简单的三角恒等变换Word文件下载.doc
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∴tan＝＝＝－2.
（2）原式＝1－（sinα＋sinβ）＋sinαsinβ－
＝1－2sincos＋sinαsinβ－
＝sinαsinβ＋
＝sinαsinβ－sinαsinβ
＝0.
1．解决给值求值问题的方法及思路
（1）给值求值问题，其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，经过适当变换已知式或变换欲求式解题．
（2）给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用．
2．三角函数化简的思路及原则：
（1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名；
若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．
（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：
①运用公式之后能否出现特殊角；
②运用公式之后能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；
③运用公式之后能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件．
（3）对于三角函数的和差化积，有时因为使用公式不同，或选择题的思路不同，化积结果可能不一致．
[再练一题]
1．
（1）已知sinα＝，cosα＝，则tan等于（ ）
A．2－ B．2＋
C．－2 D．±
（－2）
（2）化简（－π<
α<
0）.
（1）因为sinα＝>
0，cosα＝>
所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一、三象限．
所以tan>
0，故tan＝
＝＝－2.
【答案】 C
（2）原式＝
＝
＝＝.
因为－π<
0，所以－<
所以sin<
所以原式＝＝cosα.
三角恒等式的证明
（1）求证：
1＋2cos2θ－cos2θ＝2；
（2）求证：
＝.
（1）可由左向右证：
先把左边cos2θ降幂化为同角后整理可证．
（2）可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化．
（1）左边＝1＋2cos2θ－cos2θ＝1＋2×
－cos2θ＝2＝右边．
所以原等式成立．
（2）左边＝
＝＝
＝＝＝＝右边．
三角恒等式证明的五种常用方法：
（1）执因索果法：
证明的形式一般化繁为简．
（2）左右归一法：
证明左右两边都等于同一个式子．
（3）拼凑法：
针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．
（4）比较法：
设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．
（5）分析法：
从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
2．已知0<
，0<
β<
，且3sinβ＝sin（2α＋β），4tan＝1－tan2，求证：
α＋β＝.
证明：
∵3sinβ＝sin（2α＋β），
即3sin（α＋β－α）＝sin（α＋β＋α），
∴3sin（α＋β）cosα－3cos（α＋β）sinα
＝sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα，
∴2sin（α＋β）cosα＝4cos（α＋β）sinα，
∴tan（α＋β）＝2tanα.
又∵4tan＝1－tan2，
∴tanα＝＝，
∴tan（α＋β）＝2tanα＝1，
∵α＋β∈，∴α＋β＝.
三角函数在实际问题中的应用
如图3－2－1所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
图3－2－1
→→
设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，
∴l＝OA＋AB＋OB
＝R＋Rsinα＋Rcosα
＝R（sinα＋cosα）＋R
＝Rsin＋R.
∵0<
，∴<
α＋<
.
∴l的最大值为R＋R＝（＋1）R，此时，α＋＝，即α＝，
即当α＝时，△OAB的周长最大．
1．解答此类问题，关键是合理引入辅助角α，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．
2．在求解过程中，要注意三点：
（1）充分借助平面几何性质，寻找数量关系；
（2）注意实际问题中变量（角α）的范围；
（3）重视三角函数有界性的影响．
3．有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
如图所示，设∠AOB＝θ，则AB＝asinθ，OA＝acosθ.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·
AB，
∴S＝2acosθ·
asinθ＝a2·
2sinθcosθ＝a2sin2θ.
∵θ∈，∴2θ∈（0，π）．
因此，当2θ＝，
即θ＝时，Smax＝a2.
这时点A、D距离O的距离为a，
矩形ABCD的面积最大值为a2.
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合
探究1 如何求函数y＝sin＋2sin2（x∈R）的最小正周期？
【提示】 y＝sin＋1－cos
＝sin＋1＝sin＋1，
所以函数的最小正周期T＝π.
探究2 研究形如f（x）＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx的性质时应首先把函数f（x）化简成什么形式再解答？
【提示】 研究形如f（x）＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx的性质时，先化成f（x）＝sin（ωx＋φ）＋c的形式再解答．
已知函数f（x）＝4cosωx·
sin（ω>
0）的最小正周期为π.
（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间上的单调性．
利用三角公式化简函数式，写为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b的形式，再讨论函数的性质．
（1）f（x）＝4cosωx·
sin
＝2sinωx·
cosωx＋2cos2ωx
＝（sin2ωx＋cos2ωx）＋
＝2sin＋.
因为f（x）的最小正周期为π，且ω>
0，从而有＝π，故ω＝1.
（2）由
（1）知，f（x）＝2sin＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，
即0≤x≤时，f（x）单调递增；
当<
2x＋≤，
即<
x≤时，f（x）单调递减．
综上可知，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asinωx＋bcosωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k（或y＝Acos（ωx＋φ）＋k）的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质．
4．已知函数f（x）＝－sin＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
（1）f（x）＝－sin2x－cos2x＋3sin2x－cos2x
＝2sin2x－2cos2x
＝2sin.
所以f（x）的最小正周期T＝＝π.
（2）由
（1）知f（x）＝2sin，
由于x∈，所以2x－∈，
则sin∈.
所以f（x）在上的最大值为2，最小值为－2.
[构建·
体系]
1．若cosα＝，α∈（0，π），则cos的值为（ ）
A． B．－
C． D．－
由题意知∈，∴cos>
cos＝＝.
2．已知cosα＝，α∈，则sin等于（ ）
A． B．－
C． D．
由题知∈，∴sin>
0，sin＝＝.
【答案】 A
3．已知sinα－cosα＝－，则sin2α的值等于（ ）
C．－ D．
由sinα－cosα＝－，
（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝，所以sin2α＝－.
4．（2014·
山东高考）函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为________．
∵y＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，∴函数的最小正周期T＝＝π.
【答案】 π
5．化简.
＝＝1.
学业分层测评
一、选择题
1．若函数f（x）＝－sin2x＋（x∈R），则f（x）是（ ）
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
f（x）＝－＋＝cos2x.故选D．
【答案】 D
2．（2016·
邢台期末）若sin（π－α）＝－且α∈，则sin等于（ ）
A．－ B．－
由题意知sinα＝－，α∈，
∴cosα＝－，
∵∈，
∴sin＝cos
＝－＝－.故选B．
【答案】 B
3．（2016·
鹤岗一中期末）设a＝cos7°
＋sin7°
，b＝，c＝，则有（ ）
A．b>
a>
c B．a>
b>
c
C．a>
c>
b D．c>
a
a＝sin37°
，b＝tan38°
，c＝sin36°
，由于tan38°
>
sin38°
sin37°
sin36°
，所以b>
c.故选A．
4．若sin（α＋β）cosβ－cos（α＋β）sinβ＝0，则sin（α＋2β）＋sin（α－2β）等于（ ）
A．1 B．－1
C．0 D．±
1
∵sin（α＋β）cosβ－cos（α＋β）sinβ
＝sin（α＋β－β）＝sinα＝0，
∴sin（α＋2β）＋sin（α－2β）
＝2sinαcos2β＝0.
5．若函数f（x）＝（1＋tanx）cosx，0≤x<
，则f（x）的最大值是（ ）
A．1 B．2
C．＋1 D．＋2
f（x）＝（1＋tanx）cosx
＝cosx＝sinx＋cosx
∵0≤x<
，
∴≤x＋<
π，
∴当x＋＝时，
f（x）取到最大值2.
二、填空题
6．若θ是第二象限角，且25sin2θ＋sinθ－24＝0，则cos＝________.
由25sin2θ＋sinθ－24＝0，
又θ是第二象限角，
得sinθ＝或sinθ＝－1（舍去）．
故cosθ＝－＝－，
由cos2＝得cos2＝.
又是第一、三象限角，
所以cos＝±
【答案】 ±
7．（2016·
重庆一中期末）－＝________.
原式＝
＝＝4.
【答案】 4
三、解答题
8．（2015·
广东高考）已知tanα＝2.
（1）求tan的值；
（2）求的值．
（1）tan＝＝＝－3.
（2）
＝＝＝1.
9．设函数f（x）＝2cos2ωx＋sin＋a（其中ω>
0，a∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
（2）设f（x）在区间上的最小值为，求a的值．
f（x）＝1＋cos2ωx＋sin2ωx－cos2ωx＋a＝sin＋a＋1.
（1）由2ωx＋＝2kπ＋（k∈Z），
得ωx＝kπ＋（k∈Z）．
又ω>
∴当k＝0时，f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x＝＝，故ω＝1.
（2）由
（1）知f（x）＝sin＋a＋1，
由≤x≤，得≤2x≤π，≤2x＋≤，
∴当2x＋＝，即x＝时，
f（x）取得最小值为＋a＋1.
由＋a＋1＝，得a＝－.
[能力提升]
1．（2016·
临沂高一检测）已知450°
540°
，则的值是（ ）
A．－sin B．cos
C．sin D．－cos
因为450°
所以225°
所以cosα<
0，sin<
0.
所以原式＝
＝＝＝－sin.故选A．
泉州质检）已知函数f（x）＝2cos2，g（x）＝.
（1）求证：
f＝g（x）；
（2）求函数h（x）＝f（x）－g（x）（x∈[0，π]）的单调区间，并求使h（x）取到最小值时x的值．
（1）证明：
f（x）＝2cos2＝1＋cosx，
g（x）＝
＝1＋2sincos
＝1＋sinx，
∵f＝1＋cos＝1＋sinx，
∴f＝g（x），命题得证．
（2）函数h（x）＝f（x）－g（x）＝cosx－sinx
＝cos，
∵x∈[0，π]，
∴≤x＋≤，
当≤x＋≤π，即0≤x≤时，h（x）递减，
当π≤x＋≤，即≤x≤π时，h（x）递增．
∴函数h（x）的单调递减区间为，
单调递增区间为，
根据函数h（x）的单调性，可知当x＝时，
函数h（x）取到最小值．
小结
①cosαcosβ＋sinαsinβ
②sinαcosβ－cosαsinβ
③
④cosαcosβ－sinαsinβ
⑤sinαcosβ＋cosαsinβ
⑥
⑦cos2α－sin2α
⑧2cos2α－1
⑨1－2sin2α
⑩2sinαcosα
⑪
给值求值问题
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：
①将待求式用已知三角函数表示．②将已知条件转化而推出可用的结论．其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧．解题时首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的的将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值．
已知<
π，tanα＋＝－.
（1）求tanα的值；
（1）结合α的取值范围，求解tanα的值；
（2）利用降幂公式和诱导公式先统一角，通过三角变换转化成关于tanα的式子代入求值即可．
（1）由tanα＋＝－，得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即tanα＝－3或tanα＝－.
又<
π，所以tanα＝－.
（2）原式＝＝
＝＝＝－.
1．已知sin（α＋β）＝，sin（α－β）＝－，求的值．
由sin（α＋β）＝，得
sinαcosβ＋cosαsinβ＝，①
由sin（α－β）＝－，得
sinαcosβ－cosαsinβ＝－，②
①＋②得：
sinαcosβ＝，
①－②得：
cosαsinβ＝，
＝＝＝.
三角函数式的化简与证明
三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．
三角函数式的证明实质上也是化简，是有方向目标的化简；
根本原则：
由繁到简，消除两端差异，达到证明目的．
证明：
＝tanθ.
可从左边向右边证明，先把角由2θ向θ转化，再实现函数名称向tanθ转化．
解法一：
左边＝
＝tanθ＝右边．
解法二：
解法三：
＝＝tanθ
＝右边．
2．求证tan－tan＝.
＝＝－＝tan－tan.
三角恒等变形的综合应用
与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型：
（1）以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin（ωx＋φ）＋k或y＝Acos（ωx＋φ）＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
（2）以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；
有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．
（2016·
宁德质检）已知向量a＝（1，－），b＝（sinx，cosx），f（x）＝a·
b.
（1）若f（θ）＝0，求的值；
（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的值域．
（1）可先由f（θ）＝0求tanθ，再化简后，由tanθ值代入求值；
（2）先化简得f（x）＝Asin（ωx＋φ）的形式，再据x范围求ωx＋φ范围，进而求得f（x）的值域．
（1）∵a＝（1，－），
b＝（sinx，cosx），
∴f（x）＝a·
b＝sinx－cosx，
∵f（θ）＝0，即sinθ－cosθ＝0，
∴tanθ＝，
∴
＝－2＋.
（2）f（x）＝sinx－cosx＝2sin，
∵x∈[0，π]，∴x－∈，
当x－＝－，即x＝0时，f（x）min＝－，
当x－＝，即x＝时，f（x）max＝2，
∴当x∈[0，π]时，函数f（x）的值域为[－，2]．
3．已知向量m＝（sinA，cosA），n＝（，－1），且m·
n＝1，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）＝cos2x＋4cosAsinx（x∈R）的值域.
（1）由题意得m·
n＝sinA－cosA＝1，
2sin＝1，sin＝.
由A为锐角得A－＝，A＝.
（2）由
（1）知cosA＝.
所以f（x）＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx
因为x∈R，所以sinx∈[－1，1]，因此，
当sinx＝时，f（x）有最大值，
当sinx＝－1时，f（x）有最小值－3，
所以所求函数f（x）的值域为.
转化与化归的思想
三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．
已知sin＝，cos＝－，且α－和－β分别为第二、第三象限角，求tan的值．
先根据α－，－β的范围求得其正、余弦再求正切值，最后由＝－求解．
【规范解答】 ∵sin＝，且α－为第二象限角，
∴cos＝－＝－.
又cos＝－，且－β为第三象限角，
∴sin＝－＝－.
∴tan＝－，tan＝，
∴tan＝tan
＝＝－.
4．（2016·
来安中学期末）已知sinα－cosα＝－，α∈，sin＝，β∈.
（1）求sinα和cosα的值；
（2）求cos的值．
（1）由题意得（sinα－cosα）2＝，
即1－sin2α＝，
∴sin2α＝.又2α∈，
∴cos2α＝＝，
∴cos2α＝＝，
∵α∈，∴cosα＝＝，
sinα＝＝.
（2）∵β∈，β－∈，
∴cos＝，
cos
＝cos
＝cosαcos＋sinαsin
＝×
＋×
1．（2015·
全国卷Ⅰ）sin20°
cos10°
－cos160°
sin10°
＝（ ）
A．－ B．
sin20°
＝sin20°
·
＋cos20°
＝sin（20°
＋10°
）＝sin30°
＝，故选D．
2．（2015·
四川高考）sin15°
＋sin75°
的值是________．
sin15°
＝sin15°
＋cos15°
＝（sin15°
cos45°
sin45°
）
＝sin60°
【答案】
3．（2015·
浙江高考）函数f（x）＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.
∵f（x）＝sin2x＋sinxcosx＋1＝＋sin2x＋1＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，∴函数f（x）的最小正周期T＝π.令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之可得函数f（x）的单调递减区间为
（k∈Z）．
【答案】 π （k∈Z）
4．（2015·
天津高考）已知函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω>
0），x∈R.若函数f（x）在区间（－ω，ω）内单调递增，且函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
f（x）＝sinωx＋cosωx
＝sin，
因为f（x）在区间（－ω，ω）内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，
所以f（ω）必为一个周期上的最大值，所以有ω·
ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.
又ω－（－ω）≤，即ω2≤，所以ω2＝，
所以ω＝.
5．（2015·
重庆高考）已知函数f（x）＝sin2x－cos2x.
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．
（1）f（x）＝sin2x－cos2x
＝sin2x－（1＋cos2x）
＝sin2x－cos2x－
＝sin－，
因此f（x）的最小正周期为π，最小值为－.
（2）由条件可知
g（x）＝sin－.
当x∈时，
有x－∈，
从而y＝sin的值域为，
那么y＝sin－
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