相交线与平行线概念三线八角.docx
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相交线与平行线概念三线八角
相交线与平行线概念、三线八角
温故知新
1.将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开,展开后不能得到的平面图形是( )
A.
B.
C.
D.
2.如图,图中共有( )条线段.
A.5B.6C.7D.8
3.如图,C、D是线段AB上的两点,且D是线段AC的中点.若AB=10cm,BC=4cm,则AD的长为( )
A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm
4.如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于O,则∠AOC+∠DOB=( )
A.90°B.120°C.160°D.180°
5.钟表在8:
25时,时针与分针的夹角是( )度.
A.101.5B.102.5C.120D.125
6.一个圆柱的侧面展开图是边长为a的正方形,则这个圆柱的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图,点D是线段AB的中点,点C是线段AD的中点,若CD=1,则AB= .
8.如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为8,8π的长方形,那么这个圆柱的体积等于 .
课前热身
1.平面内三条直线的交点个数可能有( )
A.1个或3个B.2个或3个
C.1个或2个或3个D.0个或1个或2个或3个
2.下列图形中,∠1与∠2不是对顶角的有( )
A.1个B.2个C.3个D.0个
3.如图所示,直线AB、CD相交于点O,且∠AOD+∠BOC=100°,则∠AOC是( )
A.150°B.130°C.100°D.90°
4.如图所示,直线AB⊥CD于点O,直线EF经过点O,若∠1=26°,则∠2的度数是( )
A.26°B.64°
C.54°D.以上答案都不对
5.点P是直线l外一点,A、B、C为直线l上的三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线l的距离( )
A.小于2cmB.等于2cmC.不大于2cmD.等于4cm
6.如图,P为直线l外一点,A、B、C在l上,且PB⊥l,有下列说法:
①PA,PB,PC三条线段中,PB最短;②线段PB的长叫做点P到直线l的距离;③线段AB的长是点A到PB的距离;④线段AC的长是点A到PC的距离.其中正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.已知∠1和∠2是同旁内角,∠1=40°,∠2等于( )
A.160°B.140°C.40°D.无法确定
8.一副三角板,如图所示叠放在一起,则∠AOB+∠COD=( )
A.180°B.150°C.160°D.170°
9.如图,直线a与b相交于点O,直线c⊥b,且垂足为O,若∠1=35°,则∠2= .
遗漏分析
【学科分析】
1.相交线
①未理解相交线的基本概念
②对顶角的概念理解透彻
③未掌握垂线段的画法
2.内错角、同位角、同旁内角
①对“三线八角”理解有误
②各个角度之间的关系没理解透彻
【学生分析】
知识精讲
精讲1相交线
1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线。
∠3+∠4=180°
注意点:
⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;
⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
例1-1:
下列说法正确的有()
①因为∠1与∠2是对顶角,所以∠1=∠2;②因为∠1与∠2是邻补角,所以∠1=∠2;
③因为∠1和∠2不是对顶角,所以∠1≠∠2;④因为∠1和∠2不是邻补角,所以∠1+∠2≠180°.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2、垂线
⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作:
如图所示:
AB⊥CD,垂足为O
⑵垂线性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简称:
垂线段最短。
3、垂线的画法:
⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意:
①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;
②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。
画法:
⑴一靠:
用三角尺一条直角边靠在已知直线上
⑵二移:
移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上
⑶三画:
沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。
4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
记得时候应该结合图形进行记忆。
如图,PO⊥AB,同P到直线AB的距离是PO的长。
PO是垂线段。
PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
分析它们的联系与区别
⑴垂线与垂线段区别:
垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度。
联系:
具有垂直于已知直线的共同特征。
(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离区别:
两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间。
联系:
都是线段的长度;点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。
⑶线段与距离距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同。
例1-2:
如图,工厂A要把处理过的废水引入排水沟PQ,从工厂A沿________方向铺设水管用料最省,这是因为________.
精讲2.同位角、内错角、同旁内角
1、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图,直线
被直线
所截
①∠1与∠5在截线
的同侧,同在被截直线
的上方,
叫做同位角(位置相同)
②∠5与∠3在截线
的两旁(交错),在被截直线
之间(内),叫做内错角(位置在内且交错)
③∠5与∠4在截线
的同侧,在被截直线
之间(内),叫做同旁内角。
④三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“A”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型。
例2-1:
如下图,两条直线AB、CD被第三条直线EF所截,这样图中就构成八个角,试找出图中的同位角、内错角和同旁内角有哪些?
2、如何判别三线八角
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全。
例如:
如图,判断下列各对角的位置关系:
⑴∠1与∠2;⑵∠1与∠7;⑶∠1与∠BAD;⑷∠2与∠6;⑸∠5与∠8。
我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图。
如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;∠1与∠7是同位角;∠1与∠BAD是同旁内角;∠2与∠6是内错角;∠5与∠8对顶角。
注意:
图中∠2与∠9,它们是同位角吗?
不是,因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成。
巩固练习
对顶角、邻补角
1.∠1的对顶角是∠2,∠2的邻补角是∠3,若∠3=75°,则∠1的度数是( )
A.75°B.105°C.90°D.75°或105°
2.如图,直线相交于点O,则∠1+∠2+∠3等于( )
A.90°B.120°C.180°D.360°
垂线段
3.如图,图中已标明了三组互相垂直的线段,那么点B到AC的距离是 ,点C到AB的距离是 .
4.如图:
BC⊥AC,BC=8cm,AB=10cm,AC=6cm,那么点B到AC的距离为 .
内错角、同位角、同旁内角
5.如图,有下列判断:
①∠A与∠1是同位角;②∠A与∠B是同旁内角;③∠4与∠1是内错角;④∠1与∠3是同位角.其中正确的是 (填序号).
6.如图,按角的位置关系填空:
∠A与∠1是 ;∠A与∠3是 ;∠2与∠3是 .
7.如图,直线a、b被直线l所截,已知∠1=40°,试求∠2的同位角及同旁内角的度数.
8.如图,用数字标出的八个角中,同位角、内错角、同旁内角分别有哪些?
请把它们一一写出来.
课堂小结
1.熟练掌握内错角、同位角、同旁内角的关系,是解答这类题目的关键;对于证明题,一定要规范步骤。
2.对于相交线的相关知识点,不要死记硬背,一定要理解着记忆,这样才能熟练应用。
3.互为余角的有关性质:
①∠1+∠2=90°,则∠1、∠2互余;反过来,若∠1,∠2互余,则∠1+∠2=90°;
②同角或等角的余角相等,如果∠l十∠2=90°,∠1+∠3=90°,则∠2=∠3.
4.互为补角的有关性质:
①若∠A+∠B=180°,则∠A、∠B互补;反过来,若∠A、∠B互补,则∠A+∠B=180°.
②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C=180°,∠A+∠B=180°,则∠B=∠C
强化提升
1.如图,两条直线AB,CD交于点0,射线OM是∠AOC的平分线,若∠BOD=80°,则∠BOM等于( )
A.40°B.120°C.140°D.100°
2.如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM,若∠AOM=35°,则∠CON的度数为( )
A.35°B.45°C.55°D.65°
3.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,点P是边BC上的动点,则AP长不可能是( )
A.2.5B.3C.4D.5
4.如图,OA⊥OB,OC⊥OD.若∠AOD=144°,则∠BOC= .
5.一块直角三角板放在两平行直线上,如图所示,∠1+∠2= 度.
6.如图,有下列判断:
①∠A与∠1是同位角;②∠A与∠B是同旁内角;③∠4与∠1是内错角;④∠1与∠3是同位角.其中正确的是 (填序号).
7.指出图中各对角的位置关系:
(1)∠C和∠D是 角;
(2)∠B和∠GEF是 角;
(3)∠A和∠D是 角;
(4)∠AGE和∠BGE是 角;
(5)∠CFD和∠AFB是 角.
课后作业
1.在数学课上,同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时,有一部分同学画出下列四种图形,请你数一数,错误的个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如图,已知点O在直线AB上,CO⊥DO于点O,若∠1=145°,则∠3的度数为( )
A.35°B.45°C.55°D.65°
3.如图中直线l1,l2被l3所截,则同位角有( )对.
A.1对B.2对C.3对D.4对
4.如图所示,下列说法错误的是( )
A.∠1和∠3是同位角B.∠1和∠5是同位角
C.∠1和∠2是同旁内角D.∠5和∠6是内错角
5.如图所示,同位角共有( )
A.6对B.8对C.10对D.12对
6.一副三角板,如图所示叠放在一起,则∠AOB+∠COD=( )
A.180°B.150°C.160°D.170°
7.如图,直线AB、CD相交于O,OE⊥AB,OF⊥CD,则与∠1互为余角的有( )
A.3个B.2个C.1个D.0个
8.一块长方体橡皮被刀切了3次,最多能被分成 块.
9.如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF⊥OE,∠1=20°,则∠BOE= °,∠DOF= °,∠AOF= °.
10.已知:
∠MON=132°,射线OC是∠MON内一条射线,且
∠CON+
∠MOC=59度.问OM与OC是否垂直,并说明理由.