分布列及数学期望经典复习文档格式.docx

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4．在15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是（　　）．

A．P（X＝2）B．P（X≤2）C．P（X＝4）D．P（X≤4）

5．随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝（n＝1,2,3,4），其中a是常数，则P的值为（　　）．A.B.C.D.

二、填空题

6．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．

7．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P（X<

4）＝0.3，那么n＝________.

日销售量（件）

2

3

频数

5

9

8．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的分布列为________．

三、解答题

9．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．

（1）求当天商店不进货的概率；

（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．

奖级

摸出红、蓝球个数

获奖金额

一等奖

3红1蓝

200元

二等奖

3红0蓝

50元

三等奖

2红1蓝

10元

10.某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：

在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．

（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；

（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列．

11.甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为，他们海选合格与不合格是相互独立的．（Ⅰ）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；

（Ⅱ）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量,求随机变量的分布列

课堂演练

a

从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P（X≤1）等于（　　）．A.B.C.D.

2．设随机变量X的概率分布列如下表所示：

F（x）＝P（X≤x），则当x的取值范围是[1,2）时，F（x）等于（　　）．A.B.C.D.

编号

4

x

169

178

166

175

180

y

75

80

77

70

81

3．为质检某产品的质量，现抽取5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：

毫克），测量数据如下：

如果产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．现从上述5件产品中，随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X的分布列为________．

4．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：

[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]．

（1）求图中x的值；

（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为X，求X的分布列

离散型随机变量及其分布

知识点一：

离散型随机变量的相关概念；

随机变量：

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母、等表示

离散型随机变量：

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

若是随机变量，，其中、是常数，则也是随机变量

连续型随机变量：

对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:

离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；

但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

离散型随机变量的分布列:

设离散型随机变量可能取的值为取每一个值的概率为，则称表

…

为随机变量的概率分布，简称的分布列

知识点二：

离散型随机变量分布列的两个性质；

任何随机事件发生的概率都满足:

，并且不可能事件的概率为，必然事件的概率为．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

；

特别提醒：

对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即

两点分布：

若随机变量X的分布列:

则称X的分布列为两点分布列.

（1）若随机变量X的分布列为两点分布,则称X服从两点分布,而称P（X=1）为成功率.

（2）两点分布又称为0-1分布或伯努利分布

（3）两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；

买回的一件产品是否为正品；

新生婴儿的性别；

投篮是否命中等等；

都可以用两点分布列来研究.

知识点三：

超几何分布：

一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则

称超几何分布列.

为超几何分布列，

知识点四：

离散型随机变量的二项分布；

在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是

，（…，）

于是得到随机变量的概率分布如下：

由于恰好是二项式展开式：

中的各项的值，所以称这样的随机变量服从二项分布，记作，其中，为参数，并记

知识点五：

离散型随机变量的几何分布：

在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量．“”表示在第次独立重复试验时事件第一次发生.如果把次试验时事件发生记为、事件不发生记为，，，那么

…，

称这样的随机变量服从几何分布，

记作

知识点六：

求离散型随机变量分布列的步骤；

（1）要确定随机变量的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；

（2）分清概率类型，计算取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；

（3）列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证.

几种常见的分布列的求法：

（1）取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.

（2）射击问题：

若是一人连续射击，且限制在次射击中发生次，则往往与二项分布联系起来；

若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.

（3）对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解.

期望

数学期望:

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

x1

x2

xn

p1

p2

pn

则称……为的数学期望，简称期望

数学期望的意义：

数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

平均数与均值：

一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以的数学期望又称为平均数、均值。

期望的一个性质：

若，则

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