，
，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是．
考点：
规律型：
数字的变化类。
810360
分析：
根据已知得出数字分母与分子的变化规律，分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，进而得出第k个数分子的规律是2k，分母的规律是2k+1，进而得出这一组数的第k个数的值．
解答：
解：
因为分子的规律是2k，分母的规律是2k+1，
所以第k个数就应该是：
，
故答案为：
．
点评：
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．解题的关键是把数据的分子分母分别用组数k表示出来．
11．（云南）观察下列图形的排列规律（其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星）．若第一个图形是三角形，则第18个图形是．（填图形的名称）▲■★■▲★▲■★■▲★▲…
考点：
规律型：
图形的变化类。
810360
分析：
本题是循环类问题，只要找到所求值在第几个循环，便可找出答案．
解答：
解：
根据题意可知，每6个图形一个循环，第18个图形经过了3个循环，且是第3个循环中的最后1个，
即第18个图形是五角星．
故答案为：
五角星．
点评：
此题考查了图形的变化类，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，主要培养学生的观察能力和归纳总结能力．
12．（岳阳）图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n个圆中，m=用含n的代数式表示）．
考点：
规律型：
图形的变化类；规律型：
数字的变化类。
810360
分析：
根据8=2×4，5×7=35，8×10=80，得出2，5，8…第n个数为：
2+3（n﹣1），4，7，10，…第n个数为：
4+3（n﹣1）即可得出第n个圆中，m的值．
解答：
解：
∵2×4=8，
5×7=35，
8×10=80，
…
∴2，5，8…第n个数为：
2+3（n﹣1），
4，7，10，…第n个数为：
4+3（n﹣1），
∴第n个圆中，m=[2+3（n﹣1）]×[4+3（n﹣1）]=（3n+1）（3n﹣1）=9n2﹣1．
故答案为：
9n2﹣1．
点评：
此题主要考查了数字变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
13．（宿迁）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ．
考点：
规律型：
图形的变化类。
810360
专题：
规律型。
分析：
观察图形可知，黑色与白色的地砖的个数的和是连续奇数的平方，而黑色地砖比白色地砖多1个，求出第n个图案中的黑色与白色地砖的和，然后求出黑色地砖的块数，再把n=14代入进行计算即可．
解答：
解：
第1个图案只有1块黑色地砖，
第2个图案有黑色与白色地砖共32=9，其中黑色的有5块，
第3个图案有黑色与白色地砖共52=25，其中黑色的有13块，
…
第n个图案有黑色与白色地砖共（2n﹣1）2，其中黑色的有
[（2n﹣1）2+1]，
当n=14时，黑色地砖的块数有
[（2×14﹣1）2+1]=
×730=365．
故答案为：
365．
点评：
本题是对图形变化规律的考查，观察图形找出黑色与白色地砖的总块数与图案序号之间的关系是解题的关键，还要注意奇数块地砖，一种比另一种多一块的求法．
14．（山西）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ．
考点：
规律型：
图形的变化类。
810360
分析：
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
解答：
解：
由图可知：
第一个图案有阴影小三角形2个．第二图案有阴影小三角形2+4=6个．第三个图案有阴影小三角形2+8=10个，那么第n个就有阴影小三角形2+4（n﹣1）=4n﹣2个，
故答案为：
4n﹣2（或2+4（n﹣1））
点评：
本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：
第n个就有正三角形4n﹣2个．这类题型在中考中经常出现．
15．（三明）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是 ．
考点：
规律型：
图形的变化类；规律型：
数字的变化类。
810360
分析：
根据已知数据即可得出，最下面一行数字变化规律，进而得出答案．
解答：
解：
根据下面一行数字变化规律为：
1×4=4，
4×9=36，
9×16=144，
16×25=400，
25×36=a=900，
故答案为：
900．
点评：
此题主要考查了数字变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
16．（青海）观察下列一组图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有 个★．
考点：
规律型：
图形的变化类。
810360
专题：
规律型。
分析：
把五角星分成两部分，顶点处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，根据此规律找出第n个图形中五角星的个数的关系式．
解答：
解：
观察发现，第1个图形五角星的个数是：
1+3=4，
第2个图形五角星的个数是：
1+3×2=7，
第3个图形五角星的个数是：
1+3×3=10，
第4个图形五角星的个数是：
1+3×4=13，
…
依此类推，第n个图形五角星的个数是：
1+3×n=3n+1．
故答案为：
3n+1．
点评：
本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成两部分进行考虑，并找出第n个图形五角星的个数的表达式是解题的关键．
17．（黔东南州）如图，第
（1）个图有2个相同的小正方形，第
（1）个图有2个相同的小正方形，第
（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那么第（n）个图有 个相同的小正方形．
考点：
规律型：
图形的变化类。
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专题：
规律型。
分析：
观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根据此规律解答即可．
解答：
解：
第
（1）个图有2个相同的小正方形，2=1×2，
第
（2）
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