高考数学(理科)二轮复习【专题1】不等式与线性规划(含答案)Word格式文档下载.doc
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（1）线性规划问题的有关概念：
线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．
（2）解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：
①画出可行域；
②根据线性目标函数的几何意义确定最优解；
③求出目标函数的最大值或者最小值．
4．两个常用结论
（1）ax2＋bx＋c>
0（a≠0）恒成立的条件是
（2）ax2＋bx＋c<
热点一 一元二次不等式的解法
例1
（1）（2013·
安徽）已知一元二次不等式f（x）<
0的解集为，则f（10x）>
0的解集为________．
（2）已知函数f（x）＝（x－2）（ax＋b）为偶函数，且在（0，＋∞）单调递增，则f（2－x）>
思维启迪
（1）利用换元思想，设10x＝t，先解f（t）>
0.
（2）利用f（x）是偶函数求b，再解f（2－x）>
答案
（1）{x|x<
－lg2}
（2）{x|x<
0或x>
4}
解析
（1）由已知条件0<
10x<
，
解得x<
lg
＝－lg2.
（2）由题意可知f（－x）＝f（x）．
即（－x－2）（－ax＋b）＝（x－2）（ax＋b），
化简得（2a－b）x＝0恒成立，
故2a－b＝0，即b＝2a，则f（x）＝a（x－2）（x＋2）．
又函数在（0，＋∞）单调递增，所以a>
f（2－x）>
0即ax（x－4）>
0，解得x<
4.
思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法．
（1）不等式≤0的解集为________．
（2）已知p：
∃x0∈R，mx＋1≤0，q：
∀x∈R，x2＋mx＋1>
0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是______________________________________________________________．
答案
（1）（－，1]
（2）（－2,0）
解析
（1）原不等式等价于（x－1）（2x＋1）<
0或x－1＝0，即－<
x<
1或x＝1，所以不等式的解集为（－，1]．
（2）p∧q为真命题，等价于p，q均为真命题．命题p为真时，m<
命题q为真时，Δ＝m2－4<
0，解得－2<
m<
2.故p∧q为真时，－2<
热点二 基本不等式的应用
例2
（1）（2014·
湖北）某项研究表明：
在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：
辆/时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：
米/秒）、平均车长l（单位：
米）的值有关，其公式为F＝.
①如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；
②如果限定车型，l＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时．
（2）（2013·
山东改编）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．
思维启迪
（1）把所给l值代入，分子分母同除以v，构造基本不等式的形式求最值；
（2）关键是寻找取得最大值时的条件．
答案
（1）①1900 ②100
（2）1
解析
（1）①当l＝6.05时，F＝
＝≤＝＝1900.
当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1900辆/时．
②当l＝5时，F＝＝≤＝＝2000.
当且仅当v＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2000辆/时，比①中的最大车流量增加100辆/时．
（2）由已知得z＝x2－3xy＋4y2，（*）
则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入（*）式，得z＝2y2，
所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1，
所以当且仅当y＝1时，＋－的最大值为1.
思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误．
（1）若点A（m，n）在第一象限，且在直线＋＝1上，则mn的最大值为________．
（2）已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈（a，＋∞）上恒成立，则实数a的最小值为________．
答案
（1）3
（2）
解析
（1）因为点A（m，n）在第一象限，且在直线＋＝1上，所以m，n>
0，且＋＝1.
所以·
≤（）2（当且仅当＝＝，即m＝，n＝2时，取等号）．所以·
≤，即mn≤3，
所以mn的最大值为3.
（2）2x＋＝2（x－a）＋＋2a
≥2·
＋2a＝4＋2a，
由题意可知4＋2a≥7，得a≥，
即实数a的最小值为.
热点三 简单的线性规划问题
例3 （2013·
湖北）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为________元．
思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题．
答案 36800
解析 设租A型车x辆，B型车y辆时，租金为z元，
则z＝1600x＋2400y，且x，y满足
画出可行域如图，
直线y＝－x＋过点
A（5,12）时纵截距最小，
所以zmin＝5×
1600＋2400×
12＝36800，
故租金最少为36800元．
思维升华
（1）线性规划问题一般有三种题型：
一是求最值；
二是求区域面积；
三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．
（2）解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．（3）对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．
（1）已知实数x，y满足约束条件，则w＝的最小值是________．
北京）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是________．
答案
（1）1
（2）
解析
（1）画出可行域，如图所示．
w＝表示可行域内的点（x，y）与定点P（0，－1）连线的斜率，观察图形可知PA的斜率最小为＝1.
（2）当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P（x0，y0）满足x0－2y0＝2，因此m<
如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．
要使可行域内包含y＝x－1上的点，只需可行域边界点
（－m，m）在直线y＝x－1的下方即可，即m<
－m－1，解得m<
－.
1．几类不等式的解法
一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点；
分式不等式可转化为整式不等式（组）来解；
以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化．
2．基本不等式的作用
二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数（式）的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题．解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可．
3．线性规划问题的基本步骤
（1）定域——画出不等式（组）所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应；
（2）平移——画出目标函数等于0时所表示的直线l，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义；
（3）求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值.
真题感悟
1．（2014·
山东改编）已知实数x，y满足ax<
ay（0<
1），则下列关系式恒成立的是________．
①>
；
②ln（x2＋1）>
ln（y2＋1）；
③sinx>
siny;
④x3>
y3.
答案 ④
解析 因为0<
1，ax<
ay，所以x>
y.采用赋值法判断，①中，当x＝1，y＝0时，<
1，①不成立．②中，当x＝0，y＝－1时，ln1<
ln2，②不成立．③中，当x＝0，y＝－π时，sinx＝siny＝0，③不成立．④中，因为函数y＝x3在R上是增函数，故④恒成立．
2．（2014·
浙江）当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [1，]
解析 画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a>
0，数形结合知，满足即可，解得1≤a≤.所以a的取值范围是1≤a≤.
押题精练
1．为了迎接2015年3月8日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P＝3－，已知生产该产品还需投入成本（10＋2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4＋）万元/万件，则促销费用投入________万元时，厂家的利润最大？
答案 1
解析 设该产品的利润为y万元，由题意知，该产品售价为2×
（）万元，所以y＝2×
（）×
P－10－2P－x＝16－－x（x>
0），所以y＝17－（＋x＋1）≤17－2＝13（当且仅当＝x＋1，即x＝1时取等号），所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大．
2．若点P（x，y）满足线性约束条件点A（3，），O为坐标原点，则·
的最大值为________．
答案 6
解析 由题意，知＝（3，），＝（x，y），则·
＝3x＋y.
令z＝3x＋y，
如图画出不等式组所表示的可行域，
可知当直线y＝－x＋z经过点B时，z取得最大值．
由解得即B（1，），故z的最大值为3×
1＋×
＝6.
即·
的最大值为6.
3．如果关于x的不等式f（x）<
0和g（x）<
0的解集分别为（a，b），（，），那么称这两个不等式为“对偶不等式”，如果不等式x2－4xcos2θ＋2<
0与不等式2x2＋4xsin2θ＋1<
0为“对偶不等式”，且θ∈（，π），则θ＝______________________________________________.
答案
解析 由题意可知ab＝2，a＋b＝4cos2θ，
＋＝－2sin2θ，
即＝－2sin2θ，
∴2cos2θ＝－2sin2θ，tan2θ＝－.
∵θ∈（，π），
∴2θ∈（π，2π），2θ＝.∴θ＝.
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一、填空题
1．函数f（x）＝则不等式x＋（x＋1）f（x＋1）≤1的解集是________．
答案 {x|x≤－1}
解析 当x<
－1时，原不等式可化为
x＋（x＋1）·
（－x）≤1，
解得x2≥－1恒成立，
所以x<
－1.
当x≥－1时，原不等式可化为x＋（x＋1）·
x≤1，
解得－－1≤x≤－1，
所以－1≤x≤－1.
综上，原不等式的解集为{x|x≤－1}．
2．下列不等式一定成立的是________．
①lg>
lgx（x>
②sinx＋≥2（x≠kπ，k∈Z）；
③x2＋1≥2|x|（x∈R）；
④>
1（x∈R）．
答案 ③
解析 应用基本不等式：
x，y>
0，≥（当且仅当x＝y时取等号）逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．
当x>
0时，x2＋≥2·
x·
＝x，
所以lg≥lgx（x>
0），故①不正确；
运用基本不等式时需保证“一正、二定、三相等”，
而当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故②不正确；
由基本不等式可知，③正确；
当x＝0时，有＝1，故④不正确．
3．（2013·
重庆改编）关于x的不等式x2－2ax－8a2<
0（a>
0）的解集为（x1，x2），且x2－x1＝15，则a＝________.
解析 由x2－2ax－8a2<
0，得（x＋2a）（x－4a）<
0，因a>
0，所以不等式的解集为（－2a,4a），即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－（－2a）＝15，解得a＝.
4．（2014·
重庆改编）若log4（3a＋4b）＝log2，则a＋b的最小值是________．
答案 7＋4
解析 由题意得所以
又log4（3a＋4b）＝log2，
所以log4（3a＋4b）＝log4ab，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝（a＋b）（＋）＝7＋＋
≥7＋2＝7＋4，
当且仅当＝时取等号．
5．已知变量x，y满足约束条件，则z＝x＋2y－1的最大值为______________________________________________________________．
答案 8
解析 约束条件所表示的区域如图，
由图可知，当目标函数过A（1,4）时取得最大值，故z＝x＋2y－1的最大值为1＋2×
4－1＝8.
6．已知f（x）是R上的减函数，A（3，－1），B（0,1）是其图象上两点，则不等式|f（1＋lnx）|<
1的解集是________．
答案 （，e2）
解析 ∵|f（1＋lnx）|<
1，∴－1<
f（1＋lnx）<
1，
∴f（3）<
f（0），
又∵f（x）在R上为减函数，
∴0<
1＋lnx<
3，∴－1<
lnx<
2，
∴<
e2.
7．若x，y满足条件且z＝2x＋3y的最大值是5，则实数a的值为________．
解析 画出满足条件的可行域如图阴影部分所示，则当直线z＝2x＋3y过点A（a，a）时，z＝2x＋3y取得最大值5，所以5＝2a＋3a，解得a＝1.
8．若点A（1,1）在直线2mx＋ny－2＝0上，其中mn>
0，则＋的最小值为________．
答案 ＋
解析 ∵点A（1,1）在直线2mx＋ny－2＝0上，
∴2m＋n＝2，又∵mn>
0，∴m>
0且n>
∵＋＝（＋）＝（2＋＋＋1）
≥（3＋2）＝＋，
当且仅当＝，即n＝m时取等号，
∴＋的最小值为＋.
二、解答题
9．设集合A为函数y＝ln（－x2－2x＋8）的定义域，集合B为函数y＝x＋的值域，集合C为不等式（ax－）（x＋4）≤0的解集．
（1）求A∩B；
（2）若C⊆∁RA，求a的取值范围．
解
（1）由－x2－2x＋8>
0，得－4<
即A＝（－4,2）．
y＝x＋＝（x＋1）＋－1，
当x＋1>
0，即x>
－1时，y≥2－1＝1，
此时x＝0，符合要求；
当x＋1<
0，即x<
－1时，y≤－2－1＝－3，
此时x＝－2，符合要求．
所以B＝（－∞，－3]∪[1，＋∞），
所以A∩B＝（－4，－3]∪[1,2）．
（2）（ax－）（x＋4）＝0有两根x＝－4或x＝.
由
（1）知∁RA＝（－∞，4]∪[2，＋∞）
当a>
0时，C＝{x|－4≤x≤}，不可能C⊆∁RA；
当a<
0时，C＝{x|x≤－4或x≥}，
若C⊆∁RA，则≥2，∴a2≤，
∴－≤a<
0.故a的取值范围为[－，0）．
10．已知函数f（x）＝ax3－bx2＋（2－b）x＋1在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0<
x1<
1<
x2<
2.
（1）证明：
a>
（2）若z＝a＋2b，求z的取值范围．
（1）证明 求函数f（x）的导数
f′（x）＝ax2－2bx＋2－b.
由函数f（x）在x＝x1处取得极大值，
在x＝x2处取得极小值，
知x1，x2是f′（x）＝0的两个根，
所以f′（x）＝a（x－x1）（x－x2）．
当x<
x1时，f（x）为增函数，f′（x）>
0，
由x－x1<
0，x－x2<
0得a>
（2）解 在题设下，0<
2等价于
即化简得
此不等式组表示的区域为平面aOb上的三条直线：
2－b＝0，a－3b＋2＝0,4a－5b＋2＝0所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为
A，B（2,2），C（4,2）．
z在这三点的值依次为，6,8.
所以z的取值范围为（，8）．
11．某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：
万元）与日产量x（单位：
吨）满足函数关系式C＝3＋x，每日的销售额S（单位：
万元）与日产量x的函数关系式S＝已知每日的利润L＝S－C，且当x＝2时，L＝3.
（1）求k的值；
（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
解
（1）由题意可得L＝
因为当x＝2时，L＝3，所以3＝2×
2＋＋2，
解得k＝18.
（2）当0<
6时，L＝2x＋＋2，所以
L＝2（x－8）＋＋18＝－[2（8－x）＋]＋18
≤－2＋18＝6，
当且仅当2（8－x）＝，即x＝5时取得等号．
当x≥6时，L＝11－x≤5.
所以当x＝5时，L取得最大值6.
所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大，最大值为6万元．
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