高考数学复习立体几何二空间直线、平面关系的判断与证明2.平行与垂直关系的证明试题版Word格式.doc

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2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.

求证：

AP∥GH.

3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G,求证：

FG∥平面ADD1A1.

4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1,H是B1C1的中点.

（1）求证：

E,B,F,D1四点共面；

（2）求证：

平面A1GH∥平面BED1F.

题型2：

直线、平面垂直的判断及性质

[例1]►

（1）如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,

AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°

PA＝AB＝BC,E是PC中点.

证明：

①CD⊥AE；

②PD⊥平面ABE.

►

（2）如图所示,在四棱锥P­

ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD＝AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF＝AB,PH为△PAD中AD边上的高.

①证明：

PH⊥平面ABCD；

②证明：

EF⊥平面PAB.

[例2]►

（1）[2014·

辽宁文]如图所示,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB＝BC＝BD＝2,∠ABC＝∠DBC＝120°

E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.

（I）求证：

EF⊥平面BCG；

（II）求三棱锥D­

BCG的体积.

►

（2）（2012·

课标全国）如图,三棱柱ABC­

A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB＝90°

AC＝BC＝AA1,D是棱AA1的中点.

（I）证明：

平面BDC1⊥平面BDC；

（II）平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

►（3）（2015·

大庆质检）如图,四棱锥P­

ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD＝DC＝BC＝1,AB＝2,AB∥DC,∠BCD＝90°

.

①求证：

PC⊥BC；

②求点A到平面PBC的距离.

1.如图,四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB.

CE⊥平面PAD；

（2）若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=45°

求四棱锥P-ABCD的体积.

2.[2014·

福建文]如图所示,三棱锥A­

BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.

CD⊥平面ABD；

（2）若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A­

MBC的体积.

3.（2015·

唐山统考）如图,在三棱锥P­

ABC中,PA＝PB＝AB＝BC,∠PBC＝90°

D为AC的中点,AB⊥PD.

平面PAB⊥平面ABC；

（2）如果三棱锥P­

BCD的体积为3,求PA.

4.[2014·

课标Ⅰ文]如图,三棱柱ABC­

A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.

（1）证明：

B1C⊥AB；

（2）若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°

BC＝1,求三棱柱ABC­

A1B1C1的高.

☆题型3：

直线、平面平行与垂直关系的综合

[例1]►

（1）已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中真命题是（写出序号）.

①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β；

②若l⊂α,l∥β,α∩β＝m,则l∥m；

③若α∥β,l∥α,则l∥β；

④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.

►

（2）（2014·

辽宁）已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是（　　）

A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n

C.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α

江西七校联考）已知直线a和平面α,β,α∩β＝l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是（　　）

A.相交或平行B.相交或异面

C.平行或异面D.相交、平行或异面

►（4）（2013·

课标Ⅱ）已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则（　　）

A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥β

C.α与β相交,且交线垂直于l

D.α与β相交,且交线平行于l

►（5）（2016·

课标Ⅱ）α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题：

①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.

②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.

③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.

④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有________.（填写所有正确命题的编号）

[例2]►

（1）（2014·

北京）如图,在三棱柱ABC­

A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别为A1C1,BC的中点.

平面ABE⊥平面B1BCC1；

（II）求证：

C1F∥平面ABE；

（III）求三棱锥E­

ABC的体积.

►

（2）[2014江苏文]如图,三棱锥P­

ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA＝6,BC＝8,DF＝5.

（I）直线PA∥平面DEF；

（II）平面BDE⊥平面ABC.

[例3]►

（1）[2014·

陕西文]四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.

（I）求四面体ABCD的体积；

（II）证明：

四边形EFGH是矩形.

北京）如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°

D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.

DE∥平面A1CB；

A1F⊥BE；

（III）线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？

说明理由.

1.（2016·

浙江联考）已知a,b,c为三条不同的直线,α,β是空间两个平面,且a⊂α,b⊂β,α∩β＝c.给出下列命题：

①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交；

②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直；

③若a∥b,则必有a∥c；

④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β.

其中正确命题的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

2.（2012·

四川）下列命题正确的是（　　）

A.若两直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线平行

B.若一平面内有三点到另一平面的距离相等,则这两平面平行

C.若一直线平行于两相交平面,则这条直线与这两平面的交线平行

D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

福建）若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2016·

山东济南一模）设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.（　　）

A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥α

C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α

5.（2016·

浙江温州联考）关于直线a,b,l及平面α,β,下列命题中正确的是（　　）

A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥a,则b⊥α

C.若a⊂α,b⊂α,且l⊥a,l⊥b,则l⊥α

D.若a⊥α,a∥β,则α⊥β

6.（2015·

山东二模）设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是（　　）

A.当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”的充要条件

B.当m⊂α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件

C.当m⊂α时,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件

D.当m⊂α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件

7.（2016·

浙江）已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则（　　）

A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n

8.（2013北京）如图,四棱锥P­

ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,

CD＝2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

9.[2014·

山东文]如图,四棱锥P­

ABCD中,AP⊥平面PCD,

AD∥BC,AB＝BC＝AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.

AP∥平面BEF；

BE⊥平面PAC.

10.（2013全国Ⅱ文）如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.

（Ⅰ）证明：

BC1∥平面A1CD；

（Ⅱ）设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.

11.（2013·

辽宁）如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.

BC⊥平面PAC；

（2）设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证：

QG∥平面PBC.

12.[2014·

课标Ⅱ文]如图,四棱锥P­

ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.

PB∥平面AEC；

（2）设AP＝1,AD＝,三棱锥P­

ABD的体积V＝,求A到平面PBC的距离.

13.（2015江苏）如图,在直三棱柱ABC­

A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC＝CC1.设AB1的中点为D,B1C∩BC1＝E.

（1）DE∥平面AA1C1C；

（2）BC1⊥AB1.

14.（2015广东文）如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC＝4,AB＝6,BC＝3.

BC∥平面PDA；

（2）证明：

BC⊥PD；

（3）求点C到平面PDA的距离.

15.（2015课标Ⅱ）如图,长方体ABCD­

A1B1C1D1中,AB＝16,

BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．

16.（2015陕西）如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,

AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1﹣BCDE．

CD⊥平面A1OC；

（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1﹣BCDE的体积为36,求a的值．

17.（2016·

课标Ⅱ文）如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE＝CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．

AC⊥HD′

（2）若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱锥D′­

ABCFE的体积．

18.（2016·

课标Ⅲ文）如图,四棱锥P­

ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,PA＝BC＝4,M为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点．

（1）证明MN∥平面PAB；

（2）求四面体N­

BCM的体积．

19.[2017全国I文]如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且∠BAP＝∠CDP＝90°

平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC,∠ADP＝90°

且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.

20.[2017全国II文]如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°

直线BC∥平面PAD;

（2）若△PCD面积为2,求四棱锥P-ABCD的体积.

21.[2017全国III文]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则（）

A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC

22.[2017全国III文]如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.

AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.

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