高中数学定积分训练题Word文档格式.doc

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5．曲线与坐标周围成的面积 （）

A．4 B．2 C． D．3

6．= （）

A． B．2e C． D．

7．求由围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（　）

A．［0，］ B．［0，2］　 C．［1，2］　 D．［0，1］

8．由直线，及ｘ轴围成平面图形的面积为 （　）

A．　 B．　

C．　 D．

9．如果1N力能拉长弹簧1cm，为将弹簧拉长6cm，所耗费的功是 （）

A．0.18B．0.26C．0.12 D．0.28

10．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为 （）

A．　 B． C．　 D．

二、填空题：

请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．

11．将和式表示为定积分．

12．曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为　　　　　．

13．由及轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为　　．

14．按万有引力定律，两质点间的吸引力，ｋ为常数，为两质点的质量，ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点沿直线移动至离的距离为ｂ处，试求所作之功（ｂ＞a）．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．

15．（12分）计算下列定积分的值

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

16．（12分）求曲线与轴所围成的图形的面积．

17．（12分）求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.

18．（12分）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功．

19．（14分）设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且

f′（x）=2x+2.

（1）求y=f（x）的表达式；

（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.

（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.

20．（14分）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．

参考答案

一、

1．B；

2．C；

3．C；

4．C；

5．D；

6．D；

7．B；

8．C；

9．A；

10．A；

二、11．；

12．；

13．；

14．；

三、

15．

（1）

（2）

（3）

（4）

16．解：

首先求出函数的零点：

，，.又易判断出在内，图形在轴下方，在内，图形在轴上方，

所以所求面积为

图

17．解：

焦点坐标为，设弦AB、CD过焦点F，且．

由图得知：

，故．

所求面积为：

．

18．解：

物体的速度．媒质阻力，其中k为比例常数，k>

0．

当x=0时，t=0；

当x=a时，，又ds=vdt，故阻力所作的功为

19．解：

（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，

又已知f′（x）=2x+2

∴a=1，b=2.

∴f（x）=x2+2x+c

又方程f（x）=0有两个相等实根，

∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.

故f（x）=x2+2x+1.

（2）依题意，有所求面积=.

（3）依题意，有，

∴，－t3+t2－t+=t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，

∴2（t－1）3=－1，于是t=1－.

评述：

本题考查导数和积分的基本概念.

20．解依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以

（1）

又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，

由方程组

得ax2＋（b＋1）x－4=0，其判别式必须为0，即（b＋1）2＋16a=0．

于是代入

（1）式得：

，；

令S'

（b）=0；

在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'

（b）＞0；

当b＞3时，S'

（b）＜0．故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且．