解读九章算术之方田.docx
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解读九章算术之方田
解读九章算术之方田
九章算术——《方田》
1、今有田廣十五步，從十六步。
問為田幾何？
答曰：
一畝。
解读：
现有一块田，宽十五步，长十六步。
问这块田的面积是多少？
答：
一亩
数学表达式：
15×16/240=1（亩）
2、又有田廣十二步，從十四步。
問為田幾何？
答曰：
一百六十八步。
方田術曰：
廣從步數相乘得積步。
以畝法二百四十步除之，即畝數。
百畝為一頃。
解读：
有一块田，宽十二步，长十四步。
问这块田的面积是多少？
答：
一百六十八步
数学表达式：
12×14=168（步）
方田计算方法：
长宽步数相乘得积步。
用亩法二百四十步除之，即亩数。
一百亩为一顷。
3、今有田廣一里，從一里。
問為田幾何？
答曰：
三頃七十五畝。
解读：
现有方田，宽一里，长一里。
问这块田的面积是多少？
答：
三顷七十五亩
方田术语：
里法三百步
数学表达式：
1*1*300*300/240=375（亩），即三顷七十五亩
4、又有田廣二里，從三里。
問為田幾何？
答曰：
二十二頃五十畝。
里田術曰：
廣從里數相乘得積里。
以三百七十五乘之，即畝數。
解读：
又有一方田，宽两里，长三里。
问此块田的面积是？
答：
二十二顷五十亩
里田计算方法：
长宽里数相乘得积里。
以三百七十五乘之，即亩数。
数学表达式：
2*3*375=2250（里积），即二十二顷五十亩。
5、今有十八分之十二。
問約之得幾何？
答曰：
三分之二。
解读：
现有十八分之十二，问约分后等于多少？
答：
三分之二
数学表达式：
12/18=2/3
6、又有九十一分之四十九。
問約之得幾何？
答曰：
十三分之七。
約分術曰：
可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也。
以等數約之。
解读：
又有九十一分之四十九，问约分后等于多少？
答：
十三分之七
约分法：
即先进行观察，如果分数的分子、分母有2的倍数，则可先在分子、分母中同约去2；然后再用分子、分母中较大的减去较小的，所得的差与上一步骤中的减数比较大小，并再从较大的数中减去较小的数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，该等数即为所求分子与分母的最大公约数，只需将分子分母同除以这个数，即可将原来的分数化为最简分数。
【2】
7、今有三分之一，五分之二。
問合之得幾何？
答曰：
十五分之十一。
解读：
现有三分之一和五分之二，问两数相加等于多少？
答：
十五分之十一。
数学表达式：
1/3+2/5=11/15
8、又有三分之二，七分之四，九分之五。
問合之得幾何？
答曰：
得一、六十三分之五十。
解读：
又有三分之二、七分之四和九分之五
，问这三个数相加等于多少？
答：
一又六十三分之五十。
数学表达式：
2/3+4/7+5/9=1+50/63
9、又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。
問合之得幾何？
答曰：
得二、六十分之四十三。
合分術曰：
母互乘子，并以為實，母相乘為法，實如法而一。
不滿法者，以法命之。
其母同者，直相從之。
解读：
又有二分之一、三分之二、四分之三和五分之四，问这四个数相加等于多少？
答：
二又六十分之四十三。
合分法：
两分数的分母和分子互乘，取它们的和作为分子，两分母相乘作为分母，分子分母相等时为一。
10、今有九分之八，減其五分之一。
問餘幾何？
答曰：
四十五分之三十一。
解读:
现有九分之八，减去五分之一，问剩下多少？
答：
四十五分之三十一
数学表达式：
8/90-1/5=31/45
11、又有四分之三，減其三分之一。
問餘幾何？
答曰：
十二分之五。
減分術曰：
母互乘子，以少減多，餘為實，母相乘為法，實如法而一。
解读：
又有四分之三，减去三分之一，问剩下多少？
答：
十二分之五
减分法：
两分数分子与分母互乘，用较大者减去较小者的差作为分子，两分母相乘之积作为分母，分子等于分母时，值为一。
12、今有八分之五，二十五分之十六。
問孰多？
多幾何？
答曰：
二十五分之十六多，多二百分之三。
解读：
现有八分之五，二十五分之十六，问哪个数大？
大多少？
答：
二十五分之十六大，大二百分之三
数学表达式：
5/8<16/25,16/25-5/8=3/200
13、又有九分之八，七分之六。
問孰多？
多幾何？
答曰：
九分之八多，多六十三分之二。
解读：
又有九分之八、七分之六。
问哪个数大？
大多少？
答：
九分之八大，大六十三分之二。
数学表达式：
8/9>6/7,8/9-6/7=2/63
14、又有二十一分之八，五十分之十七。
問孰多？
幾何？
答曰：
二十一分之八多，多一千五十分之四十三。
課分術曰：
母互乘子，以少減多，餘為實，母相乘為法，實如法而一，即相多也。
解读：
又有二十一分之八和五十分之十七，问哪个大？
大多少？
答：
二十一分之八大，大一千五十分之四十三。
课分法：
分子互乘分母，用较大的减去较小的，余数作为分子，分母相乘之积作为分母。
当分子等于分母时，值为一，即是较大的分数。
15、今有三分之一，三分之二，四分之三。
問減多益少，各幾何而平？
答曰：
減四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平於十二分之七。
解读：
现有三分之一、三分之二、四分之三，问减去多的补给少的各多少就一样了？
答：
减3/4二份，减2/3一份，并把这些
补给1/3，就一样多，一样时为7/12
16、又有二分之一，三分之二，四分之三。
問減多益少，各幾何而平？
答曰：
減三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平於三十六分之
二十三。
平分術曰：
母互乘子，副并為平實，母相乘為法。
以列數乘未并者各自為列實。
亦以列數乘法，以平實減列實，餘，約之為所減。
并所減以益於少，以法命平實，各得其平。
17、今有七人，分八錢三分錢之一。
問人得幾何？
答曰：
人得一錢、二十一分錢之四。
解读：
现有七个人，均分八又三分之一钱。
问每人分得多少钱？
答：
每人得一又二十一分之四钱。
18、又有三人，三分人之一，分六錢三分錢之一，四分錢之三。
問人得幾何？
答曰：
人得二錢、八分錢之一。
經分術曰：
以人數為法，錢數為實，實如法而一。
有分者通之，重有分者同而通之。
经分法：
法与实皆为分数的除法，先将法、实皆化为假分数，然后以法的分母乘实的分子为实，似实的分母乘法的分子为法，相除即为所求。
【3】
19、今有田廣七分步之四，從五分步之三。
問為田幾何？
答曰：
三十五分步之十二。
解读：
现有方田宽为七分之四，长为五分之三。
问此块田的面积为？
答：
三十五分之十二步
20、有田廣九分步之七，從十一分步之九。
問為田幾何？
答曰：
十一分步之七。
解读：
又有方田宽九分之七，长十一分之九。
问该方田的面积是？
答：
十一分之七步
21、又有田廣五分步之四，從九分步之五，問為田幾何？
答曰：
九分步之四。
乘分術曰：
母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。
解读：
又有一块方田宽为五分之四，长为九分之五。
问该方田的面积是？
答：
九分之四步。
22、今有田廣三步、三分步之一，從五步、五分步之二。
問為田幾何？
答曰：
十八步。
解读：
现有块方田宽为三又三分之一步，长为五又五分之二步，问该块田的面积是？
答：
十八步。
23、又有田廣七步、四分步之三，從十五步、九分步之五。
問為田幾何？
答曰：
一百二十步、九分步之五。
解读：
又有一块方田宽为七又四分之三步，长为十五又九分之五步。
问该块方田的面积是？
答：
一百二十又九分之五步。
24、又有田廣十八步、七分步之五，從二十三步、十一分步之六。
問為田幾何？
答曰：
一畝二百步、十一分步之七。
大廣田術曰：
分母各乘其全，分子從之，相乘為實。
分母相乘為法。
實如法而一。
解读：
又有一块方田宽为十八又七分之五步，长为二十三又十一分之六步。
问该块方田的面积是？
答：
一亩两百又十一
分之七步。
25、今有圭田廣十二步，正從二十一步。
問為田幾何？
答曰：
一百二十六步。
解读：
现有等腰三角形田【4】边为十二步，高为二十一步。
问该田面积是？
答：
一百二十六步。
数学表达式：
S=1/2*l*h=1/2*12*21=126
26、又有圭田廣五步、二分步之一，從八步、三分步之二。
問為田幾何？
答曰：
二十三步、六分步之五。
術曰：
半廣以乘正從。
解读：
有等腰三角形田边长为五又二分之一步，高为八又三分之二步，问该块田的面积为多少？
答：
二十三又六分之五步。
数学表达式：
S=1/2*l*h=1/2*（5+1/2）*（8+2/3）=23+5/6
计算方法：
底边长的一半乘以高。
27、今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十四步。
問為田幾何？
答曰：
九畝一百四十四步。
解读：
现有一块直角梯形田，上底边长三十步，下底边长为四十二步，高为六十四步。
问该块田的面积是多少？
答：
九亩一百四十四步。
数学表达式：
S=1/2*（b上+b下）*h=1/2*（30+42）*64=2304（积步）,即九亩四十四步
28、又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，一畔從七十二步。
問為田幾何？
答曰：
二十三畝七十步。
術曰：
并兩邪而半之，以乘正從若廣。
又可半正從若廣，以乘并，畝法而一。
解读：
又有一直角梯形田，正宽长为六十五步，一边长一百步，另一边长七十二步。
问该田的面积是多少？
答：
二十三亩七十步。
数学表达式：
S=1/2*（b上+b下）*h=1/2*（100+72）*65=5590，即二十三亩七十步
计算方法：
取两边长的一半，乘以正从（宽）。
也可取正从的一半做宽，再乘以两边长之和，用亩法归一制。
29、今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步。
問為田幾何？
答曰：
一畝一百三十五步。
解读：
现有一般梯形田，上底长二十步，下底长五步，高为三十步。
问此块田的面积是多少？
答：
一亩一百三十五步
数学表达式：
S=1/2*（b上+b下）*h=1/2*（20+5）*30=375（积步），即一亩三十五步。
30、又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十步，正從一百三十五步。
問為田幾何？
答曰：
四十六畝二百三十二步半。
術曰：
并踵舌而半之，以乘正從。
畝法而一。
解读：
又有一块梯形田，上底长一百一十七步，下底长五十步，宽为一百三十五步。
问该田的面积是多少？
答：
四十六亩二百三十二步半
计算方法：
取上下底长的一半，乘以高，即得面积，用亩法归一制。
31、今有圓田，周三十步，徑十步。
問為田幾何？
答曰：
七十五步。
解读：
现有圆形田，周长三十步，半径十步。
问此田面积是？
答：
七十五步。
数学
表达式：
S=1/2*l*r=1/2*30*10=75（积步）32、又有圓田，周一百八十一步，徑六十步、三分步之一。
問為田幾何？
答曰：
十一畝九十步、十二分步之一。
術曰：
半周半徑相乘得積步。
又術曰：
周徑相乘，四而一。
又術曰：
徑自相乘，三之，四而一。
又術曰：
周自相乘，十二而一。
解读：
又有一圆形田，周长一百八十一步，半径长六十又三分之一步。
问此田的面积是？
答：
十一亩九十又十二分之一步
计算方法：
半周长乘以半径长等于积步（面积）。
计算方法：
周长乘以直径，取其四分之一。
计算方法：
直径相乘，然后乘以三，再取其四分之一。
计算方法：
周长相乘，取其十二分之一。
数学表达式：
S=1/4*L*r=1/4*181*（60+1/3）=32761/12，即十一亩九十又十二分之一步。
33、今有宛田，下周三十步，徑十六步。
問為田幾何？
答曰：
一百二十步。
解读：
现有一侧面圆形田【5】，下半周长为三十步，半径为十六步。
问此田面积是？
答：
一百二十步
数学表达式：
S=1/4*l*r=1/4*30*16=120（积步）
34、又有宛田，下周九十九步，徑五十一步。
問為田幾何？
答曰：
五畝六十二步、四分步之一。
術曰：
以徑乘周，四而一。
解读：
又有一侧面圆形田，下周长九十九步，半径为五十一步。
问此块田的面积是？
答：
五亩六十二又四分之一步。
术语：
用半径乘以周长，取其四分之一。
数学表达式：
S=1/4*l*r=1/4*99*51=1262.25（积步）
35、今有弧田，弦三十步，矢十五步。
問為田幾何？
答曰：
一畝九十七步半。
解读：
现有一弓形田，弦长为三十步，矢长为十五步。
问此田的面积是？
答：
一亩九十七步半。
数学表达式：
S=1/2*（l*d+d*d）=1/2*（30*15+15*15）=337.5，即一亩九十七步半。
36、又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。
問為田幾何？
答曰：
二畝一百五十五步、八十一分步之五十六。
術曰：
以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。
解读：
又有一弓形田，炫长七十八又二分之一步，矢长十三又九分之七步。
问此田的面积是？
答：
二亩一百五十五又八十一分之五十六步。
计算方法：
用弦长乘以矢，矢又自乘，取两者和的一半。
37、今有環田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。
問為田幾何？
答曰：
二畝五十五步。
解读：
现有一环形田，中周长为九十二步，外周长为一百二十二步，径长五步。
问此田面积是？
答：
二亩五十五步。
数学表达式：
S=1/2*（l内+l外）*d=1/2*（92*122）*5=535（积步），即535/240=2亩55步。
38、又有環田，中周六十二步、四分步之三
，外周一百一十三步、二分步之一，徑十二步、三分步之二。
問為田幾何？
答曰：
四畝一百五十六步、四分步之一。
術曰：
并中外周而半之，以徑乘之為積步。
密率術曰：
置中外周步數，分母、子各居其下。
母互乘子，通全步，內分子。
以中周
減外周，餘半之，以益中周。
徑亦通分內子，以乘周為實。
分母相乘為法，除之為積步，餘積步之分。
以畝法除之，即畝數也。
解读：
又有一环形田，中周长为六十二又四分之三步，外周长为一百一十三又二分之一步，径长为十二又三分之二步。
问此田面积是？
答：
四亩一百五十六又四分之一步。
计算方法：
中外周长相加取半，然后乘以径长，就是积步。
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