九年级数学上课时作业通关宝典.docx

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九年级数学上课时作业通关宝典

第21章一元二次方程

21.1一元二次方程

1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程，叫做一元二次方程．判别一个方程是不是一元二次方程，必须满足①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2；④二次项系数不能为0。

2．一元二次方程的一般形式为：

ax2＋bx＋c＝0（a≠0），其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，注意各项系数的符号。

21.2.1配方法

1．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。

2．当P≥0时，x2=p的解为，（mx+n）2=p的解为（m≠0）．

3．通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法叫做配方法。

4．配方法一般步骤：

（1）化二次项系数为l，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；

（2）配方：

方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式，写成（mx+n）2=p的形式；

（3）若p≥0，则可直接开平方求出方程的解，若p＜0，则方程无解．

21.2.2公式法

1．一元二次方程成立的条件是a≠0，它的求根公式是。

2．用公式法解一元二次方程的思路应是：

（1）将方程化成一般形式；

（2）写出相应的a、b、c的值并计算△的值；（3）当△≥0时，可直接套用公式得出方程的解。

3．一元二次方程（ax2+bx+c=0（a≠0）

（1）当b2-4ac＞0时，有两个不相等的实数根；

（2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根；

（3）当b2-4ac＜0时，没有实数根。

21.2.3因式分解法

1．当一元二次方程的一边为0，而另一边易分解成两个一次因式的乘积，令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法。

2．用因式分解法解一元二次方程的步骤：

（1）方程的一边化为0；

（2）将方程另一边分解成两个一次因式的积的形式；

（3）令每个因式分别等于0，即得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1、x2，那么x1+x2=，x1x2=．

2．在应用根与系数关系式时应注意两个条件：

（l）二次项系数不为0。

（2）△≥0。

21.3实际问题与一元二次方程

1．列方程解应用题的一般步骤：

（1）审：

审清题意，明确问题中的已知量和未知量；

（2）设：

设未知数，可以直接设也可以间接设；

（3）列：

依题意构建方程；

（4）解方程，求出未知数的值；

（5）检验作答．

2．构建一元二次有程来解决实际问题时，必须验证方程的解是否符合实际意义。

3．面积问题：

求不规则图形的面积问题，往往把不规则图形转化成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程。

4．利润=（售价-进价）×销售量。

第22章二次函数

22.1.1二次函数

一般地，形如_y=ax2+bx+c（a≠0）_（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中__x_是自变量，a、b、c分别是函数解析式的_二次__项系数、_一次__项系数、常数__项。

22.1.2二次函数y=ax2图象和性质

1．二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，其对称轴为y轴，顶点坐标为原点。

2．抛物线y=ax2与y=-ax2关于x轴对称。

抛物线y=ax2，当a>0时，开口向上，顶点是它的最低点；当a<0时，开口向下，顶点是它的最高点。

随着

的增大，开口越来越小。

22.1.3二次函数y=ax2+k的图像和性质

1．二次函数y=ax2+k的图象是一条抛物线．它与抛物线y=ax2的形状相同，只是顶点位置不同，它的对称轴为y轴，顶点坐标为（0,k）__。

2．二次函数y=ax2+k的图象可由抛物线y=ax2平移得到．当k>0时，抛物线y=ax2向上平移k个单位得y=ax2+k。

当k<0时，抛物线y=ax2向__下__平移

个单位得y=ax2+k。

22.1.3二次函数y=a（x-h）2的图像和性质

1．二次函数y=a（x-h）2的图象是抛物线，它与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同；它的对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h,0）．

2．二次函数y=a（x-h）2的图象可由抛物线y=ax2平移得到。

当h>0时，抛物线y=ax2向右平移h个单位得y=a（x-h）2；当h<0时，抛物线y=ax2向左平移

个单位得y=a（x-h）2。

22.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质

1．二次函数y=a（x-h）2+k的图象是抛物线，它与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同；其对称轴为直线x=h，顶点坐标为__（h,k）。

2．二次函数y=a（x-h）2+k，当a>0时，开口向上，有最小值为k，在对称轴的左侧，y随x的增大而减少，右侧相反；当a<0时，恰好相反。

3．把抛物线y=ax2'向左（或右），向上（或下）平移，可得到抛物线y=a（x-h）2+k，其平移方向和距离由h，k值决定．

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）通过配方可化为

的形式，它的对称轴是

，顶点坐标是

，当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而___减小_。

2．二次函数y=ax2+bx+c的图象与y=ax2的图象形状相同，只是位置不同；y=ax2+bx+c的图象可以看成y=ax2的图象上、下平移或左、右平移得到的。

3．一般式y=ax2+bx+c：

已知图象上任意三点坐标或三对x、y值，分别代入一般式，可以求得函数解析式。

4．顶点式y=a（x-h）2+k：

已知抛物线顶点坐标和另一点坐标，可求得解析式。

5．交点式y=a（x-x1）（x-x2），其中x1、x2是图象与x轴两交点的横坐标，适合此特点的抛物线设为交点式。

22.2二次函数与一元二次方程

1．一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y=ax2+bx+c，当y=0时，自变量x的值，它是二次函数的图象与x轴交点的横坐标。

2．抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系：

当b2-4ac<0时，抛物线与x轴无交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点（即顶点在x轴上）；当b2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点。

3．抛物线y=ax2+bx+c的图象与字母系数a、b、c之问的关系：

（1）当a>0时开口向上，当a<0时开口向下。

（2）若对称轴在y轴的左边，则a、b同号；若对称轴在y轴的右边，则a、b异号；

（3）若抛物线与y轴的正半轴相交，则c＞0；若抛物线与y轴的负半轴相交，则c＜0；若抛物线经过原点，则c=0。

22.3实际问题与二次函数

1．求二次函数y=ax2+bx+c最值的方法：

（1）用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a（x-h）2+k的形式，当自变量x=h时，函数y有最大（小）值为k；

（2）用公式法，当x=时，二次函数y有最大（小）值．

2．面积最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为因变量，建立二次函数模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围。

3．建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：

（1）根据题意建立适当的平面直角坐标系；

（2）把已知条件转化为点的坐标；

（3）合理设出函数解析式；

（4）利用待定系数法求出函数解析式；

（5）根据求出的函数解析式进一步分析、判断并进行有关的计算。

第23章旋转

23.1图形的旋转

１．图形旋转的定义：

把一个图形绕着平面内某一点O转动一定的角度就叫做图形的旋转，点O叫作旋转中心，转动的角度叫作旋转角。

2．图形旋转的性质：

（l）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

（3）旋转前后的图形全等（或重合）。

3．在旋转的过程中，要确定一个图形旋转后的位置，除了应了解图形原来的位置外，还应了解旋转中心、旋转方向和旋转角。

4．旋转作图的步骤：

（1）首先确定旋转中心、旋转方向和旋转角；

（2）其次确定图形的关键点；

（3）将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度；

（4）连接对应点，形成相应的图形。

23.2.1中心对称

1．把一个图形绕着点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于点O对称或中心对称，点O叫作对称中心，这两个图形中的对应点叫作关于中心的对称点。

2．中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，而且被对称中心平分，中心对称的两个图形是全等图形。

23.2.2中心对称图形

1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2．如果将中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个图形的整体就是中心对称图形；反过来，如果将一个中心对称图形沿过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。

23.2.3关于原点对称的点的坐标

1．若P（x，y）与P’关于原点对称，则P’的坐标为（-x，-y）；

2．点P（x，y），P1（-x，y），P2（x，-y），P3（-x，-y）．则点P与点P1的关系是关于y轴对称，点P与点P2的关系是关于x轴对称，点P与点P3的关系是关于原点对称。

第24章圆

24.1.1圆

1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点所形成的图形叫作圆。

这个固定的端点O叫作圆心，线段OA叫做半径。

2．连接圆上任意两点间的线段叫作弦，圆上任意两点间的部分叫作弧，直径是经过同圆心的弦，是圆中最长的弦。

3．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧．

4．确定一个圆有两个要素，一是圆心，二是半径，圆心确定位置，半径确定大小。

24.1.2垂直于弦的直径

1．圆是轴对称图形，它的对称轴是经过圆心的直线；圆又是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

2．垂直于弦的直径的性质定理是垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

3．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

24.1.3弧、弦、圆心角

1．顶点在圆心的角叫作圆心角．

2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么其余各组量也相等。

24.1.4圆周角

1．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

2．半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

3．如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作多边形的外接圆圆内接四边形对角互补。

24.2.1点和圆的位置关系

1．如图，⊙O的半径为r．

（1）点d在⊙O外，则OA＞r；点B在⊙O上，则OB=r；点C在⊙O内，则OC＜__r。

（2）若OA>r，则点d在⊙O外；若OB=r，则点B在⊙O上；若OC

2．在同一平面内，经过一个点能作无数个圆；经过两个点可

作无数个圆，经过不在同一直线上的三个点只能作一个圆。

3．三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是三边垂直平分线的交点。

4．反证法首先假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设错误，从而得到原命题成立。

24.2.2直线和圆的位置关系

1．直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系；

2．直线a与⊙O有唯一公共点，则直线a与⊙O相切；直线b与⊙O有两个公共点，则直线b与⊙O相交；直线c与⊙O没有公共点，则直线c与⊙O相离。

3．设⊙O的半径为r，直线到圆心的距离为d，则：

（1）直线l1与⊙O相离，则d＞r；

（2）直线l2与⊙O相切，则d=r；

（3）直线l3与⊙O相交，则d＜r。

4．切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

5．切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径。

6．经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。

7．圆的切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

8．与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，圆心叫作三角形的内心，它是三角形三内角平分线的交点。

＊圆和圆的位置关系

在同一平面内，两个半径不同的圆之间有下列五种位置关系：

如果两圆的半径分别为r1和r2（r1＜r2），圆心距为d，则:

当两圆外离时_d＞r1+r2；当两圆外切时__d=r1+r2__；当两圆相交时r2-r1＜d＜r1+r2_；当两圆内切时_d=r2-r1；当两圆内含时_0≤d＜r2-r1。

24.3正多边形和圆

1．__各边相等__、__各角相等__的多边形是正多边形。

2．只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

3．一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心，外接圆的半径叫作这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

4．一股地，正n边形的一个内角的度数为，中心角的度数等于，正多边形的中心角与外角的大小相等。

24.4弧长和扇形面积

1．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长是圆周长C=，所以n°的同心角所对的弧长为l=。

2．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积s=，所以圆心角为n°的扇形面积是S扇形=。

3．用弧长表示扇形面积为，其中l为扇形弧长，R为半径。

4．圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线。

5．圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆锥的母线是扇形的半径，圆锥底面圆的周长是扇形的弧长，圆锥侧面积是扇形的面积。

6．如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径是l，扇形的弧长是2πr，

因此圆锥的侧面积为πrl，h、r、l之问满是的关系式为。

第25章概率初步

25.1.1随机事件

１．在一定条件下，有些事件　必然　会发生，这样的事件称为必然事件。

2．在一定条件下，有些事件必然　不会　发生，这样的事件称为不可能事件。

3．在一定条件下，可能　发生　也可能　不发生　的事件，称为随机事件。

4．生活中的事件可分为确定性事件和随机事件，其中确定性事件又分为必然事件和不可能事件。

25.1.2概率

1．一般地,对于一个随机事件A，我们把刻画其发生_可能性大小_的数值,称为随机事件A发生的概率,记为__P（A）__.

2．当试验具有以下特点时：

①每次试验，可能出现的结果只有__有限__个；②每次试验，各结果出现的可能性__相等__。

可以从事件所包含的___各种可能的结果数在__全部可能的结果数中所占的_比__，分析出事件发生的概率。

3．一般地，如果在一次试验中，有_n_种可能的结果，并且它们发生的可能性都__相等__，事件A包含其中的_m_种结果，那么事件A发生的概率为___。

4．当A为必然事件时，P（A）=_1_；当A为不可能事件时，P（A）=_0_；当A为随机事件时，_0_

25.2用列举法求概率

1．古典概率：

即一个实验有n个结果，而事件A包含了其中的rn个结果，则P（A）=。

2．用古典概率定义求概率，必须具备两个条件：

一是一次实验中，可能出现的结果有有限个，各种结果发生的可能性相等。

二是每个基本事件出现的可能性相同。

3．用概率的大小可以判断游戏是否公平。

4．当一次试验要涉及两个因素并且可能出观的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表或画树状法。

5．对于二元事件（两次型问题）要分清摸球放回与不放回。

6．若试验只有两步，用列表法和树状法都可以．若试验在三步或三步以上，只能用画树状图来计算。

25.3利用频率估计概率

1．对一般的随机事件，在同样条件下做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性。

2．一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率里会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P（A）=P=

。