动车组票价定价的规划.doc

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2010届校内数学建模竞赛

题目名称：

动车组票价定价的规划

参赛队号：

zjtiemath11

队员姓名：

殳惠东、阮道明、章程

竞赛类别：

申请参加国家竞赛□不申请参加国家竞赛□

选择题号（在方格内打√）

乙组

A

B

√

浙江经济职业技术学院数学建模基地组委会制

二○一○年六月

2010届校内数学建模竞赛

题目动车组票价定价的规划

摘要：

本文探讨解决在充分考虑出行者和铁路客运部门两方面的利益情况下，给出一个折扣的铁路客票，既能保障出行者使自己的出行费用最小，让多数旅客满意，又能使铁路客运部门在运输市场中取得的经济效益最大。

在如下条件下制定出最优策略的铁路客票价格：

在铁道部目前已经公布的车票价格，根据不同时期、不同季节、不同线路对车票价格进行调节，但调节范围上限在公示票价，下限则不低于最高价格的六折。

而根据统计数据可知，旅客能够承受的平均运营价格为：

0.2465元/公里。

问：

如何在以最快速度收回成本，并让六成旅客对旅行价格满意（平均运营价格浮动不超过15%）条件下的折扣？

四趟动车组D1，D23，D25，D37均采用统一或不同的折扣即合理性？

题设的约束条件下，我们认为这个问题基本上是价格最优化问题。

于是采用优化假设的方法，按照出行者出行费用最小，铁路客运部门取得最大经济效益原则，同时优化统一或不同的折扣，设计出近似的最优价格，以此计算出出行者和铁路客运部门两方面都能接受的折扣价格。

对于问题一，我们通过在D1列车满足旅客人数与浮动价格的条件下进行的分析，即在以最快速度收回成本，并让六成旅客对旅行价格满意（平均运营价格浮动不超过15%）条件下的折扣，这时就是计算D1列车最大利润时的折扣价。

通过数型结合的分析，去确定最后的价格。

对于问题二,计算四趟动车组D1，D23，D25，D37均采用统一折扣。

我们通过数型结合，在计算出D1、D23、D25、D37四辆列车分的利润关系式，在把四个关系式结合成总的利润式，计算在总利润最大时的折扣，即在最快回收成本时的折扣。

对于问题三，计算四趟动车组D1，D23，D25，D37采用不同折扣率，我们也是运用数型结合的方法，分别计算出D1、D23、D25、D37四辆列车分的利润关系式，再求出它们各自的最大利润，即最快回收成本时得折扣。

关键词：

票价，最优折扣，线性规划，数型结合

一、问题重述

在2007年4月18日，中国铁路迎来第六次大面积提速，投入使用的D字头列车的时速将达200公里及以上，平均每公里投资约495万元。

单列CRH列车的投资是2亿元。

动车组的运营成本每趟10万元/每千公里。

在人们感叹火车速度提高的同时，D字头列车票价的提高却引来了多方质疑。

以北京局的几趟动车组为例，由于高票价问题使得单次列车承运人数不到六成。

4月中旬，铁道部在接受媒体采访时称，动车组票价的浮动各铁路局可以自己决定是否推出月票或其他优惠措施。

铁道部目前已经公布的车票价格只是公示价格，并不一定是最高价格，各地铁路运输单位可以根据不同时期、不同季节、不同线路对车票价格进行调节，但调节范围上限在公示票价，下限则不低于最高价格的六折。

因而将北京局的四趟线路近几年的4月20-6月19日的平均乘车人数进行了统计。

根据统计数据可知，旅客能够承受的平均运营价格为：

0.2465元/公里。

要在充分考虑出行者和铁路客运部门两方面的利益情况下，给出一个折扣的铁路客票价格制定的最优策略。

既能保障出行者使自己的出行费用最小，让多数旅客满意，又能使铁路客运部门在运输市场中取得的经济效益最大。

问题1按照以上规定，假设以最快速度收回成本，并让六成旅客对旅行价格满意（平均运营价格浮动不超过15%），讨论北京局的动车组D1的折扣。

问题2假设北京局的四趟动车组D1，D23，D25，D37均采用统一折扣。

给出统一的折扣率。

并说明方法的合理性。

问题3假设北京局的四趟动车组D1，D23，D25，D37采用不同折扣率。

给出一个动车组票价的调整方案，并说明合理性。

二、问题假设

（1）所给数据具有代表性，且认为是准确可靠的。

（2）不考虑具体乘坐是卧铺，软卧还是软座，均假设每列车只有卧铺车。

（3）动车在运行时不出现较大的问题。

（4）铁路客运部门在运输市场中所需的平均成本以及所取得的经济效益不变。

（5）旅客能够承受的平均运营价格变动浮动不大。

（6）两趟车之间没有停顿。

三、符号说明

:

平均运营价格

：

每趟动车运营的利润

:

每趟动车的旅客人数

：

列车的固定成本

：

时间

：

列车来回一趟

：

运营价格的折扣

四、问题分析

由以上给出的资料中我们可以看出，此题是关于价格的线性规划问题，在网上查阅对照有关于线性规划得材料，可以得出题目是要求出最大利润，在关于现有价格与原价格得比较得出给出的折扣是多少，才能保障出行者使自己的出行费用最小，让多数旅客满意，又能使铁路客运部门在运输市场中取得的经济效益最大。

问题一的分析：

首先得出旅客人数与运营价格的关系，再得出D1列车每趟车所能获得的最大利润，则此时的运营价格也就能相应的求出，然后再根据D1列车来回一趟的时间，计算出在D1列车每趟车所能获得的最大利润时需要多少时间才能回收总成本。

最后在根据所画得图，通过数型结合，验证所求的最大利润在所要求的区间内是正确的。

问题二的分析：

所要求的是北京局的四趟动车组D1，D23，D25，D37均采用统一折扣，则首先求出每辆列车的运营价格，再通过题一中的人数与价格的关系，代入，求出D1、D23、D25、D37每辆列车每趟所能获得的利润。

然后再求出四辆列车的总关系式。

最后通过数型结合，画图得出当总利润最大时的统一折扣。

问题三的分析：

所要求的是北京局的四趟动车组D1，D23，D25，D37均采用不同的折扣，则首先则首先求出每辆列车的运营价格，再通过题一中的人数与价格的关系，代入，求出D1、D23、D25、D37每辆列车每趟所能获得的利润。

然后再分别求出四辆列车的分别在最大利润时的折扣。

最后画图得出每辆列车的折扣是在让旅客满意是所能得到的最大的利润。

五、模型的建立与求解

问题1：

根据以上内容以及条件，设为折扣后的运营价格，为旅客能够承受的平均营价格，为平均运营价格，为D1列车每趟动车运营的利润，D1每趟动车的旅客人数，为时间，为D1列车来回一趟车的时间，为收回总的成本的时间，为列车的固定成本，为列车来回一趟。

由题意得：

设

有已知条件可得：

求得

则

则D1列车每趟动车运营的利润

代入

得

因为由题意所要求的是最大利润，所以

由题意得

当时，

根据图所得当时，D1列车每趟动车运营的利润最大元，铁路客运部门在第收回成本，则此时的折扣为。

问题2：

根据以上内容以及条件，设为折扣后的运营价格价格，为旅客能够承受的平均营价格，为平均运营价格，为列车的总利润，D1列车每趟动车运营的利润，D23列车每趟动车运营的利润,D25列车每趟动车运营的利润,D37列车每趟动车运营的利润,D1每趟动车的旅客人数，为运营价格的折扣。

由题意得

同时由问题一得

则

代入

得

代入

得

代入

得

代入

得

因为由题意所要求的是四辆列车D1、D23、D25、D37的最大总利润，所以

根据图所得，当时D1、D23、D25、D37四辆列车每趟所得的利润元，所以北京局的四趟动车组D1，D23，D25，D37均采用统一折扣七五折。

问题3：

根据以上内容以及条件，设为折扣后的运营价格价格，为旅客能够承受的平均营价格，为平均运营价格，为列车的总利润，D1列车每趟动车运营的利润，D23列车每趟动车运营的利润,D25列车每趟动车运营的利润,D37列车每趟动车运营的利润,D1每趟动车的旅客人数，为折扣，为D1列车的折扣，为D23列车的折扣，为D25列车的折扣，为D37列车的折扣。

由题意得

同时由问题一得

1）

代入

得

根据图所得，当时D1列车每趟所得的利润元。

2）

代入

得

根据图所得，当时D23列车每趟所得的利润元。

3）

代入

得

根据图所得，当时D25列车每趟所得的利润元。

4）

代入

得

根据图所得，当时D37列车每趟所得的利润元。

六、结果分析与评价

结果分析：

在模型

（1）中，要求D1列车以最快速度收回成本，并让六成旅客对旅行价格满意（平均运营价格浮动不超过15%），这时因为有两个要求，这在计算时就要在铁路客运部门得到最大利润时也要满足旅客量要求的折扣。

最后通过数型结合求出D1列车在得到最大利润时的折扣价。

在模型

（2）中，则是分析在所要求的北京局的四趟动车组D1，D23，D25，D37均采用统一折扣，这时关于要满足的旅客量要求则不需要了，这时只需要求出四辆列车的最大利润，就是能在最短时间内能回收总成本，这就要先求出四辆列车的分别利润关系式，再通过总利润的关系式求出最大利润，以及这时的统一折扣价。

在模型（3）中，所要求的是北京局的四趟动车组D1，D23，D25，D37均采用不同的折扣，这时则是分别求出四辆列车在其各自的总利润是不同的折扣价。

关于三个模型，它们分别满足的是一辆列车在满足旅客乘坐两的条件下最快回收成本，四两辆车采用同一折扣的条件下最快回收成本以及四辆列车根据自身的因素在不同折扣的条件下最快回收成本。

优点：

1、该模型符合客观性和实际性，易于推广到其他行业关于价格折扣与其他方面。

2、把原问题进行分析剖解，用换位思考的方法解决了问题，大大简化了问题的复杂性。

3、运用所学知识，把语言文字转化为数学符号，即用图表的形式代替搜索路线的具体情况。

缺点：

1、所有的价格折扣都只是在理想状态的设想与分析，在实际过程中还需改进。

2、忽略列车的停车时间，这时不合理的，。

3、在2、3两模型中未考虑到旅客的满意程度

结束语：

在我们的现实社会中，关于列车价格的调整是比较常见的，尤其是新型列车，这就在票价的定价方面存在很多的结论与不同的结果，而我们得模型是优先考虑铁道部门的前提下得出的。

从计算结果来看，我们的结论也是比较合理的。

七、参考文献

[1]全国大学生数学建模竞赛组委会编，《全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编》，北京：

中国物价出版社，2002。

[2]刘锋，《数学建模》，南京：

南京大学出版社，2005。

[3]湖北省大学生数学建模竞赛专家组组编，《数学建模》，武昌喻家山：

华中科技大学出版社，2006。

[4]王冬琳，《数学建模及实验》，北京：

国防工业出版社，2004