高三精选立体几何大题(含详细解答)Word下载.doc
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3×
=(10分)
解(Ⅲ)连CF,
∵CB⊥平面A1B1BA,又BF⊥AE,
由三垂线定理知,CF⊥AE.
于是,∠BFC为二面角B—AE—C的平面角,
在Rt△ABE中,BF=,
在Rt△CBF中,tg∠BFC=,
∴∠BFC=arctg.
即二面角B—AE—C的大小为arctg.
3.如图,已知多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,三角形ACD是正三角形,且AD=DE=2,AB=1,F是CD的中点.
AF∥平面BCE;
(Ⅱ)求多面体ABCDE的体积;
(Ⅲ)求二面角C-BE-D的正切值.
证:
(Ⅰ)取CE中点M,连结FM,BM,则有.
∴四边形AFMB是平行四边形.
∴AF//BM,
∵平面BCE,
平面BCE,
∴AF//平面BCE.
(Ⅱ)由于DE⊥平面ACD,
则DE⊥AF.
又△ACD是等边三角形,则AF⊥CD.而CD∩DE=D,因此AF⊥平面CDE.
又BM//AF,则BM⊥平面CDE.
.
(Ⅲ)设G为AD中点,连结CG,则CG⊥AD.
由DE⊥平面ACD,平面ACD,
则DE⊥CG,又AD∩DE=D,
∴CG⊥平面ADEB.
作GH⊥BE于H,连结CH,则CH⊥BE.
∴∠CHG为二面角C-BE-D的平面角.
由已知AB=1,DE=AD=2,则,
∴.
不难算出.
∴,∴.
4.已知:
ABCD是矩形,设PA=a,PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.
MN⊥AB;
(Ⅱ)若PD=AB,且平面MND⊥平面PCD,求二面角P—CD—A的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求三棱锥D—AMN的体积.
(Ⅰ)连结AC,AN.由BC⊥AB,AB是PB在
底面ABCD上的射影.则有BC⊥PB.
又BN是Rt△PBC斜边PC的中线,
即.
由PA⊥底面ABCD,有PA⊥AC,
则AN是Rt△PAC斜边PC的中线,
即
又∵M是AB的中点,
(也可由三垂线定理证明)
(Ⅱ)由PA⊥平面ABCD,AD⊥DC,有PD⊥DC.
则∠PDA为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角
由PA=a,设AD=BC=b,CD=AB=c,又由AB=PD=DC,N是PC中点,
则有DN⊥PC
又∵平面MND⊥平面PCD于ND,∴PC⊥平面MND∴PC⊥MN,
而N是PC中点,则必有PM=MC.
此时.
即二面角P—CD—A的大小为
(Ⅲ),∥
=
连结BD交AC于O,连结NO,则NOPA.且NO⊥平面AMD,由PA=a
5.如图,四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,点M、N分别在棱PD、PC上,且PC⊥平面AMN.
AM⊥PD;
(Ⅱ)求二面角P—AM—N的大小;
(Ⅲ)求直线CD与平面AMN所成角的大小.
(I)证明:
∵ABCD是正方形,∴CD⊥AD,
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD.
∴CD⊥平面PAD
∵AM平面PAD,∴CD⊥AM.
∵PC⊥平面AMN,∴PC⊥AM.
∴AM⊥平面PCD.
∴AM⊥PD
(II)解:
∵AM⊥平面PCD(已证).
∴AM⊥PM,AM⊥NM.
∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角
∵PN⊥平面AMN,∴PN⊥NM.
在直角△PCD中,CD=2,PD=2,∴PC=2.
∵PA=AD,AM⊥PD,∴M为PD的中点,
PM=PD=
由Rt△PMN∽Rt△PCD,得∴.
即二面角P—AM—N的大小为.
(III)解:
延长NM,CD交于点E.
∵PC⊥平面AMN,∴NE为CE在平面AMN内的射影
∴∠CEN为CD(即(CE)与平在AMN所成的角
∵CD⊥PD,EN⊥PN,∴∠CEN=∠MPN.
在Rt△PMN中,
∴CD与平面AMN所成的角的大小为
6.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°
.BC=CC1=a,AC=2a.
(I)求证:
AB1⊥BC1;
(II)求二面角B—AB1—C的大小;
(III)求点A1到平面AB1C的距离.
(1)证明:
∵ABC—A1B1C1是直三棱柱,
∴CC1⊥平面ABC,∴AC⊥CC1.
∵AC⊥BC,∴AC⊥平面B1BCC1.
∴B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影.
∵BC=CC1,∴四边形B1BCC1是正方形,
∴BC1⊥B1C.根据三垂线定理得,
AB1⊥BC1
(2)解:
设BC1∩B1C=O,作OP⊥AB1于点P,
连结BP.∵BO⊥AC,且BO⊥B1C,
∴BO⊥平面AB1C.
∴OP是BP在平面AB1C上的射影.
根据三垂线定理得,AB1⊥BP.
∴∠OPB是二面角B—AB1—C的平面角
∵△OPB1~△ACB1,∴∴
在Rt△POB中,,
∴二面角B—AB1—C的大小为
(3)解:
[解法1]∵A1C1//AC,A1C1平
面AB1C,∴A1C1//平面AB1C.∴点A1到
平面AB1C的距离与点C1到平面AB1C.的
距离相等.∵BC1⊥平面AB1C,
∴线段C1O的长度为点A1到平面AB1C的
距离.
∴点A1到平面AB1C的距离为
[解法2]连结A1C,有,设点A1到平面AB1C的距离为h.
∵B1C1⊥平面ACC1A1,∴,
又,
∴∴点A1到平面AB1C的距离为
7.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E为DC的中点,沿AE将△AED折起,使二面角D-AE-B为60
.
(Ⅰ)求DE与平面AC所成角的大小;
(Ⅱ)求二面角D-EC-B的大小.
E
第10题图
答案:
如图1,过点D作DM⊥AE于M,延长DM与BC交于N,在翻折过程中DM⊥AE,MN⊥AE保持不变,翻折后,如图2,∠DMN为二面角D-AE-B的平面角,∠DMN=60
,AE⊥平面DMN,又因为AE平面AC,则AC⊥平面DMN.
(Ⅰ)在平面DMN内,作DO⊥MN于O,
∵平面AC⊥平面DMN,
∴DO⊥平面AC.
连结OE,DO⊥OE,∠DEO为DE与平面AC所成的角.
如图1,在直角三角形ADE中,AD=3,DE=2,
如图2,在直角三角形DOM中,在直角三角形DOE中,,则
∴DE与平面AC所成的角为
(Ⅱ)如图2,在平面AC内,作OF⊥EC于F,连结DF,
∵DO⊥平面AC,∴DF⊥EC,∴∠DFO为二面角D-EC-B的平面角.
如图1,作OF⊥DC于F,则Rt△EMD∽Rt△OFD,
∴
如图2,在Rt△DOM中,OM=DMcos∠DMO=DM·
cos60
=.
如图1,
在Rt△DFO中,
∴二面角D-EC-B的大小为.
8.直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CB=AA1=2,∠ACB=90°
,E是BB1的中点,
D∈AB,∠A1DE=90°
.
CD⊥平面ABB1A1;
(Ⅱ)求二面角D-A1C-A的大小.
(Ⅱ)解:
9.如图,已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BCA=90°
,AC=BC=a,点A1在底面ABC上的射影
B1
C1
A1
恰为AC的中点D,BA1⊥AC1。
BC⊥平面A1ACC1;
(II)求点A1到AB的距离
(III)求二面角B—AA1—C的正切值
如图,已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BCA=90°
(II)求点A1到AB的距离
(1)由题意,A1D⊥平面ABC,∴A1D⊥BC。
又AC⊥BC,∴BC⊥平面A1ACC1
(II)过D作DH⊥AB于H,又A1D⊥平面ABC,∴AB⊥A1H
∴A1H是H1到AB的距离
∵BA1⊥AC1,BC⊥平面A1ACC1,由三垂线定理逆定理,得A1C⊥AC1
∴A1ACC1是菱形∴A1A=AC=a,A1D=.
10.
如图,正三棱柱AC1中,AB=2,D是AB的中点,E是A1C1的中点,F是B1B中点,异面直线CF与DE所成的角为90°
(1)求此三棱柱的高;
(2)求二面角C—AF—B的大小.
(1)取BC、C1C的中点分别为H、N,连结HC1,
连结FN,交HC1于点K,则点K为HC1的中点,因
FN//HC,则△HMC∽△FMK,因H为BC中点
BC=AB=2,则KN=,∴
则HM=,在Rt△HCC1,HC2=HM·
HC1,
解得HC1=,C1C=2.
另解:
取AC中点O,以OB为x轴,OC为y轴,按右手系建立空间坐标系,设棱柱高为h,则C(0,1,0),F(),D(),E(0,0,h),∴,由CF⊥DE,得,解得h=2.
(2)连CD,易得CD⊥面AA1B1B,作DG⊥AF,连CG,
由三垂线定理得CG⊥AF,所以∠CGD是二面角C—AF—B
的平面角,又在Rt△AFB中,AD=1,BF=1,AF=,
从而DG=∴tan∠CGD=,
故二面角C—AF—B大小为arctan.
11.已知ABCD是矩形,PD⊥平面ABCD,PD=DC=a,,M、N分别是AD、PB的中点。
平面MNC⊥平面PBC;
(Ⅱ)求点A到平面MNC的距离。
(I)连PM、MB∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥MD…1分
∴PM=BM又PN=NB∴MN⊥PB………3分
得NC⊥PB∴PB⊥平面MNC……5分平面PBC
∴平面MNC⊥平面PBC……6分
(II)取BC中点E,连AE,则AE//MC∴AE//平面MNC,
A点与E点到平面MNC的距离相等…7分
取NC中点F,连EF,则EF平行且等于BN
∵BN⊥平面MNC∴EF⊥平面MNC,EF长为E
点到平面MNC的距离……9分∵PD⊥平面ABCD,
BC⊥DC∴BC⊥PC.
即点A到平面MNC的距离为……12分
12.如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3,侧棱AA1=D是CB延长线上一点,且BD=BC.
(Ⅰ)求证:
直线BC1//平面AB1D;
(Ⅱ)求二面角B1—AD—B的大小;
(Ⅲ)求三棱锥C1—ABB1的体积.
(Ⅰ)证明:
CD//C1B1,又BD=BC=B1C1,
∴四边形BDB1C1是平行四边形,∴BC1//DB1.
又DB1平面AB1D,BC1平面AB1D,
∴直线BC1//平面AB1D.
过B作BE⊥AD于E,连结EB1,
∵B1B⊥平面ABD,∴B1E⊥AD,
∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角,
∵BD=BC=AB,
∴E是AD的中点,
在Rt△B1BE中,
∴∠B1EB=60°
。
即二面角B1—AD—B的大小为60°
(Ⅲ)解法一:
过A作AF⊥BC于F,∵B1B⊥平面ABC,∴平面ABC⊥平面BB1C1C,
∴AF⊥平面BB1C1C,且AF=
即三棱锥C1—ABB1的体积为
解法二:
在三棱柱ABC—A1B1C1中,
即三棱锥C1—ABB1的体积为
13.如图,在底面是直角梯形的四棱锥中,AD∥BC,∠ABC=90°
,且,又PA⊥平面ABCD,AD=3AB=3PA=3a。
(I)求二面角P—CD—A的正切值;
(II)求点A到平面PBC的距离。
(1)在底面ABCD内,过A作AE⊥CD,垂足为E,连结PE
∵PA⊥平面ABCD,由三垂线定理知:
PE⊥CD
∵∠PEA是二面角P—CD—A的平面角………………2分
在中,
………………4分
∴二面角P—CD—A的正切值为………………6分
(II)在平面APB中,过A作AH⊥PB,垂足为H
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC
又AB⊥BC,∴BC⊥平面PAB
∴平面PBC⊥平面PAB
∴AH⊥平面PBC
故AH的长即为点A到平面PBC的距离………………10分
在等腰直角三角形PAB中,,所以点A到平面PBC的距离为
…………12分
14.如图,PA⊥平面AC,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB、PD的中点.
(Ⅰ)求证:
AF∥平面PCE;
(Ⅱ)若二面角P—CD—B为45°
,AD=2,
CD=3,求点F到平面PCE的距离.
(Ⅰ)取PC中点M,连结ME、MF.
,即四边形AFME是平行四边形,……2/;
‘。
分
∴AF//EM,∵AF平在PCE,∴AF∥平面PCE.……4分
(Ⅱ)∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,根据三垂线定理知,CD⊥PD∴∠PDA是二面角
P—CD—B的平面角,则∠PDA=45°
……6分于是,△PAD是等腰直角三角形,
AF⊥PD,又AF⊥CD∴AF⊥面PCD.而EM//AF,∴EM⊥面PCD.又EM平面PEC,
∴面PEC⊥面PCD.……8分
在面PCD内过F作FH⊥PC于H,则FH为点F到平面PCE的距离.……10分
由已知,PD=2,PF=
∵△PFH∽△PCD∴……12分
15.如图,正方体,棱长为a,E、F分别为AB、BC上的点,且AE=BF=x.
(1)当x为何值时,三棱锥的体积最大?
(2)求三棱椎的体积最大时,二面角的正切值;
(3)求异面直线与所成的角的取值范围.
(1),当时,三棱锥的体积最大.
(2)取EF中点O,由,所以就是二面角的平面角.在Rt△中
. (3)在AD上取点H使AH=BF=AE,则,
,,所以(或补角)是异面直线与所成的角在Rt△中,,在Rt△中,,在Rt△HAE中,,在△中,因为,所以,,,
16.
已知,如图四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PG⊥平面ABCD,垂足为G,G在AD上,且AG=GD,BG⊥GC,GB=GC=2,E是BC的中点,四面体P—BCG的体积为.
(Ⅰ)求异面直线GE与PC所成的角;
(Ⅱ)求点D到平面PBG的距离;
(Ⅲ)若F点是棱PC上一点,且DF⊥GC,求的值.
解法一:
(I)由已知
∴PG=4…………2′
如图所示,以G点为原点建立空间直角坐标系o—xyz,
则
B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,4)
故E(1,1,0)
∴异面直线GE与PC所成的角为arccos……………………4′
(II)平面PBG的单位法向量
∴点D到平面PBG的距离为……………………8′
(III)设F(0,y,z)
在平面PGC内过F点作FM⊥GC,M为垂足,则
……………………………………………………………………12′
解法二:
(I)由已知
在平面ABCD内,过C点作CH//EG
交AD于H,连结PH,则
∠PCH(或其补角)就是异面直线GE
与PC所成的角.………………3′
在△PCH中,
由余弦定理得,cos∠PCH=
(II)∵PG⊥平面ABCD,PG平面PBG
∴平面PBG⊥平面ABCD
在平面ABCD内,过D作DK⊥BG,交BG延长线于K,则DK⊥平面PBG
∴DK的长就是点D到平面PBG的距离…………………………6′
在△DKG,DK=DGsin45°
=
∴点D到平面PBG的距离为……………………………………8′
(III)在平面ABCD内,过D作DM⊥GC,M为垂足,连结MF,又因为DF⊥GC
∴GC⊥平面MFD,∴GC⊥FM
由平面PGC⊥平面ABCD,∴FM⊥平面ABCD∴FM//PG
由GM⊥MD得:
GM=GD·
cos45°
=…………………………10′
…………12′
17.
如图,四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,点M、N分别在棱PD、PC上,且PC⊥平面AMN.
∴CD⊥平面PAD……………………………………3分
∴AM⊥PD.…………………………………………5分
∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角.…………………………7分
∵PA=AD,AM⊥PD,∴M为PD的中点,PM=PD=
…………10分
∴∠CEN为CD(即(CE)与平在AMN所成的角.…………12分
∴CD与平面AMN所成的角的大小为…………15分
18.如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,,D为棱CC1
上的一动点,M、N分别为的重心.
(1)求证:
;
(2)若二面角C—AB—D的大小为,求点C1到平面A1B1D的距离;
(3)若点C在上的射影正好为M,试判断点C1在的射影是否
为N?
并说明理由.
(1)连结并延长,分别交于,连结,
分别为的重心,则分别为的中点
在直三棱柱中,
(2)连结
即为二面角的平面角
在中,
P
Q
连结
同上可知,
设
N
M
(3)
∽
(另解)[9(B)]空间向量解法:
以C1为原点,如图建立空间直角坐标系。
(1)设,依题意有:
因为M、N分别为的重心.
所以
∵∴
(2)因为平面ABC的法向量,设平面ABD的法向量
令,设二面角C—AB—D为,则由
因此
设平面A1B1D的法向量为,则
设C1到平面A1B1D的距离为,则
(3)若点C在平面ABD上的射影正好为M,则
·
即(舍)
因为D为CC1的中点,根据对称性可知C1在平面A1B1D的射影正好为N。
19.在RtABC中,ACB=30,B=90,D为AC中点,E为BD的中点,AE的延长线交BC于F,
将ABD沿BD折起,二面角A-BD-C大小记为。
F
O
(1)求证:
面AEF面BCD;
(2)为何值时,ABCD。
在RtABC中,C=30,D为AC的中点,则ABD是等边三角形又因E是BD的中
点,BDAE,BDEF,折起后,AEEF=E,BD面AEFBD面BCD,面AEF 面BCD。
(2)过A作AP面BCD于P,则P在FE的延长线上,设BP与CD相交于Q,令AB=1,则ABD
是边长为1的等边三角形,若ABCD,则BQCDPE=AE=又AE=
折后有cosAEP==
由于AEF=就是二面角A-BD-C的平面角,
当=-arccos时,ABCD
20.已知三棱锥P—ABC中PB⊥底面ABC,,
PB=BC=CA=a,E是PC的中点,点F在PA上,且3PF=FA.
(1)求证:
平面PAC⊥PBC;
(2)求平面BEF与底面ABC所成角(用一个反三角函数值表示)