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三頃七十五畝。
现有方田,宽一里,长一里。
三顷七十五亩
方田术语:
里法三百步
1*1*300*300/240=375(亩),即三顷七十五亩
4、又有田廣二里,從三里。
二十二頃五十畝。
里田術曰:
廣從里數相乘得積里。
以三百七十五乘之,即畝數。
又有一方田,宽两里,长三里。
问此块田的面积是?
二十二顷五十亩
里田计算方法:
长宽里数相乘得积里。
以三百七十五乘之,即亩数。
2*3*375=2250(里积),即二十二顷五十亩。
5、今有十八分之十二。
問約之得幾何?
三分之二。
现有十八分之十二,问约分后等于多少?
三分之二
12/18=2/3
6、又有九十一分之四十九。
十三分之七。
約分術曰:
可半者半之,不可半者,副置分母子之數,以少減多,更相減損,求其等也。
以等數約之。
又有九十一分之四十九,问约分后等于多少?
十三分之七
约分法:
即先进行观察,如果分数的分子、分母有2的倍数,则可先在分子、分母中同约去2;
然后再用分子、分母中较大的减去较小的,所得的差与上一步骤中的减数比较大小,并再从较大的数中减去较小的数,如此重复进行下去,当差与减数相等即出现“等数”时,该等数即为所求分子与分母的最大公约数,只需将分子分母同除以这个数,即可将原来的分数化为最简分数。
【2】
7、今有三分之一,五分之二。
問合之得幾何?
十五分之十一。
现有三分之一和五分之二,问两数相加等于多少?
1/3+2/5=11/15
8、又有三分之二,七分之四,九分之五。
得一、六十三分之五十。
又有三分之二、七分之四和九分之五
,问这三个数相加等于多少?
一又六十三分之五十。
2/3+4/7+5/9=1+50/63
9、又有二分之一,三分之二,四分之三,五分之四。
得二、六十分之四十三。
合分術曰:
母互乘子,并以為實,母相乘為法,實如法而一。
不滿法者,以法命之。
其母同者,直相從之。
又有二分之一、三分之二、四分之三和五分之四,问这四个数相加等于多少?
二又六十分之四十三。
合分法:
两分数的分母和分子互乘,取它们的和作为分子,两分母相乘作为分母,分子分母相等时为一。
10、今有九分之八,減其五分之一。
問餘幾何?
四十五分之三十一。
解读:
现有九分之八,减去五分之一,问剩下多少?
四十五分之三十一
8/90-1/5=31/45
11、又有四分之三,減其三分之一。
十二分之五。
減分術曰:
母互乘子,以少減多,餘為實,母相乘為法,實如法而一。
又有四分之三,减去三分之一,问剩下多少?
十二分之五
减分法:
两分数分子与分母互乘,用较大者减去较小者的差作为分子,两分母相乘之积作为分母,分子等于分母时,值为一。
12、今有八分之五,二十五分之十六。
問孰多?
多幾何?
二十五分之十六多,多二百分之三。
现有八分之五,二十五分之十六,问哪个数大?
大多少?
二十五分之十六大,大二百分之三
5/8&
lt;
16/25,16/25-5/8=3/200
13、又有九分之八,七分之六。
九分之八多,多六十三分之二。
又有九分之八、七分之六。
问哪个数大?
九分之八大,大六十三分之二。
8/9&
gt;
6/7,8/9-6/7=2/63
14、又有二十一分之八,五十分之十七。
幾何?
二十一分之八多,多一千五十分之四十三。
課分術曰:
母互乘子,以少減多,餘為實,母相乘為法,實如法而一,即相多也。
又有二十一分之八和五十分之十七,问哪个大?
二十一分之八大,大一千五十分之四十三。
课分法:
分子互乘分母,用较大的减去较小的,余数作为分子,分母相乘之积作为分母。
当分子等于分母时,值为一,即是较大的分数。
15、今有三分之一,三分之二,四分之三。
問減多益少,各幾何而平?
減四分之三者二,三分之二者一,并以益三分之一,而各平於十二分之七。
现有三分之一、三分之二、四分之三,问减去多的补给少的各多少就一样了?
减3/4二份,减2/3一份,并把这些
补给1/3,就一样多,一样时为7/12
16、又有二分之一,三分之二,四分之三。
減三分之二者一,四分之三者四,并以益二分之一,而各平於三十六分之
二十三。
平分術曰:
母互乘子,副并為平實,母相乘為法。
以列數乘未并者各自為列實。
亦以列數乘法,以平實減列實,餘,約之為所減。
并所減以益於少,以法命平實,各得其平。
17、今有七人,分八錢三分錢之一。
問人得幾何?
人得一錢、二十一分錢之四。
现有七个人,均分八又三分之一钱。
问每人分得多少钱?
每人得一又二十一分之四钱。
18、又有三人,三分人之一,分六錢三分錢之一,四分錢之三。
人得二錢、八分錢之一。
經分術曰:
以人數為法,錢數為實,實如法而一。
有分者通之,重有分者同而通之。
经分法:
法与实皆为分数的除法,先将法、实皆化为假分数,然后以法的分母乘实的分子为实,似实的分母乘法的分子为法,相除即为所求。
【3】
19、今有田廣七分步之四,從五分步之三。
三十五分步之十二。
现有方田宽为七分之四,长为五分之三。
问此块田的面积为?
三十五分之十二步
20、有田廣九分步之七,從十一分步之九。
十一分步之七。
又有方田宽九分之七,长十一分之九。
问该方田的面积是?
十一分之七步
21、又有田廣五分步之四,從九分步之五,問為田幾何?
九分步之四。
乘分術曰:
母相乘為法,子相乘為實,實如法而一。
又有一块方田宽为五分之四,长为九分之五。
九分之四步。
22、今有田廣三步、三分步之一,從五步、五分步之二。
十八步。
现有块方田宽为三又三分之一步,长为五又五分之二步,问该块田的面积是?
23、又有田廣七步、四分步之三,從十五步、九分步之五。
一百二十步、九分步之五。
又有一块方田宽为七又四分之三步,长为十五又九分之五步。
问该块方田的面积是?
一百二十又九分之五步。
24、又有田廣十八步、七分步之五,從二十三步、十一分步之六。
一畝二百步、十一分步之七。
大廣田術曰:
分母各乘其全,分子從之,相乘為實。
分母相乘為法。
實如法而一。
又有一块方田宽为十八又七分之五步,长为二十三又十一分之六步。
一亩两百又十一
分之七步。
25、今有圭田廣十二步,正從二十一步。
一百二十六步。
现有等腰三角形田【4】边为十二步,高为二十一步。
问该田面积是?
S=1/2*l*h=1/2*12*21=126
26、又有圭田廣五步、二分步之一,從八步、三分步之二。
二十三步、六分步之五。
術曰:
半廣以乘正從。
有等腰三角形田边长为五又二分之一步,高为八又三分之二步,问该块田的面积为多少?
二十三又六分之五步。
S=1/2*l*h=1/2*(5+1/2)*(8+2/3)=23+5/6
计算方法:
底边长的一半乘以高。
27、今有邪田,一頭廣三十步,一頭廣四十二步,正從六十四步。
九畝一百四十四步。
现有一块直角梯形田,上底边长三十步,下底边长为四十二步,高为六十四步。
问该块田的面积是多少?
九亩一百四十四步。
S=1/2*(b上+b下)*h=1/2*(30+42)*64=2304(积步),即九亩四十四步
28、又有邪田,正廣六十五步,一畔從一百步,一畔從七十二步。
二十三畝七十步。
并兩邪而半之,以乘正從若廣。
又可半正從若廣,以乘并,畝法而一。
又有一直角梯形田,正宽长为六十五步,一边长一百步,另一边长七十二步。
问该田的面积是多少?
二十三亩七十步。
S=1/2*(b上+b下)*h=1/2*(100+72)*65=5590,即二十三亩七十步
取两边长的一半,乘以正从(宽)。
也可取正从的一半做宽,再乘以两边长之和,用亩法归一制。
29、今有箕田,舌廣二十步,踵廣五步,正從三十步。
一畝一百三十五步。
现有一般梯形田,上底长二十步,下底长五步,高为三十步。
问此块田的面积是多少?
一亩一百三十五步
S=1/2*(b上+b下)*h=1/2*(20+5)*30=375(积步),即一亩三十五步。
30、又有箕田,舌廣一百一十七步,踵廣五十步,正從一百三十五步。
四十六畝二百三十二步半。
并踵舌而半之,以乘正從。
畝法而一。
又有一块梯形田,上底长一百一十七步,下底长五十步,宽为一百三十五步。
四十六亩二百三十二步半
取上下底长的一半,乘以高,即得面积,用亩法归一制。
31、今有圓田,周三十步,徑十步。
七十五步。
现有圆形田,周长三十步,半径十步。
问此田面积是?
数学
表达式:
S=1/2*l*r=1/2*30*10=75(积步)32、又有圓田,周一百八十一步,徑六十步、三分步之一。
十一畝九十步、十二分步之一。
半周半徑相乘得積步。
又術曰:
周徑相乘,四而一。
徑自相乘,三之,四而一。
周自相乘,十二而一。
又有一圆形田,周长一百八十一步,半径长六十又三分之一步。
问此田的面积是?
十一亩九十又十二分之一步
半周长乘以半径长等于积步(面积)。
周长乘以直径,取其四分之一。
直径相乘,然后乘以三,再取其四分之一。
周长相乘,取其十二分之一。
S=1/4*L*r=1/4*181*(60+1/3)=32761/12,即十一亩九十又十二分之一步。
33、今有宛田,下周三十步,徑十六步。
一百二十步。
现有一侧面圆形田【5】,下半周长为三十步,半径为十六步。
一百二十步
S=1/4*l*r=1/4*30*16=120(积步)
34、又有宛田,下周九十九步,徑五十一步。
五畝六十二步、四分步之一。
以徑乘周,四而一。
又有一侧面圆形田,下周长九十九步,半径为五十一步。
五亩六十二又四分之一步。
术语:
用半径乘以周长,取其四分之一。
S=1/4*l*r=1/4*99*51=1262.25(积步)
35、今有弧田,弦三十步,矢十五步。
一畝九十七步半。
现有一弓形田,弦长为三十步,矢长为十五步。
一亩九十七步半。
S=1/2*(l*d+d*d)=1/2*(30*15+15*15)=337.5,即一亩九十七步半。
36、又有弧田,弦七十八步、二分步之一,矢十三步、九分步之七。
二畝一百五十五步、八十一分步之五十六。
以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一。
又有一弓形田,炫长七十八又二分之一步,矢长十三又九分之七步。
二亩一百五十五又八十一分之五十六步。
用弦长乘以矢,矢又自乘,取两者和的一半。
37、今有環田,中周九十二步,外周一百二十二步,徑五步。
二畝五十五步。
现有一环形田,中周长为九十二步,外周长为一百二十二步,径长五步。
二亩五十五步。
S=1/2*(l内+l外)*d=1/2*(92*122)*5=535(积步),即535/240=2亩55步。
38、又有環田,中周六十二步、四分步之三
,外周一百一十三步、二分步之一,徑十二步、三分步之二。
四畝一百五十六步、四分步之一。
并中外周而半之,以徑乘之為積步。
密率術曰:
置中外周步數,分母、子各居其下。
母互乘子,通全步,內分子。
以中周
減外周,餘半之,以益中周。
徑亦通分內子,以乘周為實。
分母相乘為法,除之為積步,餘積步之分。
以畝法除之,即畝數也。
又有一环形田,中周长为六十二又四分之三步,外周长为一百一十三又二分之一步,径长为十二又三分之二步。
四亩一百五十六又四分之一步。
中外周长相加取半,然后乘以径长,就是积步。