-福建省厦门市高三上期末数学试卷文科Word文档格式.doc

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0，2，4，8，12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．下图是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入m=8，则输出的S=（　　）

A．44 B．68 C．100 D．140

11．（5分）在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°

，．若，则实数λ的值为（　　）

A．﹣2 B． C． D．

12．（5分）函数y=2cosx（0＜x＜π）和函数y=3tanx的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）若复数z满足z•i=2﹣i，则|z|=　　．

14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为　　．

15．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax+a存在零点，则实数a的取值范围为　　．

16．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF2垂直x轴，若直线PF1的斜率为，则该椭圆的离心率为　　．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（10分）在△ABC中，D是边BC上的点，AB=AD=，cos∠BAD=．

（1）求sinB；

（2）若AC=4，求△ADC的面积．

18．（12分）已知等差数列{an}的公差d＞0，其前n项和为Sn，且S5=20，a3，a5，a8成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn．

19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=PB，CD=2AB=4，CD∥AB，∠BPA=∠BAD=90°

．

（1）求证：

PB⊥平面PAD；

（2）若三棱锥C﹣PBD的体积为2，求△PAD的面积．

20．（12分）在直角坐标系xOy中，F（1，0），动点P满足：

以PF为直径的圆与y轴相切．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点P的轨迹为曲线Г，直线l过点M（4，0）且与Г交于A，B两点，当△ABF与△AOF的面积之和取得最小值时，求直线l的方程．

21．（12分）已知函数f（x）=alnx+﹣（a2+1）x．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）当a＞1时，记函数f（x）的极小值为g（a），若g（a）＜b﹣（2a3﹣2a2+5a）恒成立，求满足条件的最小整数b．

选修4-4：

坐标系与参数方程

22．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：

θ=α，其中0＜α＜．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）求|OA|•|OB|的最小值．

选修4-5：

不等式选讲

23．函数f（x）=|x﹣1|+|2x+a|．

（1）当a=1时，求证：

f（x）+|x﹣1|≥3；

（2）若f（x）的最小值为2，求实数a的值．

参考答案与试题解析

【解答】解：

∵集合A={0，1，2，3}，B={x|﹣1≤x＜3}，

∴A∩B={0，1，2}．

故选：

B．

当x=0时，2x＞1不错，即命题p是假命题，

当x0=时，满足sinx0=cosx0，即命题q：

∃x0∈R，sinx0=cosx0，为真命题．

则￢p∧q为真命题，

其余为假命题，

C

a=log20.3＜0，b=20.3＞1，c=0.32∈（0，1），

∴b＞c＞a，

D．

由sin2α=，得2sinαcosα=，

又，

∴sinα﹣cosα==．

A．

作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：

（阴影部分）．

由z=2x+y得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，

由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，

此时z最大．

由，解得A（4，﹣1），

代入目标函数z=2x+y得z=2×

4﹣1=7．

即目标函数z=2x+y的最大值为7．

由a，b表示直线，α，β表示平面，知：

在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；

在B中，若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，故B错误；

在C中，若a∥α，b⊥α，则由线面垂直的性质定理得a⊥b，故C正确；

在D中，若a∥α，α⊥β，则a与β相交、平行或a⊂β，故D错误．

C．

【解答】解；

n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+a2k﹣1=2．

∴其前100项和=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a99+a100）=2×

50=100．

函数y=sinx（1+cos2x），

定义域为[﹣2，2]关于原点对称，

且f（﹣x）=sin（﹣x）（1+cosx）=﹣sinx（1+cosx）=﹣f（x），

则f（x）为奇函数，图象关于原点对称，

排除D；

由0＜x＜1时，y=sinx（1+cos2x）=2sinxcos2x＞0，

排除C；

又2sinxcos2x=0，可得x=±

（0＜x≤2），

则排除A，B正确．

故选B．

设双曲线的渐近线方程为y=±

x，

P（m，），Q（m，﹣），

由四边形PFQO是面积为c2的菱形，

可得m=﹣c，

|PQ|=•c=，

由|OF|•|PQ|=c•=c2，

可得a=b，

则双曲线的渐近线方程为y=±

模拟程序的运行，可得

n=1，S=0，m=8

满足条件n是奇数，a=0，S=0

不满足条件n≥m，n=2，不满足条件n是奇数，a=2，S=2

不满足条件n≥m，n=3，满足条件n是奇数，a=4，S=6

不满足条件n≥m，n=4，不满足条件n是奇数，a=8，S=14

不满足条件n≥m，n=5，满足条件n是奇数，a=12，S=26

不满足条件n≥m，n=6，满足条件n是奇数，a=18，S=44

不满足条件n≥m，n=7，满足条件n是奇数，a=24，S=68

不满足条件n≥m，n=8，不满足条件n是奇数，a=32，S=100

满足条件n≥m，退出循环，输出S的值为100．

∵=﹣，．

∴=+=+λ=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ，

∴•=[（1﹣λ）+λ]•（﹣）=（λ﹣1）+λ2+（1﹣2λ）•=4（λ﹣1）+λ+（1﹣2λ）×

2×

1×

（﹣）=，

解得λ=，

函数y=2cosx（0＜x＜π）和函数y=3tanx的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，

由2cosx=3tanx，可得2cos2=3sinx，即2sin2x+3sinx﹣2=0，

求得sinx=，或sinx=﹣2（舍去），结合0＜x＜π，

∴x=，或x=．

∴A（，）、B（，﹣）．

根据函数图象的对称性可得AB的中点C（，0），

∴△OAB的面积等于△OAC的面积加上△OCB的面积，

等于•QC•|yA|+OC•|yC|=•OC•|yA﹣yC|=••2=π，

13．（5分）若复数z满足z•i=2﹣i，则|z|=　　．

由z•i=2﹣i，得z=，

∴|z|==．

故答案为：

14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为　　．

由三视图还原原几何体如图：

该几何体为三棱锥，侧面PBC⊥底面ABC，且PBC与ABC都是等腰直角三角形，

∴这个三棱锥的体积为V=．

15．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax+a存在零点，则实数a的取值范围为　或a≥e2　．

函数g（x）=f（x）﹣ax+a存在零点，即方程f（x）﹣ax+a=0存在实数根，

也就是函数y=f（x）与y=a（x﹣1）的图象有交点．

如图：

直线y=a（x﹣1）恒过定点（1，0），

过点（﹣2，1）与（1，0）的直线的斜率k=；

设直线y=a（x﹣1）与y=ex相切于（），

则切点处的导数值为，则过切点的直线方程为y﹣，

由切线过（1，0），则，

∴，得x0=2．

此时切线的斜率为e2．

由图可知，要使函数g（x）=f（x）﹣ax+a存在零点，则实数a的取值范围为或a≥e2．

或a≥e2．

16．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF2垂直x轴，若直线PF1的斜率为，则该椭圆的离心率为　　．

根据题意，如图：

椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，

则|F1F2|=2c，

直线PF1的斜率为，则tan∠PF1F2==，

则有|PF2|=c，

则|PF1|==c，

则2a=|PF1|+|PF2|=2c，

则椭圆的离心率e==，

（1）在△ABD中，BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠BAD，

=，

=12，

解得：

，

由于：

cos∠BAD=．

则：

在△ABD中，利用正弦定理得：

所以：

（2）由于，

B为锐角，所以cosB=，

设BC=x，

在△ABC中，AC2=BA2+BC2﹣2AB•BCcosB，

即：

=16．

整理得：

x=3．

CD=BC﹣BD=3=．

sin∠ADC=sinB=．

AD•DC•sin∠ADC=．

（1）∵S5=20，∴5a1+=20，化为：

a1+2d=4．

∵a3，a5，a8成等比数列，∴=a3a8，可得=（a1+2d）（a1+7d），d≠0，化为：

a1=2d．

联立解得：

a1=2，d=1．

∴an=2+n﹣1=n+1．

（2）=+n=+n，

∴数列{bn}的前n项和Tn=﹣+…++（1+2+…+n）

=+．

【解答】证明：

（1）棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底P﹣面ABCD=AB，

AD⊂平面ABCD，且AD⊥AB，

AD⊥平面PAB．

又因为：

PB⊂平面PAB，

PB⊥AD，

由PB⊥PA，

PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，

PB⊥平面PAD，

（2）取AB的中点E，连接PE，

因为PA=PB，

PE⊥AB．

又因为PE⊂平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，

PE⊥平面ABCD．

因为PE是三棱锥P﹣BCD的高，且PE=AB=1，

且CD∥AB，AD⊥CD，

VC﹣PBD=VP﹣BCD=，

AD=3．

PA=，

又AD⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，

PA⊥AD．

（1）设点P（x，y），圆心N（x0，y0），

圆与y轴相切于点C，则|PF|=2|NC|，

∴，

又点N为PF的中点，∴，

∴，整理得：

y2=4x．

∴点P的轨迹方程为：

y2=4x；

（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，方程为：

x=4，

可得S△ABF+S△AOF=14．

（ⅱ）当直线l的斜率存在时，设方程为：

y=k（x﹣4），

A（x1，y1），B（x2，y2），

由消去x并整理得：

ky2﹣4y﹣16k=0，

∴，y1y2=﹣16，

S△ABF+S△AOF=S△AOM+S△BFM=，

当且仅当4|y1|=3|y2|时等号成立，又|y1||y2|=16，

∴，或，，

∴，解得：

k=．

∵，

∴当两个三角形的面积和最小时，直线l的方程为：

y=（x﹣4）．

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），

∴f′（x）=+ax﹣（a2+1）==

①若a≤0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0，

故f（x）在（0，+∞）单调递减，

②若a＞0，由f′（x）=0，得x1=，x2=a

（ⅰ）若0＜a＜1，当x∈（a，）时，f′（x）＜0，

当x∈（0，a）和（，+∞），f′（x）＞0，

故f（x）在∈（a，）单调递减，在（0，a）和（，+∞）单调递增，

（ⅱ）若a=1，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，

（ⅲ）若a＞1，当x∈（，a）时，f′（x）＜0，

当x∈（0，）和（a，+∞），f′（x）＞0，

故f（x）在∈（，a）单调递减，在（0，）和（a，+∞）单调递增

（2）由

（1）得：

若a＞1，f（x）在∈（，a）单调递减，在（0，）和（a，+∞）单调递增

所以x=a时，f（x）的极小值为g（a）=f（a）=alna﹣﹣a，

由g（a）＜b﹣（2a3﹣2a2+5a）恒成立，

即b＞alna﹣+，恒成立

设h（x）=xlnx﹣+，x＞1，

∴h′（x）=lnx﹣x+

令φ（x）=lnx﹣x+，

∴φ′（x）=﹣1=＜0恒成立

∴h（x）在（1，+∞）单调递减，

且h′

（1）=＞0，h′

（2）=ln2﹣=（ln16﹣lne3）＜0

∴∃x0∈（1，2），h′（x0）=lnx0﹣x0+=0，

且x∈（1，x0），h′（x0）＞0，x∈（x0，2），h′（x0）＜0

∴h（x）max=h（x0）=x0lnx0﹣+

∵lnx0=x0﹣

得h（x）max=﹣x02﹣x0其中x0∈（1，2），

∵y=x2﹣x在（1，2）上单调递增

∴h（x）max∈（﹣，0），

∵b＞h（x）max，b∈Z，

∴bmin=0

（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）化为直角坐标方程为：

再转化为极坐标方程为：

（2）根据题意：

射线O的极坐标方程为或

|OA|=，=，

|OA||OB|=ρ1ρ2=，

当且仅当sin2α=cos2α，

即时，函数的最小值为．

（1）依题意：

f（x）+|x﹣1|=|x﹣1|+|2x+1|+|x﹣1|=|2x﹣2|+|2x+1|≥|2x﹣2﹣2x﹣1|=3，

当且仅当2x﹣2=﹣（2x+1），即x=时，等号成立．

（2）①当1＞﹣，即a＞﹣2时，

f（x）=，

则当x=﹣时，f（x）min=f（﹣）=|﹣﹣1|=+1=2，

故a=2；

②当1＜﹣，即a＜﹣2时，

则当x=﹣时，f（x）min=f（﹣）=|﹣﹣1|=﹣﹣1=2，

故a=﹣6；

③当1=﹣时，即a=﹣2时，f（x）=3|x﹣1|有最小值0，不符合题意，舍去；

故a=2或﹣6．

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