高中数学选修4-4知识点(坐标系与参数方程).wps资料文档下载

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定义：

在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；

数轴的正方向：

两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；

坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；

坐标原点：

它们的公共原点称为直角坐标系的原点；

对应关系：

平面直角坐标系上的点与有序实数对（x，y）之间可以建立一一对应关系（3）距离公式与中点坐标公式：

设平面直角坐标系中，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），线段P1P2的中点为P，填表：

两点间的距离公式中点P的坐标公式|P1P2|（x1x2）2（y1y2）2xx1x22yy1y222.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：

xx（0）yy（0）的作用下，点P（x，y）对应到点P（x，y），称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换第2页二极坐标系

（1）定义：

在平面内取一个定点O，叫做极点；

自极点O引一条射线Ox叫做极轴；

再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系

（2）极坐标系的四个要素：

极点；

极轴；

长度单位；

角度单位及它的方向（3）图示2极坐标

（1）极坐标的定义：

设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；

以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序数对（，）叫做点M的极坐标，记作M（，）

（2）极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：

在极坐标系中，极点O的极坐标是（0，），（R），若点M的极坐标是M（，），则点M的极坐标也可写成M（，2k），（kZ）若规定0，02，则除极点外极坐标系内的点与有序数对（，）之间才是一一对应关系3极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为（x，y），（，）

（1）极坐标化直角坐标xcos，ysin.

（2）直角坐标化极坐标2x2y2，tanyx（x0）.三简单曲线的极坐标方程1曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f（，）0，并且坐标适合方程f（，）0的点都在曲线C上，那么方程f（，）0叫做曲线C的极坐标方程2圆的极坐标方程

（1）特殊情形如下表：

圆心位置极坐标方程图形圆心在极点（0，0）r（02）第3页圆心在点（r，0）2rcos_（22）圆心在点（r，2）2rsin_（0）圆心在点（r，）2rcos_（232）圆心在点（r，32）2rsin_（0）

（2）一般情形：

设圆心C（0，0），半径为r，M（，）为圆上任意一点，则|CM|r，COM|0|，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为220cos（0）20r20即）cos（2002022r3直线的极坐标方程

（1）特殊情形如下表：

直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为

（1）（R）或（R）

（2）（0）和（0）过点（a，0），且与极轴垂直cos_a（22）过点（a，2），且与极轴平行sin_a（0）过点（a，0）倾斜角为sin（）asin（0）

（2）一般情形，设直线l过点P（0，0），倾斜角为，M（，）为直线l上的动点，则在OPM中利用正弦定理可得直线l的极坐标方程为sin（）0sin（0）第4页四柱坐标系与球坐标系简介（了解）1柱坐标系

（1）定义：

一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用（，）（0，02）表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组（，z）（zR）表示这样，我们建立了空间的点与有序数组（，z）之间的一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组（，z）叫做点P的柱坐标，记作P（，z），其中0，02，zR

（2）空间点P的直角坐标（x，y，z）与柱坐标（，z）之间的变换公式为xcosysinzz2球坐标系

（1）定义：

一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|r，OP与Oz轴正向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为，这样点P的位置就可以用有序数组（r，）表示，这样，空间的点与有序数组（r，）之间建立了一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系），有序数组（r，），叫做点P的球坐标，记作P（r，），其中r0，0，0b0）的参数方程是xacosybsin（是参数），规定参数的取值范围是0，2）

（2）中心在原点，焦点在y轴上的椭圆y2a2x2b21（ab0）的参数方程是xbcosyasin（是参数），规定参数的取值范围是0，2）（3）中心在（h，k）的椭圆普通方程为（xh）2a2（yk）2b21，则其参数方程为xhacosykbsin（是参数）2双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1双曲线的参数方程

（1）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线x2a2y2b21的参数方程是xasecybtan（为参数），规定参数的取值范围为0，2）且2，32

（2）中心在原点，焦点在y轴上的双曲线y2a2x2b21的参数方程是xbtanyasec（为参数）2抛物线的参数方程

（1）抛物线y22px的参数方程为x2pt2y2pt（t为参数）

（2）参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数三直线的参数方程第7页1直线的参数方程经过点M0（x0，y0），倾斜角为的直线l的参数方程为xx0tcosyy0tsin（t为参数）2直线的参数方程中参数t的几何意义

（1）参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离

（2）当M0M与e（直线的单位方向向量）同向时，t取正数当M0M与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t03直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程我们把过点M0（x0，y0），倾斜角为的直线，选取参数tM0M得到的参数方程xx0tcosyy0tsin（t为参数）称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t有明确的几何意义一般地，过点M0（x0，y0），斜率kba（a，b为常数）的直线，参数方程为xx0atyy0bt（t为参数），称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t不具有标准式中参数的几何意义四渐开线与摆线（了解）1渐开线的概念及参数方程

（1）渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆

（2）圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y），则有xr（cossin），yr（sincos）（是参数）这就是圆的渐开线的参数方程2摆线的概念及参数方程

（1）摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线

（2）半径为r的圆所产生摆线的参数方程为xr（sin），yr（1cos）（是参数）