二次函数综合运用Word格式文档下载.docx
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定义
图象和性质
应用．
【设计意图】回忆一次函数的定义，图象特征，它们为解决实际问题起了很大的作用．同时引出新知，一次函数可以表示某些问题中变量之间的关系，但是实际问题的变量之间关系都能用一次函数表示吗？
观察篮球运动的路线，本章教科书章前图喷泉水的流动弧线，探究这些优美的弧线与什么函数有关呢？
阅读引言内容，探究正方体的表面积y和棱长x之间的数量关系，得到
问题1 它是函数吗？
如果是，你会给它命名吗？
回忆函数的定义，观察新函数，分析此函数自变量的次数，尝试为新函数命名．
【设计意图】认识到二次函数是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在已有的知识的体系中合理地构建二次函数这一新知识．
问题2 这样的函数在其他实际问题中是否还存在呢？
学生思考二次项产生的原因，激发学习新知的欲望．
【设计意图】数学来自于生活，实际问题的需要从而扩充新的知识，从一次函数顺利过渡到二次函数．
（二）合作交流
探究概念
给出课本问题1、问题2的两个实际问题，建立函数．
问题1
n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
教师引导学生思考以下问题：
1．每个队要与其他____个队各赛一场，全部比赛共有___
场，化简得__________，m与n的数量关系是_____________．
2．将n支球队看作是平面内的n个点（任意三点不在同一直线），再将任意两点作为线段的端点连接起来，共有
条线段，m与n的数量关系是______
_______．
问题2某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？
一年后的产量为
．
再过一年后的产量为
即两年后的产量为
，展开整理得，
．
由此，我们可以列出y与x的数量关系是____________．
学生将实际问题中的语言转化成数学符号语言，寻找等量关系，学习建模．将列得的函数化简整理．
【设计意图】在建模的过程中不仅加强学生的数学思维能力，而且对二次式产生的根源将更加明晰．
问题3
这些变量之间的关系是函数吗？
对照函数的概念判断这些变量之间的关系是否是函数．“对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应”是检验函数的唯一标准．
【设计意图】一次函数、二次函数是在函数的前提下研究．
问题4
这些函数有什么共同点？
它们是什么函数？
共同点：
（1）等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式；
（2）等式的右边可统一为“
”的形式．
观察本课得出的一些函数，思考它们的共性，类比一次函数的概念，同学们尝试给出二次函数的定义，并且概括出二次函数的一般形式．
1．二次函数的概念：
一般地，形如
的函数叫做二次函数，其中x是自变量，
是常数．
2．二次函数的一般形式是
．其中
是二次项，a是二次项系数；
是一次项，b是一次项系数；
c是常数项．
【注意】①函数
中，
是必要条件，切不可忽视．而b，c的值可以为任何实数．
②定义是关于x的二次整式（切不可把
当成二次函数）．
【设计意图】让学生自己给出定义就是对所学一次函数的定义的类比，对比一次函数也容易理解
（三）辨析应用，加深理解
问题5
下列哪些函数是二次函数？
例1下列函数中，哪些是关于x的二次函数？
如果是二次函数，指出a，b，c的值．
（1）
（3）
（4）
（5）
答案：
（1）（3）．
用概念指导辨析，函数（3）、（4）、（5）同学们可能会产生争议，（3）帮助学生明确右边是关于x的二次整式，（4）对
条件加深认识；
（5）体会化为一般形式的必要性，对
条件加深认识．
【设计意图】从正反两个方面进行概念辨析，关注二次函数的本质，帮助学生进一步巩固概念，深化对二次函数的认识．
例2
k为何值时，函数
是二次函数？
根据函数概念，确定字母系数的取值范围．
【设计意图】字母系数二次函数，通过辨析函数的二次式，抓住二次函数的本质，深化理解．
（四）巩固概念，学以致用
巩固练习：
教科书29页练习，对练习2增加三个问题：
（1）指出y是x的什么函数;
（2）当矩形绿地的长和宽各增加5m时，求扩充后的绿地面积;
（3）当扩充后绿地面积是1200m2时，问矩形绿地的长和宽各增加了多少米？
【设计意图】巩固性练习，检验二次函数概念的掌握情况，同时回顾函数值的求法和解一元二次方程，了解一元二次方程是二次函数的特殊情况，实现把旧知识主动与新知建构，并理解新旧知识的差异性与共同性．
（五）归纳小结，反思提高
谈对二次函数概念的认识，为什么要求二次项系数不为零，二次函数与一元二次方程的关系．
（六）布置作业：
教科书习题22．1复习巩固：
第1，2，12题．
五、目标检测设计
1．下列函数是二次函数的有（
）
A．
B．
C．
D．
【设计意图】考查对二次函数概念的理解．紧扣定义中的两个特征：
①
②
是整式（二次三项式）．
2．如果函数
是y关于x的二次函数，求k的值．
【设计意图】考查自变量的二次和
的条件．
3．已知
与
成正比例，并且当
时，
，求：
（1）函数
的函数关系式；
（2）当
时，函数
的值；
（3）当
时，
的值．
【设计意图】考查对二次函数一般式和函数值的掌握情况．
一、教材分析：
《二次函数》选自义务教育课程标准试验教科书（五四学制）《数学》（人教版）九年级上册第二十一章，这章是在学生学习了一次函数与反比例函数，对于函数已经有所认识，从一次函数和反比例函数的学习大家已经知道学习函数大致包括以下内容：
1．通过具体的事例认识这种函数；
2．探索这种函数的图像和性质；
3．利用这种函数解决实际问题；
4．探索这种函数与相应方程等的关系。
本章“二次函数”的学习也是从以上几个方面展开。
首先让学生认识二次函数，掌握二次函数的图像和性质，然后让学生探索二次函数与一元二次方程的关系，从而得出用二次函数的图像求一元二次方程的方法。
最后让学生运用二次函数的图像和性质解决一些实际问题。
21．1
二次函数教学时间约为
6课时，下面是第一课时的教学设计，此时学生对函数的相关知识已经很陌生，第一课时应对上学段学的一次函数和反比例函数的知识做一个回顾，让学生重温学习函数应该从以下四个内容入手：
认识函数；
研究图像及其性质；
利用函数解决实际问题；
函数与相应方程的关系。
再通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系．并能利用尝试求值的方法解决实际问题．教学目标：
1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。
3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
4、会用待定系数法求二次函数的解析式。
教学重点：
二次函数的概念和解析式
教学难点：
本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。
教学设计：
一、创设情境，导入新课
问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？
小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？
问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：
投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？
怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）
二、合作学习，探索新知
请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：
（1）面积y（cm2）与圆的半径x（Cm）
（2）王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文x两年后王先生共得本息y元;
（3）拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om,室内通道的尺寸如图,设一条边长为x（cm）,种植面积为y（m2）
（一）教师组织合作学习活动
1、先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。
2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。
（1）y=πx
（2）y=2000（1+x）
=20000x
+40000x+20000（3）y=（60-x-4）（x-2）=-x
+58x-112
（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
让学生充分发表意见，提出各自看法。
教师归纳总结：
上述三个函数解析式经化简后都具y=ax²
+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）的形式。
板书：
我们把形如y=ax²
+bx+c（其中a,b,C是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项。
点评：
每一个学生都有一定的知识体验和生活积累,每个学生都会有各自的思维方式和解决问题的策略.这一堂课我让学生成为数学学习的主人,自己充当数学学习的组织者,取得了意想不到的效果,学生不但能用一般式,顶点式解决问题,还能深层挖掘，巧妙地用两根式解决问题,可见学生的潜力无穷。
本课遵循尊重学生，相信学生，依*学生的“主体”教学思想，运用助思，助学，助练的启发式教学方法，启动了师生交流的“匣门”，使教学过程真正成为了师生间的双向活动。
教学反思
首先，我认为在课堂上，我对知识的掌握还是有一定的欠缺，把二次函数用自己的眼光和感受想象的太简单，但是对于学生而言，这又是一个重点，尤其是一个难点。
所以我课堂上的习题深度没有掌握好，没有做到面向全体。
其次，本节课体现的是分层教学，而我只是在后面的比赛中简单的体现分层，对于提问中得分层，习题中的分层还是做的不够好，这说明我对于分层教学的这种方法还是有待于进一步的提高，应该真正的站在学生的角度来分层。
第三，课堂上的语言不够精辟，尤其是评价性的话语很少，很单调。
没有做到让学生为我的一句话而振奋，没有因为为了争得我的一句话而好好做题等等，这是我一直以来欠缺的一个重要点。
那么针对以上几点，我从自己的角度思考，收获了以下这些：
1.上课之前一定要反复的推敲，琢磨课本，找出本节课知识的“灵魂”，然后站在学生的角度，仔细研究，如何讲授学生们才能愿意听，才能听得明白。
尤其不能把学生想像的水平很高，不是不自信，而是不能把学生逼到“危险之地”，以免打击自尊心，熄灭刚刚点燃的兴趣之光，真正做到“低起点”。
2.既然选择和实施了分层教学，就应该多下功夫去琢磨，去进行它。
既然是分层就应该把它做到“顺其自然”，而不仅仅是一种形式。
在分层的同时应该找到一个点，就是说，这个点上的问题是承上启下的，是应该全班都能够掌握的。
对于尖子生，不能在课堂上想让他们吃饱，对于他们应该在课下，或者是采用小纸条的方法单独来测试，不能为了他们的能力把题目难度定的过高。
再者，分层应该体现在一节课的所有环节，例如，在提问时，对于一个问题应该分层次来提，来回答。
3.应该及时地，迅速的提高自己的言语水平。
一堂课的精彩与否，教师的课堂语言也是很重要的一个方面，例如一节课的讲授过程，或者是对于学生的评价等等，督促自己多读书，多练习，以丰富自己的语言。
4.最后，我觉得自己真的需要多学习，多见识，这样才能提高，才能迅速的提高。
对于自己的优势，我也看到了，那就是我的教学之路很长，很多方法，很多思路都有时间，有条件去尝试，所以在以后的工作中要多动脑，多为学生着想。
二、教学目标：
知识技能：
1．探索并归纳二次函数的定义；
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
数学思考：
1．感悟新旧知识间的关系，让学生更深地体会数学中的类比思想方法；
2．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
解决问题：
1．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系；
2.
能够利用尝试求值的方法解决实际问题．进一步体会数学与生活的联系，增强用数学意识。
情感态度：
1．把数学问题和实际问题相联系,从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；
2．使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用；
3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，
培养大家的合作意识．
三、教学重点、难点：
教学重点：
1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定义。
教学难点：
经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．
四、教学方法：
教师引导——自主探究——合作交流。
五：
教具、学具：
教学课件
六、教学媒体：
计算机、实物投影。
七、教学过程：
[活动1]
温故知新，引出课题。
师：
对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗?
生：
学过正比例函数，一次函数，反比例函数．
那函数的定义是什么，大家还记得吗?
记得，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．
能把学过的函数回忆一下吗?
可以。
一次函数y=kx+b
（其中k、b是常数，且k≠0）
正比例函数y＝kx
（k是不为0的常数）
反比例函数y=
学习这些函数的时候，大家还记得我们从哪几个方面探究的吗?
定义、函数的一般形式、函数的图像和性质、函数在实际问题中的应用、函数与方程与不等式的关系等。
很好，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?
本节课我们将揭开它神秘的面纱．
师生行为：
教师提出问题，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。
教师重点关注：
学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，对于一些概括性较强的问题，教师要进行适当引导。
设计意图：
由复习回顾旧知识入手，通过回顾已经学过的函数的相关知识，对要探究的新的函数有个明确的方向，让学生由旧知识中寻找新知识的生长点，符合认识新事物的规律，由浅入深，由表及里，逐渐深化。
[活动2]创设情境
探究新知：
问题
1．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为
x
，表面积为
y
，则
关于x
的关系式为是什么？
2．多边形的对角线数
d
与边数
n
有什么关系？
n边形有＿＿＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作＿＿＿＿条对角线。
因此，n边形的对角线总数d=＿＿＿＿＿＿。
3．某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是
件，再经过一年后的产量是
件，即两年后的产量为
。
4．
问题2中有哪些变量?
其中哪些是自变量?
大家根据刚才的分析，判断一下式子中的d是否是n的函数?
若是函数，与原来学过的函数相同吗?
问题3呢？
5．观察上面的三个函数，从解析式看有什么共同点？
教师在大屏幕上逐一提出问题，问题1、2、3让学生独立思考完成师生共同订正，问题4、5小组讨论完成，教师做适当的引导，点拨，得出问题结论。
定义：
一般地，形如y=ax²
+bx+c（a,b,c是常数,a≠
0）的函数叫做x的二次函数。
1．强调几个注意的问题：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。
（2）a,b,c为常数，且a≠0；
（3
）等式的右边最高次数为
2
，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是任意实数。
2．学生在探究问题的过程中，能否优化思维过程，使解决问题的方法更准确。
设计意图：
由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，通过问题的解决，为得出二次函数的定义做好铺垫，并让学生感受到身边的数学，激发学生学习数学的好奇心和求知欲。
学生通过分析、交流，探求二次函数的概念，加深对概念的理解，为解决问题打下基础。
[活动3]
例题学习
内化新知
问题
例1，下列函数中，哪些是二次函数？
若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
（1）y=3（x-1）²
+1
（2）y=x+
（3）s=3-2t²
（4）y=（x+3）²
-x²
（5）y=-x
（6）v=10Л
r²
例2，函数
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2）
m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3）
m取什么值时，此函数是二次函数？
教师出示例1，同学们稍加考虑即可获得问题的结论，进而引出例2，例2让学生分组展开讨论，待学生充分交流后，教师再组织各小组展示自己的讨论结果，共同得到正确是结论，并获得解题的经验。
（1）探究中各小组是否积极展开活动；
（2）学生对二次函数概念是否理解透彻，应用是否得当；
（3）教师在小组中巡视，尽可能多给学生一点思考的时间和空间，对学习有困难的学生适当引导。
通过例1的设计，有利于学生对二次函数的概念的理解，边学边练，为下一个讨论做铺垫；
例2中三个问题的设计，由浅入深，层层递进，在复习旧知的同时获得解决新问题的经验，进一步内化新知、突破难点。
整个探究过程都是让学生自己去探索，在探索中发现新知，在交流中归纳新知，把学习的主动权交给学生，增强学生创造的信心，体验到成功的快乐。
[活动4]
练习反馈
巩固新知
问题：
（1）
P80．练习
1、2
若
是二次函数，求m的值．
教师提出问题，问题
（1）学生独立思考后写出答案，师生共同评价；
问题
（2）学生独立思考后同桌交流，指名口答结果，教师强调正确解题思路；
学生能否准确用二次函数表示变量之间关系；
学生解题时候暴露的共性问题作针对性的点评，注重培养学生正确的思路和方法，积累解题经验。
问题
（1）是从简单的应用开始，及时巩固新知，让学生获得用二次函数表示变量之间关系的体验；
问题
（2）是让学生对二次函数定义很深层次的理解，培养数学思维的严谨性；
八、自主小结，深化提高：
请同学们谈谈本节课的体会和收获，各抒己见，不拘泥于形式，教师对学生的回答给予帮助，让语言表达更准确。
学生归纳本节课学习的主要内容，让学生自觉对所学知识进行梳理，形成体系，养成良好的学习习惯。
九、分层作业，发展个性：
作业设计：
（必做题）1．阅读教材并完成P90
习题21．1：
1、2．
2．写好数学日记。
（备选题）1.已知函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数），
当a＿＿＿时是二次函数；
当a＿＿＿，b＿＿＿时是一次函数；
当a＿＿，b＿＿，c＿＿时是正比例函数。
2.画出最简单的二次函数y＝x2的图象。
预习作业：
1．看书P80
把作业分为必做题和选做题两种。
必做题较基础，可以发现和弥补课堂学习的遗漏和不足；
备选题则仅供学有余力的学生选用。
十、教学反思：
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上。
二次函数第一课时，教材中安排的内容不多，但学生对函数的知识已经生疏，接受起来不会很顺利。
由此，我的设计是从温故知新开始，通过温故知新，引出课题、创设情境、探究新知、例题学习、内化新知、
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