第单元相交线与平行线三角形.docx

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第单元相交线与平行线三角形

初三数学第一轮总复习教案

第七单元相交线与平行线、三角形

【考纲解读】

大纲要求：

1.了解直线、线段和射线等概概念的区别，两条相交直线确定一个交点，了解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概念，掌握两点确定一条直线的性质，角平分线的概念，度、分、秒的换算，几何图形的符号表示法，会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形；

2.了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念，了解垂线段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，会识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行

3.了解全等形，全等三角形的概念和性质，逆命题和逆定理的概念，理解三角形，三角形的顶点，边，内角，外角，角平分线，中线和高线，线段中垂线等概念。

4.理解三角形的任意两边之和大于第三边的性质，掌握三角形的内角和定理，三角形的外角等于不相邻的两内角的和；三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角的性质；

5.理解全等三角形的概念和性质。

掌握全等三角形的判定公理及其推论，并能应用他们进行简单的证明和计算。

6.学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握寓丁几何证明中的分析，综合，转化等数学思想。

7.理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的两底角相等、等腰三角形三线合一等性质，掌握两个角相等的三角形是等腰三角形等判定定理，并能运用它们进行简单的证明和计算；

8.理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的各角都是60°等性质，掌握三个角都相等的三角形或一个角是60°的等腰三角形都是等边三角形等判定，能运用它们进行简单的证明和计算；

9.了解轴对称及轴对称图形的概念，会判断轴对称图形。

10.了解逆命题和逆定理的概念；掌握直角三角形中两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半及30°角所对的直角边等于斜边的一半等性质，掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们进行简单的论证和计算；掌握角平分线的性质定理及其逆定理，线段中垂线性质定理及其逆定理。

知识要点：

两点确定一条直线、相交线、线段、射线、线段的大小比较、线段的和与差、线段的中点、角、角的度量、角的平分线、锐角、直角、钝角、平角、周角、对顶角、邻角、余角、补角、点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角、平行线、平行线的性质及判定、命题、定义、公理、定理。

三角形

等腰三角形

直角三角形

【经典例题】

角的计算

例1．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_________．

解读：

这类题是近几年中考的常见题型，主要考查学生对问题的转化思想及分析、解决问题的能力．通过观察图形，可作出一条辅助线，从而把问题化难为易．

点评：

适当添加辅助线是解决几何问题的重要手段，有时方法不唯一，可引导学生多方面、多角度去思考．

答案：

180°

【平行线的应用】

例2．如图所示，下列条件中，不能判断L1∥L2的是（）

A．∠1=∠2B．∠2=∠3

C．∠4=∠5D．∠2+∠4=180°

分析：

根据平行线的判定或性质，不难得到：

∠2=∠3不能判断L1∥L2．

点评：

这类问题可由选项出发找结论，也可由结论出发找选项．

答案：

B

根据条件求线段长度或长度比

例3．

（1）数轴上有两点A、B分别表示实数a、b，则线段AB的长度是（）

A．a-bB．a+bC．│a-b│D．│a+b│

（2）已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为（）

A．3：

4B．2：

3C．3：

5D．1：

2

分析：

本类题目做时注意线段长度是非负数，若有字母注意使用绝对值．

点评：

解决本例类型的题目应结合图形，即数形结合，这样做起来简捷．根据条件求线段长度或长度比可引导学生从不同的途径分析解答．

答案：

（1）C

（2）A

三角形内角和定理的证明

例4．如图所示，把图

（1）中的∠1撕下来，拼成如图

（2）所示的图形，从中你能得到什么结论？

请你证明你所得到的结论．

点证：

此题是让学生动手拼接，把∠1移至∠2，已知a∥b，根据两直线平行，同旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于180°”的结论，由于此题剪拼的方法很多，证明的方法也很多，注意对学生的引导．

答案：

三角形三内角的和等于180°

探索三角形全等的条件

例5．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：

①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．

其中正确的结论是_________．

解读：

由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF

可判定△AEB≌△AFC，从而得∠EAB=∠FAC．

∴∠1=∠2，又可证出△AEM≌△AFN．

依此类推得①、②、③

点评：

注意已知条件与隐含条件相结合．

答案：

①、②、③

全等三角形的应用

例6．（2006年重庆市）如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．

求证：

（1）△AEF≌△BCD；

（2）EF∥CD．

【解读】

（1）因为AE∥BC，所以∠A=∠B．又因AD=BF，所以AF=AD+DF=BF+FD=BD，又因AE=BC，所以△AEF≌△BCD．

（2）因为△AEF≌△BCD，所以∠EFA=∠CDB，所以EF∥CD．

【点评】根据平行寻求全等的条件，由三角形全等的性质证两直线平行．

根据等腰三角形的性质寻求规律

例7．在△ABC中，AB=AC，∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？

若∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

若∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中，

根据等腰三角形的性质，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE，

即可得到∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB时，∠BOC=90°+

∠A；

∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB时，∠BOC=120°+

∠A；

∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB时，∠BOC=

·180°+∠A．

【点评】在例1图中，若AE=

AB，AD=

AC．类似上题方法同样可证得BD=CE．上述规律仍然存在．

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例8．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15两种情况讨论．

利用等腰三角形的性质证线段相等

例9．（2006年常德市）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA：

PB：

PC=3：

4：

5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

【分析】

（1）把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△CBQ．利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ．

（2）连接PQ，则△PBQ是等边三角形．PQ=PB，AP=CQ故CQ：

PQ：

PC=PA：

PB：

PC=3：

4：

5，∴△PQC是直角三角形．

【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明．

直角三角形两锐角互余

例10．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=______．

【分析】∠ABC与∠DFE分布在两个直角三角形中，若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解．

【解答】在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，

∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，

∴∠ABC+∠DFE=90°，因此填90°．

【点评】此例主要依据用所探索的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等，并运用与它相关的性质进行解题．

特殊直角三角形的性质、勾股定理的应用

例11．（2006年包头市）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：

“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千M/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25M处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1．5秒．

（1）试求该车从A点到B的平均速度；

（2）试说明该车是否超过限速．

【解读】

（1）要求该车从A点到B点的速度．只需求出AB的距离，

在△OAC中，OC=25M．∵∠OAC=90°-60°=30°，∴OA=2CO=50M

由勾股定理得CA=

=25

（M）

在△OBC中,∠BOC=30°

∴BC=

OB.

∴（2BC）2=BC2+252

∴BC=

（M）

∴AB=AC-BC=25

-

=

（M）

∴从A到B的速度为

÷1.5=

（M/秒）

（2）

M/秒≈69.3千M/时

∵69.3千M/时<70千M/时

∴该车没有超过限速．【点评】此题应用了直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半及勾股定理，也是几何与代数的综合应用．

勾股定理的逆定理的应用

例12．如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：

①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下面的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．

简析：

此题的答案可以有很多种，关键是抓住有一直角这一特征，可以根据勾股定理的逆定理“有两边的平方和等于第三边的平方，则三角形为直角三角形”构造出直角三角形，答案如下图．

【巩固练习一】

1．如图1，已知a∥b，∠1=50°，则∠2=______度．

（1）

（2）（3）

2．已知∠α与∠β互余，且∠α=40°，且∠β的补角为______度．

3．时钟在4点整时，时针与分针的夹角为_______度．

4．如图2，点A、B、C在直线L上，则图中共有______条线段．

5．如图3，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，∠EFD的平分线与EP相交于点P，且∠BEP=40°，则∠EPF=_______度．

6．（2005年临汾市）如图4，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠AOD=145°，则∠BOC=_______度．

7．（2006年广安市）如图5，AB∥CD，若∠ABE=120°，∠DCE=35°，则有∠BEC=_______度．

（4）（5）（6）

8．如图6，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）

A．180°B．150°C．135°D．120°

9．已知：

如图7，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB=40°，在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（）

A．60°B．80°C．100°D．120°

10．（2006年淄博市）如图8，B是线段AC的中点，过点C的直线L与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P共有（）

A．1个B．2个C．3个D．无数个

11．（2006年南通市）如图9，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG=72°，则∠EGF等于（）

A．36°B．54°C．72°D．108°

（7）（8）（9）

12．（2005年云南省）小颖在做下面的数学作业时，因钢笔漏墨水，不小心将部分字迹污损了，作业过程如下（涂黑部分即污损部分）；

已知：

如图所示，OP平分∠AOB，MN∥OB．

求证：

OM=NM．

证明：

因为OP平分∠AOB

所以▅▅▅▅

又因为MN∥OB

所以▅▅▅▅

故∠1=∠3

所以OM=NM．

小颖思考：

污损部分应分别是以下四项中的两项：

①∠1=∠2②∠2=∠3③∠3=∠4④∠1=∠4

那么她补出来的结果应是（）

A．①④B．②③C．①②D．③④

13．已知图中小方格的边长为1，求点C到线段AB的距离．

14．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：

BF=2CF．

15．如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，BE∥CF，求证：

∠1=∠2．

16．如图，DE+AB=AD，∠1=∠E，求证：

（1）∠2=∠B；

（2）若∠E+∠1+∠2+∠B=180°，则DE∥AB．

答案：

1．130°2．130°3．120°4．35．65°6．35°7．95°

8．A9．B10．B11．B12．C13．4

14．连结AF，则AF=FC，AF=

BF，∴BF=2CF

15．利用平行线内错角相等及等角的余角相等即可证明．

16．

（1）∠1=∠E

DE=DC可得到AB=AC，即证得∠2=∠B

（2）证∠1+∠2=90°，∠ECB=90°，再证∠D+∠A=180°即可．

【巩固练习二】

1．如图1所示，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=_______．

（1）

（2）（3）

2．如图2，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D点到直线AB的距离是_______cm．

3．如图3，AD、AF分别是△ABC的高和角平分线，已知∠B=36°，∠C=76°，则∠DAF=______度．

4．（2006年烟台市）如图4，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为______．

（4）（5）（6）

5．如图5，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有________对．

6．（2006年河南省）如图6，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是________．

7．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（）

A．1cm，2cm，4cmB．8cm，6cm，4cm

C．12cm，5cm，6cmD．2cm，3cm，6cm

8．（2006年绍兴市）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（）

A．2对B．3对C．4对D．6对

（7）（8）（9）

9．（2006年德阳市）已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似．要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边．那么另外两边的长度（单位：

cm）分别为（）

A．10，25B．10，36或12，36

C．12，36D．10，25或12，36

10．（2005年黄冈市）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：

①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=

S△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（）

A．①④B．①②C．①②③D．①②③④

11．已知：

如图，点C、D在线段AB上，PC=PD．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为________．你得到的一对全等三角形是△_______≌△________．

12．已知：

如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连结AE、CD．

（1）求证：

△AGE≌△DAC；

（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连结AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．

13．（2005年大连市）如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在一条直线上，∠A=∠C，

求证：

AE=CF．（说明：

证明过程中要写出每步的证明依据）．

14．（2006年内江市）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：

①AB=AC②AD=AE③∠1=∠2④BD=CE．

请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）

15．（2006年浙江省）如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明．

你添加的条件是：

__________．

答案

1．95°2．33．20°4．60°5．4对6．

7．B8．B9．D10．C

11．答案不唯一，比如：

∠A=∠B，△PAC≌△PBD

12．

（1）证略

（2）连接AF，则△AEF是等边三角形．证略

13．∵AB∥CD，AB=CD，∠A=∠C，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF（全等三角形对应边相等）

14．①②③为题设④为结论，证略

15．∠C=∠D，证略．

【巩固练习三】

1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°．

（1）

（2）（3）

2．如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_______．

3．如图3，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．

4．（2006年烟台市）如图4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′等于________．

（4）（5）（6）

5．（2006年包头市）如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=135°，BD=520M，∠D=45°，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离D的距离约为_______M（精确到1M）．

6．（2006年诸暨市）等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为________．

7．如图6，等边△ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），点A关于x轴对称点A′的坐标为_______．

8．（2006年江阴市）如图7，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20°，且AE=AD，则∠CDE=________．

（7）（8）（9）

9．（2005年常州市）如图8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）

A．44°B．68°C．46°D．22°

10．（2006年海南省）如图9，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）

A．L1B．L2C．L3D．L4

11．（2006年日照市）如图10，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD．则∠A等于（）

A．30°B．36°C．45°D．72°

（10）（11）

12．（2006年怀化市）同学们都玩过跷跷板的游戏．如图11所示，是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB．当跷跷板的一头A着地时，∠OAC=25°，则当跷跷板的另一头B着地时，∠AOA′等于（）

A．25°B．50°C．60°D．130°

13．如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边长．

14．已知如图△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD．

试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由．

15．（2006年扬州市）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：

①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．

（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；

（2）选择第

（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．

16．（2005年江西省）如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点．

（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？

试证明你的结论．

（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？

试证明你的结论．

答案：

1．82.52．30a3．2204．105°

5．3686．7秒或25秒7．（2，-2

）

8．10°9．D10．B11．B12．B

13．7cm或11cm

14．关系：

DE=DB，

∵CD=CE，

∴∠E=∠EDC，

又∵∠ACB=60°，

∴∠E=30°，

又∵∠DBC=30°，

∴∠E=∠DBC，

∴DB=DE

15．

（1）①③或②③

（2）已知①②求证△ABC是等腰三角形．

证：

先证△EBO≌△DCO．得OB=OC，得∠DBC=∠ECB．

∴∠ABC=∠ACB．即△ABC是等腰三角形

16．

（1）△DEF是等边三角形，

提示证△ADF≌△BED≌△CFE．即得△DEF是等边三角形

（2）AD=BE=CF成立．证略．

【巩固练习四】

1．如图1，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80M，那么点B离水平面的高度BC的长为________M．

（1）

（2）（3）

2．如图2，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A处，则∠EAB=_________度．

3．如图3，矩形纸片ABCD，AB=2，∠ADB=30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△EBD落在同一平面内），则A、E两点间的距离为________．

4．如图4，两建筑物AB和CD的水平距离为30M，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_______M．

（4）（5）（6