初中几何学霸内部秘籍系列1学而思培优竞赛Word下载.docx
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（2）如图②，Z1=Z2,Z3=Z4o
求证：
AP平分ZBACo
解析：
（1）由角平分线模型知，D到AB的距离等于DC=2
（2）如图分别做AB、BC、AC三边的高，由题意易得三边高相等,
•••AP平分ZBAC
第二页共十九贞
模型练习
1.如图，在四边形ABCD中，BOAB,AD二DC,BD平分ZABCo求证：
ZBAD-ZBCD二180°
。
2.如图，AABC的外角ZACD的平分线CP与内角ZABC的平分线BP交于点P,若ZBPC二40°
则ZCAP二。
解析
本题主要考查角的概念及其计算。
如图所示，延长〃」，作PXL13D,PFLBA,丄ACf根据题意可得，
屮=ZPO,由角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，”M=,同理可得-.\”卩=XPBC,PF=PX,所以PF=PM,由三角形外角定理可得，
Z.4BP="
BC=乙PCD一乙13PC=厶PCD一40°
LHAC=LACD一Z.ABC=2ZPCD一2Z.4BP
=2ZPCD-2{£
PCD-40°
）=80°
所以
ZC-4F=100°
在R3FA和Rt^PMA
Rt^PFAMnt^PMA（HL）,故
故本题正确答案为頂）。
角平分线模型
模型2截取构造对称全等
如图，P是ZMON的角平分线上一点，点A是射线0H上任意一点，在ON上截取0B二0A,连接PBo
结论：
AOPB^AOPAo
VOP是ZM0N的角平分线
•••ZA0P二ZBOP,0P二0P乂0A二AB
AAOPB^AOPA
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
（1）如图①所示，在AABC中，AD是AABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由：
（2）如图②所示，AD是AABC的内角平分线，其他条件不变，试比较
PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。
解：
（1）如图在BA的延长线上取点E使AE=AC,连接PC由角平分线模型2可证ZkAPC^AAPE
•••PC二PE
•••在APBE中有
PC+PE>
BE=AB+AE
Z.PB+POAB+AC
（2）如图在AC上取一点E使AE二AB,连接PE
IZBAP=ZEAP,AP=AP,AE=ABAABAP^AEAP
APB=PE
在ZkPEC中,PC-PB=PC-PE>
EC=AC-AE=AC-AB•••PC-PB>
AC-AB
1.己知，在AABC中，ZA=2ZB,CD是ZACB的平分线，AC=16,AD=8。
求线段BC的长。
如图在CB上取一点E使CE=CA,则有
CD二CD,ZACD=ZECD
/.AACD^ECD
•'
•AD二DE二8
•••ZA=ZCED=2ZB
又ZCED=ZB+ZBDE
/.ZB=ZBDE
aabde为等腰三角形
•••DE二BE二8
又CE=CA=16
•••BC=BE+EC=24
2.已知，在ZiABC中，AB二AC,ZA=108°
BD平分ZABCo求证：
BC二AB-CD。
解:
如图在BC上取一点E使BABE,则
BD二BD,ZABD二ZEBD
AAABD^AEBD
•AB二EB,ZDEB=108°
又ZC=36°
•••ZCDE=ZCED=72°
「•CD二CE
•••BC二AB*CD
3.如图所示，在AABC中，ZA=100°
ZABC=40°
BD是ZABC的平分线，延长BD至E,DE二AD。
BC二ABPE。
DF,易证得△ABD^AFBD,DF=AD.
又VDA-DE,・・・DF=DE.
*/ZA-100°
ZABC-40°
/.AB-AC.
VBD平分ZABC,/.ZABD-20°
・
/-ZADB=ZFDB=60°
・
••・ZCDE=ZADB=60°
二"
DC=ZEDC
=60°
.■••△DCF仝ZXDCE.
二FC=EC.・•・BC=BF+FC=AB+CE.
模型3角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P是ZM0N的平分线上一点，AP丄0P于P点,延长AP交0N于点B。
结论：
AA0B是等腰三角形。
由己知可得AP丄OP,BP丄OP,OP二OP,ZP0A=ZP0B
AAPOA^APOB
•••OA二OB
•••△AOB是等腰三角形
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”,也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
这个模型巧妙地把角半分线和三线合一联系了起來。
如图，己知等腰直角三角形ABC中，ZA二90°
AB二AC,BD平分ZABC,CE丄BD,垂足为Eo求证：
BD=2CEc
证明：
如图延长BA、CE交于点F则有:
ZABE二ZCBE,BE二BE
/.RTABEF^RTABEC
第—页共十九页
ACE=EF
ACF=2CE
又TZADB二ZCDE
ZDCE+ZCDE=ZDCE+ZF=90°
•IZADB=ZF
又AB=AC
•••RTABAD^RTACAF
/.BD=CF
ABD=2CE.
\F
1.如图，在AABC中，BE是角平分线，AD丄BE,垂足为D。
求证：
Z2=Zl+ZCo
第十二贞共
如图延长AD交BC于点F则有
BD二BD,ZABD=ZFBD
/.RTAADB^RTAFDB
AZ2=ZBFD=Z1+ZC
AZ2=Z1+ZC
2.如图，在ZiABC中，ZABC=3ZCtAD是ZBAC的角平分线，BE±
AD于点E。
BE=%（AC-AB）o
第十三页共
延长BE交AC于点F,
/BE丄AE,
/.ZAEB=ZAEF=90°
\ZEAB=ZEAF,AE=AE,ZAEB=ZAEF,.•.△AEBWAEF（ASA）,.•.BE=FE,AB=AF,即BF=2BE.
•.ZB=3ZC,
ZBAC+ZC4-ZABC=180°
.-.ZBAC+ZC+3ZC=90°
1
.•.ZBAC+4ZC=180°
即2
上BAC+2ZC=90°
•.ZBAE=2-ZBAC,
ZBAE+ZABE=90o
\ZABE=2ZC,
又•.ZABC=3ZC,
/.ZFBC=ZC,
.\FC=FB,
AC-AB=AC~
AF=FC=FB=2EE,
即AC・AB=2EE,
/.BE=J（AC・AB）.
第十四页共九贞
模型4角平分线+平行线
如图，P是ZMON的平分线上一点，过点P作PQ〃ON,交0M于点Qc结论：
APOQ是等腰三角形。
模型证明
•••PQ〃ON
•••ZPON=ZOPQ
又TOP是ZMON的平分线
•••ZPOQ=ZPON
:
.ZPOQ二ZOPQ
•••△POQ是等腰三角形
有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
第十五贞共十九页
解答下列问题：
（1）如图①所示，在AABC中，EF〃BC,点D在EF上，BD、CD分别平分ZABC、ZACB,写出线段EF与BE、CF有什么数量关系；
（2）如图②所示，BD平分ZABC、CD平分ZACG,DE〃BC交AB于点E,交AC于点F,线段EF与BE、CF有什么数量关系？
并说明理由。
（3）
如图③所示，BD、CD分别为外角ZCBM.ZBCN的平分线，，DE/7BC交AB延长线于点E,交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？
（1）由模型可知，ED=BE,DF=CF
•EF二ED+DF二BE+CF
（2）VDE/7BC
•••ZEDB二ZDBC乂BD平分ZABC
•••ZDBE二ZDBC•••ZEDB二ZDBE
•••△EBD为等腰三角形
•••BE二ED同理可证：
FD二CFAEF=ED-FD=BE-CFAEF=BE-CF
（3）EF二BE+CF（由模型可轻松证明）
第十六贞共
1.如图，在AABC中，ZABC、ZACB的半分线交于点E,过点E作MN〃BC,交AB于点交AC于点No若BM+CN=9,则线段MN的长为。
由模型可得，ME=BM,EN=CN
•••MN=ME+EN=BM^CN=9
2•如图，在AABC中，AD平分ZBAC,点E.F分别在BD、AD上.且DE二CD,EF=AC求证：
EF〃AB。
第十七页共i■九页
解析:
如图，延长AD至M点，使DM=DF,连接CM.
在ADFE和中，fDF==DM,
<
ZFDE=ZMDC9
、ED=CD,
、AADMC（SAS）.
・・•EF=CM，Z3=ZM•・・EF=AC,・・・AC=CM・
・・・Z2=ZM.
・・・AD平分ZBAC,・•・Z1=Z2.
AZ1=Z3.・・・EF〃AB
3.如图，梯形ABCD中，AD〃BC，点E在CD±
11AE平分ZBAD,BE平分ZABCo求证：
AD二AB-BC。
第十八贞共F贞
解答
在4B上找到F使得AF=AD,
4碑分厶BAR
Z.EAD=厶ERF
•.•在ZUEF和△ZED中
AD=AF
Z_EAD=Z_EAF
AE=AE
.啟^AED,{SAS）
.AF=AL）Z_AFE-/_I）
AL//BC,
.乙D+乙C二180：
T乙AFE+厶EFE二18ff
乙C二/LBFfi
E爵分Z.BAQ
/.乙FBE=厶C
•.•在ABECffiABEF中
乙BFE=Z.C
乙FBE二乙CBe
EE二EE
\BEgLBEF,（AAS）
BF=BQ
TAB=AF+B^
AB=AD+BQ即AD二AB-BC.
第十九页共九贞
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