新课预习讲义选修2-1第二章双曲线(2)双曲线的几何性质(1)(教师版)docWord文档格式.doc

新课预习讲义选修2-1第二章双曲线(2)双曲线的几何性质(1)(教师版)docWord文档格式.doc

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3．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则的值为________．

　由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<

0，则双曲线方程可化为y2－＝1，

则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－.

4．求满足下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点是（－4,0），（4,0），过点（2,0）；

（2）离心率为，半虚轴长为2.

答案：

（1）－＝1　　　　

（2）－＝1和－＝1.

●问题与困惑：

二、互动探究

●问题探究：

探究1：

由椭圆的几何性质出发，类比探究双曲线的几何性质?

范围：

：

：

对称性：

双曲线关于轴、轴及都对称．

顶点：

（），（）．

实轴，其长为；

虚轴，其长为．

离心率：

．

探究2：

双曲线的几何性质?

图形：

：

（），（）

探究3：

双曲线的渐近线：

（1）双曲线的渐近线是怎样得到的？

（2）由此，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是_____________________

焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是_____________________

　（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线．它的渐近线方程是_____________

●基础知识归纳：

双曲线的几何性质

标准方程

图形

性　　质

范围

或

对称性

关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称

顶点

（±

a,0）

（0，±

a）

轴长

实轴长＝2a，虚轴长＝2b

焦点

c,0）

c）

焦距

2c

离心率

渐近线

●典例导析：

题型一、由双曲线的标准方程求几何性质

例1－1、（2012年高考浙江卷理科8）如图，F1，F2分别是双曲线C：

（a，b＞0）的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是

A．B．　　　　　C．D．

[思路点拨]

1、作出图示，可写出的直线方程；

2、再由的直线方程与两渐近线方程联解得出P、Q的坐标；

3、再求出PQ的中点N的坐标，并写出中垂线方程

4、令得M的坐标，并由|MF2|＝|F1F2|建立、之间的关系式

5、求出离心率

【解析】如图：

|OB|＝b，|OF1|＝c．∴kPQ＝，kMN＝．

直线PQ为：

y＝（x＋c），两条渐近线为：

y＝x．由，得：

Q（，）；

由，得：

P（，）．PQ的中点N（，）

∴直线MN为：

令y＝0得：

xM＝．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝，解之得：

，即e＝．

【答案】B

[题后感悟]　1.已知双曲线的标准方程确定其性质时，一定要弄清方程中的a，b所对应的值，再利用c2＝a2＋b2得到c，从而确定e.若方程不是标准形式的先化成标准方程，再确定a、b、c的值．

2.若涉及直线交点问题时常需要解方程组.

变式训练：

1－1（2011年高考全国卷理科15）已知F1、F2分别为双曲线C:

-=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2|=.

【答案】6

【解析】：

，由角平分线的性质得

又

例1－2、求双曲线16x2－9y2＝－144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．

由题目可获取以下主要信息：

①双曲线方程不是标准方程；

②双曲线方程焦点在y轴上．

解答本题可先把方程化成标准方程，确定a，b，c，再求其几何性质．

[解题过程]　把方程16x2－9y2＝－144化为标准方程

－＝1，

由此可知，实轴长2a＝8，

虚轴长2b＝6，c＝＝5.

焦点坐标为（0，－5），（0,5）；

离心率e＝＝；

顶点坐标为（0，－4），（0,4）；

渐近线方程为y＝±

x.

2.已知双曲线的标准方程，求其渐近线方程，只需将等式右边的常数1改成0即可（不管焦点在什么位置）

1－2.求双曲线nx2－my2＝mn（m>

0，n>

0）的半实轴长，半虚轴长，焦点坐标，离心率，顶点坐标和渐近线方程．

　把方程nx2－my2＝mn（m>

0）

化为标准方程－＝1（m>

0），

由此可知，半实轴长a＝，半虚轴长b＝，c＝，

焦点坐标（，0）（－，0），

离心率e＝＝＝.

顶点坐标为（－，0），（，0）．

∴渐近线的方程为y＝±

x＝±

题型二、由双曲线的几何性质求其标准方程

例2、已知双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（3，－1），一条渐近线与直线3x－y＝10平行，求双曲线标准方程．

[思路点拨]1.由渐近线与3x－y＝10平行，可确定渐近线方程，得与的比例关系

　　　　　2.由双曲线过已知点可得另一定量关系

　　　　　3.因为无定位条件，可分两类设出双曲线的标准方程.

[解题过程]　由已知，双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，由于其中一条渐近线与直线l：

3x－y＝10平行，所以，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0，即y＝3x.

方法一：

（1）若双曲线的焦点在x轴上，则由渐近线方程y＝3x，＝3，∴b＝3a.

故可设双曲线方程－＝1，

又双曲线过点P（3，－1），

∴－＝1，解得a2＝，∴b2＝80.

∴所求双曲线方程为－＝1.

（2）若双曲线焦点在y轴上，由渐近线方程y＝3x得＝3，

∴a＝3b.

可设双曲线标准方程－＝1.

∵点P（3，－1）在双曲线上，∴－＝1，解得9b2＝－80，不合题意．

综上所述，所求双曲线的标准方程是－＝1.

方法二：

据双曲线的渐近线方程3x－y＝0，可设双曲线方程为9x2－y2＝λ（λ≠0）．由于双曲线过点P（3，－1），

所以9×

32－（－1）2＝λ，即λ＝80.

∴所求双曲线的标准方程为－＝1.

[题后感悟]　如何求过定点并已知渐近线的双曲线方程？

（1）求双曲线的标准方程的步骤

①确定或分类讨论双曲线的焦点所在坐标轴；

②设双曲线的标准方程；

③根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；

④求出a，b，写出方程．

（2）方法二揭示了双曲线标准方程与渐近线方程之间的关系，若双曲线的标准方程为－＝1（a>

0，b>

0），则该双曲线的渐近线方程为－＝0，即y＝±

x，反之亦然．

（3）已知双曲线的渐近线方程（、为已知值）求双曲线方程，可设所求双曲线为

，再由另一个定量条件求出即可。

2.根据下列条件，求双曲线的标准方程．

（1）双曲线的渐近线方程为2x±

3y＝0且经过点P（，2）；

（2）顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，离心率是.

（1）方法一：

设双曲线方程为－＝1（mn>

0）．

∵双曲线过点P（，2），且点P在直线y＝x的上方，

∴m<

0，n<

0，即焦点在y轴上，又渐近线斜率k＝±

，

∴解得

故所求双曲线方程为－＝1.

由于双曲线的渐近线方程是y＝±

x，

所以可设双曲线方程为－＝λ（λ≠0）．

∵双曲线过点P（，2）．

∴－＝λ，λ＝－.

（2）由已知设双曲线的标准方程为－＝1（a>

则2a＝8，∴a＝4.

由e＝＝得c＝5.

∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.

●直通高考题：

1.►（2012年高考湖南卷理科5）已知双曲线C：

-=1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为

A．-=1B.-=1C.-=1D.-=1[w~#ww.zz&

st︿@]

【答案】A21世纪教育网

【解析】设双曲线C：

-=1的半焦距为，则.

又C的渐近线为，点P（2,1）在C的渐近线上，，即.

又，，C的方程为-=1.

2.►（2011年高考山东卷理科8）已知双曲线的两条渐近线均和圆C:

相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为

（A）（B）（C）（D）

3．►（2010年高考福建卷理科7）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（）

A.B.C.D.

【解析】因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点P，则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。

4．►（2010年全国高考宁夏卷12）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为

（A） （B） （C） （D）

【答案】B

由已知条件易得直线的斜率为，设双曲线方程为，，则有，两式相减并结合得，，从而，即，又，解得，故选B．

题型三、双曲线的离心率问题

例3、已知F1，F2是双曲线－＝1（a>

0）的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°

，求双曲线的离心率．

[规范作答]　设F1（c,0），将x＝c代入双曲线的方程得

－＝1，那么y＝±

由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°

，知|PF1|＝|F1F2|，

∴＝2c，∴b2＝2ac

∴c2－2ac－a2＝0，∴2－2×

－1＝0

即e2－2e－1＝0，∴e＝1＋或e＝1－（舍去）

所以所求双曲线的离心率为1＋.

[题后感悟]　

（1）求双曲线的离心率的常见方法：

一是依据条件求出a，c，再计算e＝；

二是依据条件提供的信息建立关于参数a，b，c的等式，进而转化为关于离心率e的方程，再解出e的值．

（2）求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于a，b，c的不等关系．

3.设双曲线－＝1（0<

a<

b）的半焦距为c，直线l过A（a,0）、B（0，b）两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．

　OA＝a，OB＝b，AB＝c，

在△OAB中，有ab＝·

c·

c＝c2，

又a2＋b2＝c2，∴a2（c2－a2）＝c4，即e2－1＝e4，

∴3e4－16e2＋16＝0，解得e＝2或e＝，

∵0<

b，∴a2<

c2－a2，

∴e>

，∴e＝应舍去，∴e＝2.

1.►（2012年高考江苏卷8）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则m的值为．

2.►双曲线的焦距为，直线过点和，且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到的距离之和，双曲线的离心率的取值范围是__________________.

直线的方程为，设（1，0）到的距离为，（－1，0）到的距离为，则，.

∵，∴，∴，

由题意

两边平方：

，两边通除以得，

，∵，∴.　　　　　　　【答案】

3.►（2012年高考湖北卷理科14）如图，双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则

（Ⅰ）双曲线的离心率e=______；

（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值_________.

4.►（2010年高考辽宁卷理科9）设双曲线的—个焦点为F；

虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

（A）（B）（C）（D）

【解析】设双曲线方程为，则

直线FB：

与渐近线垂直，∴

.∴或（舍去）

【答案】D

[疑难解读]

1．双曲线标准方程的常见设法

（1）与双曲线－＝1（a>

0）有共同渐近线的双曲线系的方程可表示为－＝λ（λ≠0）．

（2）若双曲线的渐近线方程是y＝±

x，则双曲线系的方程可表示为－＝λ（λ≠0）．

（3）等轴双曲线系的方程可表示为x2－y2＝λ（λ≠0）．

2．双曲线的渐近线

（1）求法：

令常数项为零，因式分解即得．

（2）用法：

①由渐近线方程得到或的值；

②利用渐近线方程设出双曲线的方程．

（3）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b（虚半轴的长）．

（4）等轴双曲线的渐近线方程为y＝±

[误区警示]

◎已知双曲线方程为x2－y2＝1，双曲线的左支上一点P（a，b）到直线y＝x的距离是，求a＋b的值．

【错解】　∵P（a，b）到y＝x的距离是，故＝，

∴a－b＝±

2.　　　　又∵a2－b2＝1，

∴（a＋b）（a－b）＝1，∴a＋b＝±

.

【错因】　忽略了条件P（a，b）在双曲线的左支上，若P在双曲线的左支上，则a－b<

0，故应有a－b＝－2.

【正解】　∵点P（a，b）到y＝x的距离为，故＝，

2.　　又∵P在双曲线的左支上，

故a－b<

0，有a－b＝－2.　　　　又∵a2－b2＝1，

即（a－b）（a＋b）＝1，∴a＋b＝－.

三、巩固拓展

●必做：

教材第61页，习题2.3A组第3、4题，B组第1题

●补充作业：

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．双曲线－＝1的（　　）

A．实轴长为2，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±

x，离心率e＝

B．实轴长为2，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±

C．实轴长为2，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±

2x，离心率e＝

D．实轴长为2，虚轴长为8，渐近线方程为y＝±

　A

2．已知双曲线－＝1（b>

0）的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P（，y0）在该双曲线上，则·

＝（　　）

A．－12　　　　　　　　　　　 B．－2

C．0 D．4

　因为渐近线方程为y＝x，∴b＝，

∴双曲线方程为x2－y2＝2，

所以点P的坐标为（，±

1），

又易知F1（－2,0），F2（2,0），不妨取P（，1）．

∴·

＝（－2－，－1）·

（2－，－1）＝0.

　C

3．双曲线的渐近线为y＝±

x，则双曲线的离心率是（　　）

A. B．2

C.或 D.或

　若双曲线焦点在x轴上，

∴＝，

∴e＝＝＝＝.

若双曲线的焦点在y轴上，

∴＝，＝.

4．已知双曲线－＝1的实轴的一个端点为A1，虚轴的一个端点为B1，且|A1B1|＝5，则双曲线的方程是（　　）

A.－＝1 B.－＝－1

C.－＝1 D.－＝－1

　由题意知a＝4.又∵|A1B1|＝5，

∴c＝5，∴b＝＝＝3.

∴双曲线方程为－＝1.

二、填空题（每小题5分，共10分）

5．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为________．

　椭圆4x2＋y2＝64，即＋＝1，

焦点为（0，±

4），离心率为，

所以双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，

所以a＝6，b＝＝2，

所以双曲线方程为－＝1.

　－＝1

6．若双曲线－＝1（b>

0）的渐近线方程为y＝±

x，则b等于________．

　双曲线的渐近线方程为y＝±

x

∴b＝1.

　1

三、解答题（每小题10分，共20分）

7．求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）虚轴长为12，离心率为；

（2）顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±

x；

（3）过点M（2，－2）与－y2＝1有公共渐近线．

（1）设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1（a>

由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，

∴b＝6，c＝10，a＝8，

∴标准方程为－＝1或－＝1.

（2）当焦点在x轴上时，由＝且a＝3，∴b＝.

当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，∴b＝2.

所求双曲线方程为－＝1.

综上，双曲线方程为－＝1或－＝1.

（3）设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线的方程为－y2＝λ，

将点（2，－2）代入得λ＝－（－2）2＝－2，

∴双曲线的标准方程为－＝1.

8．双曲线－＝1（a>

1，b>

0）的焦距为2c，直线l过点（a,0）和（0，b），且点（1,0）到直线l的距离与点（－1,0）到直线l的距离之和s≥c，求双曲线离心率e的取值范围．

　由题意知直线l的方程为＋＝1，

即bx＋ay－ab＝0.则＋≥c，

整理得5ab≥2c2.

又∵c2＝a2＋b2，∴5ab≥2a2＋2b2.

∴≤≤2.

e＝＝

∴≤e≤.

尖子生题库☆☆☆

9．（10分）过双曲线－＝1（a>

0）的右焦点F（2，0）作双曲线的一条渐近线的垂线，与该渐近线交于点P，且O·

F＝－6，求双曲线的方程．

　方法一：

设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，

则过F且与其垂直的直线方程为y＝－（x－2）．

由可得点P的坐标为.

·

＝（2，0）·

＝－6.

解得a2＝2，∴b2＝c2－a2＝

（2）2－2＝6，

∵点P在双曲线的渐近线上，故设其坐标为

∴F＝，O＝（2，0）．

由O·

F＝－6得2（x－2）＝－6，即x＝.

又由O·

F＝0，得x（x－2）＋2＝0，

代入x＝，得2＝3.

而a2＋b2＝

（2）2＝8，

∴a2＝2，b2＝6.

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