初中数学相似三角形的经典综合题.docx

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初中数学相似三角形的经典综合题

初中数学相似三角形的性质与应用经典试题

一、知识体系：

1．相似三角形的性质

1相似三角形的对应角相等；

2相似三角形的对应边成比例；

3相似三角形对应边上的高之比，对应边上的中线之比，对应角的角平分线之比都等于相似比；

4相似三角形的周长之比等于相似比。

5相似三角形的面积之比等于相似比的平方（k2）。

、典型例题：

针对练习：

针对练习：

4．如图，在四边形ABCD中，E是AD上的一点，EC∥AB，EB∥DC，若△ABE的面积为3，△ECD的面积为1，则△BCE

的面积为▲。

5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O。

M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON＝1。

1求BD的长；

2若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积。

6．（2012湖北鄂州，10）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1,0），点D的坐标为（0,2），

延长CB交x轴于点A1，作正方形

A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，⋯按这样的规律进行下

①如果把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上。

问加工成的正方形零件的

边长是多少mm？

②如果把它加工成矩形零件，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为

多少mm？

请你计算。

针对练习：

1．）如图，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，

G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为（）

A．1B．2C．1226D．626

GFMN，⋯，KHIJ，则每个小正方形的边长为（

按图①进行加工，小华准备按图②进行裁料，他们谁的加工方案符合要求？

例4：

如图，为了测量大树的高度，小华在B处垂直竖立起一根长为2.5m的木杆，当他站在点F处时，他的眼睛E、

木杆的顶端A、树端C恰好在同一条直线上，量得BF＝3m，BD＝9m，小华的眼睛E与地面的距离EF为1.5m，求

大树的高度。

针对练习：

1．如图，已知：

某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗

杆影长时，因旗杆靠近一幢房子，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为9米，留在墙上的影长CD为2米，求旗杆的高度。

2．如示意图，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块30米长且平行于公路的巨型广告牌（DE），广告牌挡住

了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区的那段公路记BC，一辆以60公里/小时匀速行驶的汽车经过公

35米，求小华家到公路的距离．

路BC段的时间为6秒，已知广告牌和公路的距离为

3．如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，

BD的底部．已知王华同学的身高是1.6m，

当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯两个路灯的高度都是9.6m。

①求两个路灯之间的距离；

②当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？

4．如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此

时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好

看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合。

小亮的眼睛离地面高度EF＝1.5m，量得CE＝2m，EC1＝6m，C1E1＝3m。

①△FDM∽△▲，△F1D1N∽△▲②求电线杆AB的高度。

相似三角形的判定

、知识体系：

1．相似三角形的概念：

三边对应成比例，三个角对应相等的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比叫做相似比，一般用k表示。

2．相似三角形的判定：

1

平行法）；

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似（

2两角对应相等，两个三角形相似（“AA”）；

3

两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（“SAS”）；

3．相似三角形的基本图形

、典型例题：

例1：

如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE，求证：

△ABC∽△ADE。

针对练习：

1．已知：

如图，AB＝AC，∠DAE＝∠B。

求证：

△ABE∽△DCA。

2．已知：

如图，△PQR是等边三角形，∠APB＝120°，求证：

△PAQ∽△BPR。

3．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3，求证：

△ABC∽△DEF。

4．已知：

如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC＝∠DAG，∠CDG＝∠BAD。

①求证：

ADAG；

ABAC

②当GC⊥BC时，求证：

∠BAC＝90°。

例2：

（2014福建南平，21）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD＝∠C，求证：

针对练习：

1．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G。

写出图中三对

相似三角形，并证明其中的一对。

且∠AFE＝∠B。

1求证：

△ADF∽△DEC；

2若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长。

针对练习：

1．（2014辽宁本溪，9）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，BD＝3，

则CF等于（）

A．1B．2C

2．如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点。

（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E。

试说明

E是△ABC的自相似点；

（2）在△ABC中，∠A∠B∠C．

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；

②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数。

针对练习

（1）求证：

△APB≌△APD；

求证：

△ADB∽△EAC。

①求y与x的函数关系式

（2）已知DF:

FA＝1:

2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y

1．如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4。

求证：

△ABC∽△DBE。

②当x6时，求线段FG的长。

延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G。

2．已知：

如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE＝∠ACD，BE、CD交于点G。

①求证：

△AED∽△ABC；

②如果BE平分∠ABC，求证：

DE＝CE。

3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝BE＝EF＝FC。

找出图中相似的三角形，并说明理由。

4．（2014山东淄博，23）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE

交AM于点N，AB＝AC＝BD。

连接MF，NF。

①判断△BMN的形状，并证明你的结论；

②判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由。

k5．（2014江苏徐州，27）如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数yk

x图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F。

已知B（1,3）。

①k▲；

②试说明AE＝BF；

21

3当四边形ABCD的面积为时，求点P的坐标。

4

6．在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，∠AMC＝∠ABC，求证：

①AC2AEAM；②MB⊥AM。

射影定理：

Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD是斜边AB上的高，则有射影定理如下：

2

①CD2ADBD（由△ADC∽△CDB推导出）；

2

②AC2ADAB（由△ACD∽△ABC推导出）；

2

③BC2BDBA（由△BCD∽△BAC推导出）。

例6：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

1．已知：

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，

1

求BC、AB的长；

2．如图，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为D、E、F。

1

求证：

△CEF∽△CBA；

2连接EF交CD于点O，线段OC、OD、OE、OF成比例吗？

为什么？

相似三角形中的动态几何问题

图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态几何。

动态几何问题是近年来各地中考的热点和难点，

通常以压轴题形式出现在中考数学试卷中，分值占总分的10%左右。

它通常分为三种类型：

动点问题、动线问题、动形

，化“动

问题。

在解这类题时，要充分发挥空间想象的能力，往往不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静为“静”，把相关的线段用含有时间t（或其他字母）的代数式表示出来，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。

例1：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm。

动点P以4cm/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动；同时，动点Q以2cm/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动。

当其中有一点到达终点时，它们都停止移动。

设移动的时间为t秒。

1当t3秒时，P，Q两点之间的距离是多少？

2求△CPQ的面积S（cm2）与时间t（s）的函数关系式，并直接写出t的取值范围；

3t为何值时，以点C、P、Q为顶点的三角形与与△ABC相似？

练习1.1：

如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0,6）、点B（8,0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位

达终点时，另一个点也随之停止。

设点P、Q移动的时间为t秒。

1求直线AB的解析式；

2当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？

③求△APQ的面积S（用含t的代数式表示）。

练习1.2：

（2013江苏苏州，28）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm。

点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点

G的运动速度为1.5cm/s。

当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动。

在运动过程中，△EBF关

于直线EF的对称图形是△△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：

s）。

1当ts时，四边形EBFB'为正方形；

2

若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；

例2：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，BC＝10，梯形的高为4。

动点M从B点出发沿线段BC以每秒2

个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，当其中

t（秒）。

有一点到达终点时，它们都停止移动。

设运动的时间为

①求∠B的度数以及AB的长；

2

当MN∥AB时，求t的值；

③试探究：

t为何值时，△MNC为直角三角形？

个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，当N点到达D点时，M点随之停止运动。

设运动的时间为t秒，

①求BC的长；

②试探究：

t为何值时，△MNC为等腰三角形？

练习2.2：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点。

点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC-CA于点G。

点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停

止。

设点P，Q运动的时间是t秒（t0）。

①D，F两点间的距离是；

②射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？

若能，求出t的值；若不能，说明理由；

3当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；

4

连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值。

例3：

如图所示，在ΔABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当其中有一点到达终点时，另一点也停止移动。

设运动时间为x。

①当x为何值时，PQ∥BC？

②当SBCQ1，求SBPQ的值；

SABC3SABC

3ΔAPQ能否与ΔCQB相似？

若能，求出AP的长；若不能，请说明理由。

练习3：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，CD＝4cm，BC＝BD＝10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1AD＝6cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE。

当其中

t（s）（0t5）。

有一点到达终点时，另一点也停止移动。

若设运动时间为

①当t为何值时，PE∥AB？

②设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；2

③是否存在某一时刻t，使S△PEQS△BCD？

25

例4：

如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

①当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

②设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

3作QR∥BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

练习4：

在△ABC中，∠BAC＝90°，ABAC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P在线段BA上以每秒3cm

的速度由点B向点A运动。

同时，动点Q在线段AC上由点N向点C运动，且始终保持MQ⊥MP。

一个点到终点时，两个点同时停止运动。

设运动时间为t秒（t0）。

①△PBM与△QNM相似吗？

请说明理由；

②若∠ABC＝60°，AB＝43cm。

（1）求动点Q的运动速度；

（2）设△APQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；

222

③探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，请说明理由。

例5：

如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C三点的坐标分别为A（8,0）、A（8,10）、

C（0,4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间

为t秒。

①求直线BC的解析式；

2

②若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的？

7

3动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指

出自变量t的取值范围；

4当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？

请求出此时动点P的坐标；若

不能，请说明理由。

练习5：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5。

点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动。

伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB—BC—CP于点E。

点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止。

设点P、Q运动的时间是t秒（t0）。

①当t＝2时，AP＝，点Q到AC的距离是；

②在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；

3在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？

若能，求t的值；若不能，请说明理由；

4当DE经过点C时，请直．接．写出t的值。

相似三角形单元复习

知识点一：

比例的性质与成比例线段

例1：

不为0的四个实数a，b，c，d满足abcd，改写成比例式错误的是（▲）

ad

A．B．

cb

ca

bd

C

．d

a

bc

acD．

bd

针对练习：

1．4和1的比例中项是

▲

。

2．已知线段b是线段

a，

c的比例中项，

且a

9，

c4，则b▲

x2

例2：

如果x2，则

x

y

▲

。

y3

x

y

针对练习：

1．

如果

xy

7

，那么

y

的值是（▲）

y

4

x

3

2

4

．3

A．

B

．

C

．D

4

3

3

2

2．

若

a

b

c

k，则k的值是（

▲）

b

c

ca

a

b

A．

1

B

－1

C

．1或－1

D．

3

2

2

2

知识点二：

相似三角形的判定：

例3：

如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC＝∠B，CD＝CE，试说明△ACE∽△BAD。

针对练习：

1．如图，△BAC、△AGF为等腰直角三角形，且△BAC≌△AGF，∠BAC＝∠AGF＝90°。

若△BAC固定不动，△AFG绕点

A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E。

请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明。

知识点三：

相似三角形的性质

N为AB的中点，连接DN并延长交CB的延长线于点P，连接AC交DN于点M。

若PN＝3，

3．如图，已知△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，若AC＝10，BC＝15，则AE＝▲，DE＝▲。

例5：

（2014浙江宁波，8）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面

针对练习：

2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若SADE:

SBDE1:

2，则SADE:

SBEC（▲）

A．1:

4B．1:

6C．1:

8D．1:

93．如图所示，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于面积为▲cm2。

BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的

知识点四：

位似三角形

例7：

如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为

2:

5，且三角尺的一边长为8cm，则投影

三角形的对应边长为▲cm。

针对练习：

1．已知，如图，直角坐标系中，点E（4,2），F（

1,1），以O为位似中心，按比例尺2:

1把△EFO缩小，则点E的对

应点E′的坐标为（▲）

A．（2,1）或（2,1）B．（8,4）或（8,4）

C．（2,1）

（8,4）

的位似图形△A

x轴的上方，

点C的坐标是（

1,0）。

以点

C为位似中心，在x轴的下方作△ABC

▲）

A．1a

2

B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍。

设点

1

21（a1）C

1

21（a1）D

B的对应点

1

12（a3）

B′的横坐标是a，则点B的横坐标是

知识点五：

以直角三角形为背景的相似问题（“K”字型相似等问题）

例8：

如图，正方形ABCD中，

E为AB的中点，

AF⊥DE于点O，则AO等于（▲）

DO

A．1B

2

25

3

针对练习：

1．如图，一个边长为3、4、5的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，

另两个顶点分别在正方形的两条边

AD、

DC上，那么这个正方形的面积是

cm2。

2．如图：

▲

边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为

S1、S2，则S1S2的值为（

▲）

A．60

．64C．68

D．72

3．如图，

Rt△ABC中∠C＝90°，

放置边长分别为3、4、x的三个正方形，则

x的值为（▲）

．12

A．5

B

BC＝4，

．6C．7

A．y12xB

12

．yC

x

C停止．记PA＝x，点D到直线

▲

）

y

动点

x