平行四边形对角线性质专题练习Word文档格式.docx

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7．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　）

A.BO＝DOB.CD＝ABC.∠BAD＝∠BCDD.AC＝BD

二、解答题

8．实验与探究

（1）在图①，图②，图③中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标，写出图①，图②，图③中的顶点C的坐标，它们分别是________，___________，____________；

（2）在图④中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；

归纳与发现

（3）通过对图①，图②，图③，图④的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：

无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点C坐标为（m，n）（如图④）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为___________，纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为__________．（不必证明）

9．如图，▱ABCD的周长为26cm，AC，BD相交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小3cm，求AB，BC的长．

10．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N在对角线AC上，且AM＝CN，求证：

BM∥DN.

11．如图，O为▱ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE＝OF.

（1）图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；

（2）求证：

∠MAE＝∠NCF.

12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AC∶BD＝2∶3.

（1）求AC的长；

（2）求△AOD的面积．

三、填空题

13．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2

cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长______cm．

14．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为____．

15．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°

，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°

到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为____．

参考答案

1．C

【解析】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴S△AOD=S△COD=S△BOC=S△AOB．

∵△AOB的面积为3，∴▱ABCD的面积为4×

3=12．故选C．

2．B

【解析】试题分析：

由平行四边形的性质得出OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC的周长．

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，

∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．

故选：

B．

3．A

∵ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．∵EF∥AB，GH∥AD，∴EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，∴AGPE，ABFE，AGHD，PFCH，BCHG，FCDE是平行四边形．

∵ABCD为平行四边形，BD为对角线，∴S△ABD=S△BCD．

同理S△BFP=S△BGP，S△PED=S△HPD．

∵S△BCD－S△BFP－S△PHD=SPFCH，S△ABD－S△GBD－S△EPD=SAGPE，

∴SPFCH=SAGPE，∴SAGHD=SEFCD，SABFE=SBCHG，

∴有3对面积相等的平行四边形．故选A．

点睛：

本题考查了平行四边形的性质．平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．并且平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成面积相等的两个图形．

4．C

【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，

∴△OBE≌△ODH，△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，∴S阴影=S△BCD，

∴S△BCD=

S平行四边形ABCD=

×

6×

4=12．故选C.

5．B

∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4，AD=BC=5，OA=OC，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF=OE=1.5，CF=AE．

故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD=12．故选B．

6．C

∵AB=3，BC=5，∴2＜AC＜8．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=

AC，∴1＜OA＜4．故选C．

7．D

根据平行四边形的性质（①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分）判断即可．

A、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分），正确，不符合题意；

B、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB，正确，不符合题意；

C、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD=∠BCD，正确，不符合题意；

D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC=BD，错误，符合题意；

故选D．

考点:

平行四边形的性质．

8．

（1）（5，2），（e＋c，d），（c＋e－a，d）；

（2）C（e＋c－a，f＋d－b）；

（3）m＋a＝c＋e，n＋b＝d＋f

（1）根据平行四边形的性质：

对边平行且相等，得出图2，3中顶点C的坐标分别是（e+c，d），（c+e﹣a，d）；

（2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F．在平行四边形ABCD中，CD=BA，根据内角和定理，利用BB1∥CC1，可推出∠EBA=∠FCD，△BEA≌△CFD．依题意得出AF=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b．设C（x，y）．由e﹣x=a﹣c，得x=e+c﹣a．由y﹣f=d﹣b，得y=f+d﹣b．继而推出点C的坐标．

（3）在平行四边形ABCD中，CD=BA，同理证明△BEA≌△CFD（同

（2）证明）．然后推出AF=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b．又已知C点的坐标为（m，n），e﹣m=a﹣c，故m=e+c﹣a．由n﹣f=d﹣b，得出n=f+d﹣b．

试题解析：

（1）利用平行四边形的性质：

对边平行且相等，得出图1、图2，3中顶点C的坐标分别是：

（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）．

故答案为：

（2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F．

在平行四边形ABCD中，CD=BA，又∵BB1∥CC1，∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度，∴∠EBA=∠FCD．

在△BEA和△CFD中，∵∠AEB=∠DFC，∠EFA=∠FCD，AB=DC，∴△BEA≌△CFD（AAS），∴AE=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b．

设C（x，y）．由e﹣x=a﹣c，得：

x=e+c﹣a．

由y﹣f=d﹣b，得：

y=f+d﹣b，∴C（e+c﹣a，f+d﹣b）．

（3）在平行四边形ABCD中，CD=BA，同理可得△BEA≌△CFD，则AF=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b，∵C点的坐标为（m，n），e﹣m=a﹣c，∴m=e+c﹣a．由n﹣f=d﹣b，得：

n=f+d﹣b，故答案为：

m=c+e﹣a，n=d+f﹣b或m+a=c+e，n+b=d+f．

本题主要考查了平行四边形的性质，平面直角坐标系内的坐标，平行线的性质等知识．理解平行四边形的特点结合平面直角坐标系是解决本题的关键．

9．AB＝8cm，BC＝5cm

根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△BOC的周长比△AOB的周长小3cm，则AB比BC大3cm，继而可求出AB、BC的长度．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD．∵△BOC的周长比△AOB的周长小3cm，∴（AB＋OB＋OA）－（BC＋OC＋OB）＝3，∴AB－BC＝3．∵2（AB＋BC）＝26，∴AB＋BC＝13，∴AB＝8cm，BC＝5cm．

10．证明见解析

由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，再证出OM=ON，由SAS证明△BOM≌△DON，得出对应角相等∠OBM=∠ODN，再由内错角相等，两直线平行，即可得出结论．

证明：

∴OA=OC，OB=OD，

∵AM=CN，∴

在△BOM和△DON中,

∴△BOM≌△DON（SAS），

∴∠OBM=∠ODN，

∴BM∥DN.

11．

（1）4对，△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA；

（2）证明见解析

（1）单个三角形全等的是：

△AMO≌△CNO，△AME≌△CNF．由2部分组成全等的是：

△OCF≌△OAE，△ABC≌△CDA；

（2）由题中已知条件可证得△OCF≌△OAE，进而求得∠EAO=∠FCO，而后利用平行四边形的对边平行的性质求得相应的内错角相等，进而求解．

（1）有4对全等三角形．

分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA；

（2）∵OA=OC，∠1=∠2，OE=OF，

∴△OCF≌△OAE．

∴∠EAO=∠FCO．

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，

∴∠BAO=∠DCO．

∴∠EAM=∠NCF．

考点：

全等三角形的判定与性质．

12．

（1）

；

（2）

（1）由“平行四边形的对角线互相平分”得到AO：

BO=2：

3，所以在直角△AOB中，利用勾股定理来求OA的长度，则AC=2OA；

（2）△AOD与△AOB是等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．

（1）如图，在▱ABCD中，OA=OC=

AC，OB=OD=

BD．

∵AC：

BD=2：

3，

∴AO：

故设AO=2x，BO=3x，则在直角△ABO中，由勾股定理得到：

OB2﹣OA2=AB2，即9x2﹣4x2=20，

解得，x=2或x=﹣2（舍去），

则2x=4，即AO=4，

∴AC=2OA=8；

（2）如图，S△AOB=

AB•AO=

4=4

．

∵OB=OD，

∴S△AOD=S△AOB=4

平行四边形的性质．

13．4

在▱ABCD中，已知AB=CD=2

cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，根据平行四边形的性质得到AB=CD=2

cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，又因AC⊥BC，根据勾股定理可得AC=6cm，即可得OC=3cm，再由勾股定理求得BO==5cm，所以BD=10cm，所以△DBC的周长﹣△ABC的周长=BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）=BD﹣AC=10﹣6=4cm，

平行四边形的性质；

勾股定理．

14．20

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，∵OE⊥BD，∴BE=DE，∵△CDE的周长为10，即CD+DE+EC=10，∴平行四边形ABCD的周长为：

AB+BC+CD+

AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×

10=20．

15．

如图，连接BB′．根据折叠的性质知△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=

BE．又B′E是BD的中垂线，则DB′=BB′．

∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，

∴BE=

BD=1．

如图2，连接BB′．

根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°

，

BE=B′E．

∴∠BEB′=90°

∴△BB′E是等腰直角三角形，

则BB′=

BE=

又∵BE=DE，B′E⊥BD，

∴DB′=BB′=

等腰直角三角形；

翻折变换（折叠问题）．