平面向量的基本概念及线性运算一对一辅导讲义Word格式文档下载.doc
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C、有相同起点的向量 D、模相等的向量
4、判断下列各命题的真假：
（1）向量的长度与向量的长度相等；
（2）向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；
（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
（5）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为（）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
5、若为任一非零向量，为模为1的向量，下列各式：
①||＞|| ②∥
③||＞0 ④||＝±
1，其中正确的是（）
A、①④ B、③ C、①②③ D、②③
6、下列命中，正确的是（）
A、||＝||＝ B、||＞||＞
C、＝∥ D、｜｜＝0＝0
7、下列物理量：
①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（）
A
B
E
C
D
8、如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，
（1）找出图中与共线的向量；
（2）找出图中与相等的向量；
（3）找出图中与｜｜相等的向量；
（4）找出图中与相等的向量.
知识梳理
1、向量的物理背景及概念
1）、向量的物理背景：
位移是既有大小，又有方向的量；
力是既有大小，又有方向；
2）、向量的概念：
既有大小又有方向的量叫做向量
3）、数量的概念：
只有大小，没有方向的量称为数量
2、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
A（起点）
B
（终点）
a
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
3.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：
；
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
4.有向线段：
具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：
起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
5、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：
零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
6、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.
（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；
（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
7、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
8、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
9.实数与向量相乘的意义
10.实数与向量相乘的运算律
①
②
③
11.平面向量定理：
如果向量与向量平行，那么存在唯一实数m，使。
单位向量：
长度为1的向量，叫单位向量。
（设为单位向量，则）
※单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同
12.向量的线性运算：
向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.如
，、等，都是向量的线性运算.
向量的线性组合：
如果是两个不平行的向量，、是实数，则叫做线性组合.如两个不平行的向量，向量，这时就说可由的线性组合表示.
13.向量的合成与分解：
平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分
解，用画图的方法可以作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量
第二课时平面向量的基本概念及线性运算典型例题
典型例题
一、对向量概念的理解
例1、给出下列命题：
①向量和向量的长度相等；
方向不相同的两个向量一定不平行；
向量就是有
向线段；
向量=0；
向量大于向量。
其中正确的个数是（B）
（A）0（B）1（C）2（D）3
变1、下列命题：
向量可以比较大小；
向量的模可以比较大小；
若，
则一定有||=||，且与方向相同；
对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，
是可以任意平行移动的。
其中正确的个数是（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
例2、判断下列命题是否正确：
⑴若//，则与的方向相同或相反；
（错误）
⑵四边形ABCD是平行四边形，则向量=，反之也成立；
（正确）
⑶||=||，，不一定平行，，||不一定等于||；
⑷共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
变2、把平面内所有的单位向量的起点移到同一个点，则各向量的终点组成的图形是把平行于直线L的所有的向量的起点平移到直线L上的点P，则各向量的终点组成的图形是___________。
例3、给出下列六个命题：
两个向量相等，则它们的起点相同，
终点相同；
若||=||，则=；
若=，则四边形ABCD是平行四边形；
平行四边形ABCD中，一定有=；
若，，则；
则。
其中不正确的是命题个数是（A）
（A）2（B）3（C）4（D）5
变3、下列说法中错误的是（）
（A）零向量是没有方向的；
（B）零向量的长度为0；
（C）零向量与任一向量平行；
（D）零向量的方向是任意的。
二、相等向量与平行向量的作法与求法
例4、设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与、、
相等的向量。
解：
与相等的向量：
与相等的向量:
F
O
变4、如下图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O
且平行于AB的线段，
（1）写出图中的各组共线向量；
（2）写出图中的各组同向向量；
（3）写出图中的各对反向向量；
（4）写出图中的相等向量；
三、实数与向量的意义以及运算律题目
1.
2.计算：
（4）
四、用一个向量表示另一个向量
3.
4.已知点D、E在的边AB与AC上，DE∥BC，5AD=3DB，试用向量表示向量
5.平行向量吗？
6.用单位向量表示下列向量：
五、向量的合成与分解
1.如图，点M是三角形ABC的边AB的中点，设，试用的线性组合表示向量.
2.如图，已知O为△ABC内一点，点D、E分别在边AB和AC上，且，
DE∥BC,设，试用、的线性组合表示向量。
3.如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，射线AM与BC相交于点E.设，，分别求向量、、关于的分解式.
第三课时平面向量的基本概念及线性运算课堂检测
课堂检测
1.下列命题中正确的是（）
A若=，则＝B若＞，则＞
C若=，则D若=1，则=1
2.下列说法正确的有（）
Ⅰ零向量比任何向量都小Ⅱ零向量的方向是任意的Ⅲ零向量与任一向量共线
Ⅳ零向量只能与零向量共线
A0个B1个C2个D3个
3.平行四边形ABCD中，=，则相等的向量是（）
A与B与C与D与
4.已知点O是正六边形ABCDEF的中心，则下列向量中含有相等向量的是（）
ABC
D
5.设O是正方形的中心，则向量是（）
A有相同起点的向量B有相同终点的向量C相等的向量D模相等的向量
6.若向量与向量不相等，则与一定（）
A不共线B长度不相等C不都是单位向量D不都是零向量
7.若=2，=，则=_____的方向与____。
若=-，则=_______，的方向与_________
8.下列命题中，正确的是（
）
A．||=||Þ
=
B．||=||且//Þ
=
C．=Þ
//
D．||=0Þ
=0
9.已知一个单位向量，设、是非零向量，则下列等式中正确的是：
（ ）
（A）（B）（C）（D）
10.若且，则四边形ABCD的形状为（）
A.平行四边形 B.菱形C.矩形 D.等腰梯形
11.若向量=4、=6，则的最小值是，的最大值是。
12.如图，点M是△CAB的边AB的中点，设，试用、的线性组合表示向量。
13.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设，分别求出向量关于的分解式。
14.如图，已知向量，，求作向量：
（＋）－2（－）
15.如图，已知向量、、，作出分别在、方向上的分向量
16.已知－＝－，＋＝3，那么与平行吗？
G
17.如图，D是△ABC的边AC上的一点，AD＝DC，E、F、G分别AD、BD、BC的中点。
设＝，＝，试用向量、的线性组合表示向量
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