高一数学必修1知识点总结及练习题Word下载.doc

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{x|x2=－5｝（研究P3，2）

二、集合间的基本关系（切记，有包含关系要优先考虑空集）（P3、10）

1.“包含”关系—子集（最高次项前面有参数时，要讨论它与0的关系）

注意：

有两种可能

（1）A是B的一部分，；

（2）A与B是同一集合。

2．“相等”关系：

A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）

实例：

设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”

即：

①任何一个集合是它本身的子集。

AÍ

A

②真子集:

如果AÍ

B,且A¹

B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

③如果AÍ

B,BÍ

C,那么AÍ

C

④如果AÍ

B同时BÍ

A那么A=B

规定:

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

u有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

三、集合的运算（ p3,6;

P4，4/7/10,P5，10;

P6,5/8）

运算类型

交集

并集

补集

定义

由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：

AB（读作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB}）．

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

S

记作，即

CSA=

韦

恩

图

示

性

质

AA=A

AΦ=Φ

AB=BA

ABA

ABB

AA=A

AΦ=A

ABＡ

ABB

（CuA）（CuB）

=Cu（AB）

=Cu（AB）

A（CuA）=U

A（CuA）=Φ．

例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是（）

A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数

2.集合{a，b，c}的真子集共有个

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是.

4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是

5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

（注意：

解不等式时，乘以除以一个数时，注意讨论它的符号，如果是负数，记住变号。

二、函数的有关概念定义（P9，1/;

P10，1）

1．定义域：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

（1）具体函数的定义域时列不等式组的主要依据是（P30,9;

P37,2/4）

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零；

（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

（6）指数为零底不可以等于零，

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

抽象函数定义域：

（P9,6;

P21,5;

u相同函数的判断方法：

①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；

u②定义域一致（P9，3时具备）

2．值域:

先考虑其定义域（P9，7/8;

P10，10/6;

P14，6）

（1）观察法（遇见上下都有x，优先分离常数）

（2）配方法

（3）代换法

2、函数的解析表达式（P10，9、4）

求函数的解析式的主要方法有：

1）凑配法已知f＝x2＋，求f（x）

2）待定系数法已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝4x－1，求f（x）

3）换元法已知f（＋2）＝x＋4，求f（x）（注意新换元的范围）

4）消参法（函数方程法）已知：

3.函数图象知识归纳

A、图象变换法

常用变换方法有三种

1）平移变换

2）伸缩变换

3）对称变换（P10，2）

4．区间的概念

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间

5．映射（箭射靶，且箭要全射出去）定义：

（P11，1/3/5/6/7/9/10）

对于映射f：

A→B来说，则应满足：

（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

一一映射：

一对一，且集合B当中没有多余的元素（P11，8）

6.分段函数（一般画图处理题目）（P11，9;

P12，7;

P24，10）

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值情况．

（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

分段函数单调性，除了保证每一段的单调性，还要保证最值之间的关系，即整体的单调性。

（

补充：

复合函数

如果y=f（u）（u∈M）,u=g（x）（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x）（x∈A）称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性（局部性质）（P12，1/2;

P14，2/3）

（1）增函数

设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<

x2时，都有f（x1）<

f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数.区间D称为y=f（x）的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<

x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.

函数的单调性是函数的局部性质；

（2）图象的特点

如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3）.函数单调区间与单调性的判定方法

（A）定义法：

（P14，9/8;

P15，9;

P30,10）

任取x1，x2∈D，且x1<

x2；

作差f（x1）－f（x2）；

变形（通常是因式分解和配方）；

定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．

（B）图象法（从图象上看升降）

（C）复合函数的单调性（P14，4;

p31,9;

P39,8）

复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律：

“同增异减”

函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

（D）利用已知函数的单调性。

（一次函数，二次函数，反比例函数，双勾函数，对数函数，指数函数）（P12，3/4/5/6;

P14，1/5）

注：

增+增=增；

减加减=减（P13，3/4）

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．（图像法）

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

确定f（－x）与f（x）的关系；

作出相应结论：

若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；

若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．

（1）函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，

（1）再根据定义判定;

（2）由f（-x）±

f（x）=0或f（x）／f（-x）=±

1来判定;

（3）利用定理，或借助函数的图象判定.

奇*奇=偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇

（2）奇函数在对称区间单调性相同，如果x=0有意义，注意利用f（0）=0解题；

偶函数在对称区间单调性相反。

9.抽象函数的单调性和奇偶性（P14，9;

P15，10;

P24，11，12;

P23，9/6）

10．函数最大（小）值

利用二次函数的性质求函数的最大（小）值

（P16，9/2/5/8;

P17，8）先画图，画出对称轴，移动区间

对于开口向下的情况，讨论类似。

其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：

（1）若，则，；

（2）若，则，

另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越大；

反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越小。

利用图象求函数的最大（小）值（P22，5;

利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；

11:

恒成立问题转化为最值问题，（一般求什么，就把它放到一边。

）（p24,9;

P17,8;

P37,6/7/10；

p44,6;

p45,4;

1.求下列函数的定义域：

⑴⑵

2.设函数的定义域为，则函数的定义域为__

3.若函数的定义域为，则函数的定义域是

4.函数，若，则=

5.求下列函数的值域：

⑴⑵

（3）（4）

6.已知函数，求函数，的解析式

7.已知函数满足，则=。

8.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=

在R上的解析式为

9.求下列函数的单调区间：

⑴⑵⑶

10.判断函数的单调性并证明你的结论．

11.设函数判断它的奇偶性并且求证：

．

第二章基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

u负数没有偶次方根；

0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂，正数的分数指数幂的意义，规定：

，

u0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）·

（2）

（3）

注意利用平方差公式，完全平方之间的关系，以及立方差公式。

（p27,9,10,p28,9/10;

p29,4/6）

（二）指数函数及其性质（注意值域大于零）

2、指数函数的图象和性质

a>

1

0<

a<

定义域R

值域y＞0

在R上单调递增

在R上单调递减

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，则；

取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

二、对数函数（切记真数大于零，注意定义域）

（一）对数

说明：

注意底数的限制，且；

；

注意对数的书写格式．

两个重要对数：

常用对数：

以10为底的对数；

自然对数：

以无理数为底的对数的对数．

（二）对数的运算性质

如果，且，，，那么：

·

＋；

－；

．

换底公式

（，且；

，且；

）．

利用换底公式推导下面的结论（P35,3/5/6/8/9;

P36,3/4/6/8）

（1）；

（2）．（3）

解对数指数方程不等式，或者比较大小都是化为同底数。

若真数一样，利用换底公式

（2）；

同时解对数方程时，要验根，是否真数大于0）

（二）对数函数（区别清楚定义域为R和值域为R，x2前面有参数时，别忘记讨论它与0的关系）

1、对数函数的概念：

函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：

，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

对数函数对底数的限制：

，且．

2、对数函数的性质：

定义域x＞0

值域为R

在R上递增

在R上递减

函数图象都过定点（1，0）

对于y=logag（x）,若u=g（x）为二次函数，先画图，取x轴上半部的图像，再结合图像解题。

（一定注意先求定义域，真数大于0）

f（x）=的图像要记住，若有f（a）=f（b）,则a,b互为倒数。

（三）幂函数（a=-1,1/2,2,3的图像必须掌握）

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；

当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．（p22,1）

总结：

幂函数在第一象限为减函数，则;

为增函数，则；

幂函数为奇函数，则a为奇数，为偶函数则a为偶数（p22,9）

第三章函数的应用

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、函数零点的求法：

（代数法）求方程的实数根；

（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数．

（1）根的分布：

画图！

！

看四点、开口方向，⊿，对称轴，端点值的符号。

（注意隐含条件，

和经过的定点）没有隐含条件时，切记每一个都要考虑。

（2）两个正根，两个复根，一正一负根时一般用维达定理.（除了一正一负隐含了德塔大于零，其他时候不要忘记德塔）

（3）若已知一个根，代入求出参数，再解方程，检验另外一根是否满足条件。