微积分基本定理练习基础版Word文档下载推荐.doc
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（i）y=sin3x在[0，]上的面积为 ；
（ii）y=sin（3x﹣π）+1在[，]上的面积为 ．
10．若y=f（x）的图象如图所示，定义F（x）=，x∈[0，1]，则下列对F（x）的性质描述正确的有 ．
（1）F（x）是[0，1]上的增函数；
（2）F′（x）=f（x）；
（3）F（x）是[0，1]上的减函数；
（4）∃x0∈[0，1]使得F
（1）=f（x0）．
11．A、B两地相距1千米，B、C两地相距3千米，甲从A地出发，经过B前往C地，乙同时从B地出发，前往C地，甲、乙的速度关于时间的关系式分别为v1（t）=和v2（t）=t（单位：
千米/小时）．甲、乙从起点到终点的过程中，给出下列描述：
①出发后1小时，甲还没追上乙；
②出发后1小时，甲乙相距最远；
③甲追上乙后，又被乙追上，乙先到达C地；
④甲追上乙后，先到达C地．
其中正确的是 ．（请填上所有描述正确的序号）
12．给定可导函数y=f（x），如果存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=成立，则称x0为函数f（x）在区间[a，b]上的“平均值点”．
（1）函数f（x）=x3﹣3x在区间[﹣2，2]上的平均值点为 ；
（2）如果函数g（x）=+mx在区间[﹣1，1]上有两个“平均值点”，则实数m的取值范围是 ．
13．已知an=（2x+1）dx，数列{}的前n项和为Sn，bn=n﹣33，n∈N*，则bnSn的最小值为 ．
14．已知x∈（0，1]，，则f（x）的值域是 ．
15．由曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=t2，t∈（0，1）所围成的图形的面积的最小值是 ．
16．当θ取遍所有值时，直线所围成的图形面积为 ．
17．已知在区间（a，b）上，f（x）＞0，f′（x）＞0，对x轴上任意两点（x1，0），（x2，0），（a＜x1＜x2＜b）都有f（）＞．若S1=f（x）dx，S2=（b﹣a），S3=f（a）（b﹣a），则S1，S2，S3的大小关系为 ．
18．设曲线y=2cos2x与x轴、y轴、直线围成的面积为b，若g（x）=2lnx﹣2bx2﹣kx在[1，+∞）上单调递减，则实数k的取值范围是 ．
19．已知函数f（x）=x3++2+在[1，+∞）上单调递增，当实数m取得最小值时，若存在点Q，使得过点Q的直线与曲线y=f（x）围成两个封闭图形时，这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为 ．
20．在区间[0，1]上给定曲线y=x2，如图所示，0＜t＜1，S1，S2是t的函数，则函数g（t）=S1+S2的单调递增区间为 ．
三．解答题（共1小题）
21．已知函数f（x）=x3﹣x2+ax+b．
（1）若a=1，b=0，求积分dx；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，且函数f（x）只有一个零点，求b的取值范围．
（3）若函数f（x）在区间（﹣2，2）上不是单调函数，求a的取值范围．
微积分基本定理不难
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2012•海珠区模拟）用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设，那么由函数y=f（x）的图象、x轴、直线和直线x=2所围成的封闭图形的面积是（ ）
【考点】定积分．菁优网版权所有
【专题】计算题；
压轴题．
【分析】先给出，再由题意用定积分分成两类求封闭图形的面积即可，由于两段函数的解析式不一样，故分成两段积分．
【解答】解：
由题设知：
，
∴，
故选A
【点评】本题考查定积分的运用，运用定积分求面积，求解本题的关键是确定出积分区间以及被积函数．
2．（2010•赫山区校级一模）=（ ）
【分析】直接求出函数2xlnx+x的原函数，根据积分的定义计算即可．
=（x2lnx）|12=4ln2﹣ln1=4ln2；
故答案为A．
【点评】本题考查定积分的计算，关键是找出被积函数的原函数，属于基础题．
3．（2016•衡阳校级一模）下列4个不等式：
【考点】微积分基本定理．菁优网版权所有
【专题】导数的综合应用．
【分析】利用函数的单调性、定积分的性质即可判断得出．
（1）由于x∈（0，1），∴，∴dx＜；
（2）∵，∴sinx＜cosx，∴sinxdx＜cosxdx；
（3）∵，∴e﹣xdx＜edx；
（4）令f（x）=x﹣sinx，x∈[0，2]，则f′（x）=1﹣cosx≥0，∴sinxdx＜xdx．
综上可得：
正确的命题有4个．
故选：
D．
【点评】本题考查了函数的单调性、定积分的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（2013春•株洲校级月考）欧阳修《卖油翁》中写到：
【考点】微积分基本定理；
几何概型．菁优网版权所有
【专题】导数的综合应用；
概率与统计．
【分析】利用微积分基本定理即可得出圆的直径、正方形的边长，再利用几何概型的计算公式即可得出．
∵直径为==4，中间有边长为==1．
∴P===．
故选A．
【点评】熟练掌握微积分基本定理、几何概型的计算公式等是解题的关键．
5．（2012秋•安徽月考）若函数f（x）=x2+2x+m的最小值为0，则=（ ）
二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】经配方，由题意可得m=1，下面由求定积分可得答案．
因为函数f（x）=x2+2x+m=（x+1）2+m﹣1的最小值为0，
所以m=1，f（x）=（x+1）2，
则．
故选C
【点评】本题为定积分的求解，由题意得出m的值是解决问题的关键，属基础题．
6．（2016春•松原期末）已知f（x）=，则的值为（ ）
【分析】利用分段函数的意义和微积分基本定理即可得出．
==+=．
故选D．
【点评】熟练掌握分段函数的意义和微积分基本定理是解题的关键．
7．（2011•上饶二模）已知定义在[1，+∞）上的函数当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S=（ ）
【考点】定积分在求面积中的应用；
函数的图象与图象变化；
函数的周期性．菁优网版权所有
【专题】压轴题；
数形结合．
【分析】本选项题利用特殊值法解决．取n=1，由题意可知当x∈[1，2]时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形是一个三角形，然后根据三角形的面积的运算公式进行求解即可．
令n=1得，[2n﹣1，2n]=[1，2]，
当x∈[1，2]时，
函数f（x）的图象与x轴围成的图形是一个三角形，如图所示，
其面积为：
S=×
1×
4=2，
B．
【点评】本题考查函数的图象与图象变化、分段函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
8．（2012•沈阳校级模拟）已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（ ）
【考点】定积分的简单应用．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、b满足的条件，画出平面区域，即可求解．
由图可知[﹣2，0）上f′（x）＜0，
∴函数f（x）在[﹣2，0）上单调递减，（0，4]上f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，4]上单调递增，
故在[﹣2，4]上，f（x）的最大值为f（4）=f（﹣2）=1，
∴f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）⇒
表示的平面区域如图所示：
故选B．
【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题．解决时要注意数形结合思想应用．
9．（2005•湖南）设函数f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在[0，]上的面积为（n∈N*），
【分析】
（i）函数y=sinnx与函数y=sin3x类比，可以得出函数y=sin3x在[0，]上的面积，得出函数y=sin3x在[0，]上的面积是函数y=sin3x在[0，]上的面积的两倍，从而得出函数y=sin3x在[0，]上的面积．
（ii）设t=x﹣，t∈[0，π]，则y=sin3t+1，同理可求．
（i）∵函数y=sinnx在[0，]上的面积为（（n∈N+），∴对于函数y=sin3x而言，n=3，
∴函数y=sin3x在[0，]上的面积为：
，则函数y=sin3x在[0，]上的面积为
（ii）设t=x﹣，t∈[0，π]，则y=sin3t+1，∴y=sin（3x﹣π）+1在[，]上的面积为
故答案为：
【点评】在解题过程中，寻找解题的突破口，往往离不开类比联想，我们在解题中，要进一步通过概念类比、性质类比、结构类比以及方法类比等思维训练途径，来提高类比推理的能力，培养探究创新精神．
10．（2011•哈尔滨模拟）若y=f（x）的图象如图所示，定义F（x）=，x∈[0，1]，则下列对F（x）的性质描述正确的有
（1）
（2）（4） ．
【考点】定积分；
导数的概念．菁优网版权所有
压轴题；
【分析】根据定积分的几何意义，连续曲线y=f（x）≥0在[a，b]上形成的曲边梯形的面积为S=∫abf（x）dx，可得如图的阴影部分的面积为F（x），根据上边的图形得到F（x）为增函数；
且f（x）为F（x）的原函数；
根据下边的图形可得（4）正确．
由定积分的集合意义可知，F（x）表示图中阴影部分的面积，且F′（x）=f（x），
当x0逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，
所以F（x）为增函数，故
（1）、
（2）正确；
由定积分的几何意义可知，必然）∃x0∈[0，1]，使S1=S2，
此时S矩形ABCO=S曲边三角形AOD即F
（1）=∫01f（t）dt=f（x0），故（4）正确．
所以对F（x）的性质描述正确的有
（1）
（2）（4）
（1）
（2）（4）
【点评】此题要求学生掌握定积分的几何意义，理解导函数与原函数间的关系，是一道基础题．
11．（2014•厦门二模）A、B两地相距1千米，B、C两地相距3千米，甲从A地出发，经过B前往C地，乙同时从B地出发，前往C地，甲、乙的速度关于时间的关系式分别为v1（t）=和v2（t）=t（单位：
其中正确的是 ④ ．（请填上所有描述正确的序号）
【分析】依据速度写出路程函数，再由函数性质以及导数的应用对描述的命题判断真假即可．
经过x小时，甲、乙走过的路程分别为：
S1==4ln（x+1），
S2==，
（1）当x=1时，S1=4ln（1+1）=4ln2，1+S2=1+=，
由于4ln2＞，则S1＞1+S2；
（2）设F（x）=S1﹣1﹣S2=4ln（x+1）﹣1﹣（x＞0），
则F′（x）=﹣x=（x＞0），
若令F′（x）＞0，则﹣x2﹣x+4＞0，解得0＜x＜，
则函数F（x）=S1﹣1﹣S2在（0，）上递增，在（，e﹣1）上递减，
故出发后小时，甲乙相距最远；
（3）令4ln（x+1）=4，解得x=e﹣1，
令=3，解得x=，
故甲追上乙后，先到达C地．
④．
【点评】本题考查导数在实际问题中的应用，属于较难的题目．
12．（2015•宜昌校级一模）给定可导函数y=f（x），如果存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=成立，则称x0为函数f（x）在区间[a，b]上的“平均值点”．
（1）函数f（x）=x3﹣3x在区间[﹣2，2]上的平均值点为 ，0 ；
（2）如果函数g（x）=+mx在区间[﹣1，1]上有两个“平均值点”，则实数m的取值范围是 [] ．
（1）首先由新定义求出f（x0），然后代入解析式求出x0；
（2）求出g（x）=，然后解使方程g（x）==+mx有两个解的m范围．
（1）因为f（x0）===0，
而f（x0）=0为x03﹣3x0=0解得x0=，0；
（2）如果函数g（x）=+mx在区间[﹣1，1]上有两个“平均值点”，即g（x）=的x值有两个，==，
即+mx=由两个解，所以m的取值范围为[]．
，0；
[]．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，主要考查定积分的运算和由方程解的个数求参数范围，属于中档题
13．（2012•葫芦岛模拟）已知an=（2x+1）dx，数列{}的前n项和为Sn，bn=n﹣33，n∈N*，则bnSn的最小值为 ﹣ ．
数列的求和．菁优网版权所有
【专题】综合题．
【分析】由题意，先由微积分基本定理求出an再根据通项的结构求出数列{}的前n项和为Sn，然后代入求bnSn的最小值即可得到答案
an=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n
∴===﹣
∴数列{}的前n项和为Sn=++…+=1﹣++…+﹣=1﹣=
又bn=n﹣33，n∈N*，
则bnSn=×
（n﹣33）=n+1+﹣35≥2﹣35，等号当且仅当n+1+，即n=﹣1时成立，
由于n是正整数，且﹣1∈（4，5），后面求n=4，n=5时bnSn的值
当n=4时，bnSn=×
（n﹣33）=﹣；
当n=5时，bnSn=×
（n﹣33）=﹣
由于﹣＞﹣，故bnSn的最小值为﹣
故答案为﹣
【点评】本题考查微积分基本定理及数列的求和，数列的最值等问题，综合性强，知识转换快，解题时要严谨认真，莫因变形出现失误导致解题失败
14．（2012秋•江宁区校级月考）已知x∈（0，1]，，则f（x）的值域是 [0，2） ．
函数的值域．菁优网版权所有
【分析】利用微积分基本定理先求出函数f（x）的解析式，再利用一次函数的单调性即可求出其值域．
∵==2﹣2x，即f（x）=﹣2x+2．
∵x∈（0，1]，∴f
（1）≤f（x）＜f（0），即0≤f（x）＜2．
∴函数f（x）的值域是[0，2）．
故答案为[0，2）．
【点评】熟练微积分基本定理和一次函数的单调性是解题的关键．
15．（2010•安徽模拟）由曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=t2，t∈（0，1）所围成的图形的面积的最小值是 ．
【考点】定积分在求面积中的应用．菁优网版权所有
【分析】由图形将阴影部分的面积用定积分表示出来，再利用定积分的运算规则将面积表示为t的函数，进行判断得出面积的最小值
由题意及图象，曲线y=x2和直线y=t2交点坐标是（t，t2）
故阴影部分的面积是∫0t（t2﹣x2）dx+∫t1（﹣t2+x2）dx=（t2x﹣x3）|0t+（﹣t2x+x3）|t1=
令p=，则p′=4t2﹣2t=2t（2t﹣1），知p=在（0，1）先减后增，在t=时取到最小值，
故面积的最小值是=
．
【点评】本题考查求定积分，解题的关键是根据图象与函数解析式将面积用积分表示出来，利用积分的定义得到关于变量t的表达式，再研究其单调性求出最值，本题运算量较大涉及到的考点较多，综合性强，运算量大，极易因运算、变形出错．
16．（2010•通州区模拟）当θ取遍所有值时，直线所围成的图形面积为 16π ．
【分析】根据题意可知，顶点（1，1）到直线的距离为4，所以当θ取遍所有值时，直线所围成的图形为圆心坐标（1，1），半径为4的圆，所以求出面积即可．
设点A（a，b），则点A得到直线的距离为d
则d=，当a=1，b=1时，d=4．根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径得：
这些直线所围成的图形为以（1，1）为圆心，4为半径的圆，所以面积为16π
故答案为16π
【点评】考查学生会利用取特值法得到直线所围成的平面图形的形状，掌握直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，灵活运用点到直线的距离公式求值的能力．
17．（2013•沈河区校级模拟）已知在区间（a，b）上，f（x）＞0，f′（x）＞0，对x轴上任意两点（x1，0），（x2，0），（a＜x1＜x2＜b）都有f（）＞．若S1=f（x）dx，S2=（b﹣a），S3=f（a）（b﹣a），则S1，S2，S3的大小关系为 S1＞S2＞S3 ．
【分析】根据题中条件：
”对x轴上的任意两点（x1，0），（x2，0），（a＜x1＜x2＜b）都有f（）＞．”知函数图象是上凸的，结合图形可得S1、S2、S3的大小关系．
【解答】解析：
根据定积分的几何意义知：
S1为f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴围成的曲边梯形的面积，
而s2为梯形的面积，s3为矩形的面积，
所以结合题意并画出图形可得S1＞S2＞S3．
S1＞S2＞S3．
【点评】本题考查了定积分的简单应用，以及数形结合思想的综合应用，属于基础题．解决时要注意数形结合思想应用．
18．（2011•安徽模拟）设曲线y=2cos2x与x轴、y轴、直线围成的面积为b，若g（x）=2lnx﹣2bx2﹣kx在[1，+∞）上单调递减，则实数k的取值范围是 [0，+∞） ．
利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】综合题；
数形结合；
转化思想；
数形结合法．
【分析】由题意，先用定积分求出b，再由g（x）=2lnx﹣2bx2﹣kx在[1，+∞）上单调递减，利用其导数在[1，+∞）上恒小于0建立不等式求出实数k的取值范围．
由题意b=2cos2xdx=sin2x=sin=
∴g（x）=2lnx﹣x2﹣kx
∴g′（x）=
∵g（x）=2lnx﹣2bx2﹣kx在[1，+∞）上单调递减，
∴g′（x）=≤0在[1，+∞）上恒成立
即在[1，+∞）上恒成立
∵在[1，+∞）上递减，
∴
∴k≥0
由此知实数k的取值范围是[0，+∞）
[0，+∞）．
【点评】本题考查定积分在求面积中的应用，解题的关键是利用定积分求出b，再利用导数与单调性的关系将函数递减转化为导数值恒负，由此不等式恒成立求出参数的范围，本题综合性很强，需要多次转化变形，运算量较大，解题时一定要注意变形正确，运算严谨，避免因变形，运算出错．
19．（2015春•淮安期末）已知函数f（x）=x3++2+在[1，+∞）上单调递增，当实数m取得最小值时，若存在点Q，使得过点Q的直线与曲线y=f（x）围成两个封闭图形时，这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为 （0，2） ．
函数单调性的性质．菁优网版权所有
【分析】先求出m的最小值为﹣1，可得f（x）解析式，分析f（x）的对称中心即为所求．
由f（x）=x3++2+在[1，+∞）上单调递增，f'
（x）=x2+（m+1）x﹣．
∵f（x）是[1，+∞）上的增函数，∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即x2+（m+1）x﹣≥0在[1，+∞）上恒成立．
所以m+1≥，设g（x）=，显然在[1，+∞）上单调递减，
因此g（x）的最大值为g
（1）=0，所以m+1≥0，所以m≥﹣1．
所以m的最小值为﹣1，
故得f（x）=x3+2+，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
将函数f（x）的图象向下平移2个长度单位，所得图象相应的函数解析式为p（x）=x3+，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
由于p（﹣x）=﹣p（x），所以p（x）为奇函数，故p（x）的图象关于坐标原点成中心对称．
由此即得函数f（x）
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