压轴小题突破练1Word格式.docx

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＝1，方程可变形为f（－x）ex－1＝0，又因为f（x）为奇函数，所以－f（x）ex－1＝0，即f（x）ex＋1＝0有一个零点－x0.

2.设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（－x）＋f（x）＝x2，且在（0，＋∞）上f′（x）＜x，若f（4－m）－f（m）≥8－4m，则实数m的取值范围为（　　）

A.[－2，2] B.[2，＋∞）

C.[0，＋∞） D.（－∞，－2]∪[2，＋∞）

解析　令g（x）＝f（x）－x2，则g（x）＋g（－x）＝0，函数g（x）为奇函数，在区间（0，＋∞）上，g′（x）＝f′（x）－x＜0，且g（0）＝0，

则函数g（x）是R上的单调递减函数，故

f（4－m）－f（m）＝g（4－m）＋（4－m）2－g（m）－m2

＝g（4－m）－g（m）＋8－4m≥8－4m，

据此可得g（4－m）≥g（m），∴4－m≤m，m≥2.

3.设函数f（x）＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.5]＝－2，[2.5]＝2，若直线y＝k（x－1）（k＜0）与函数y＝f（x）的图象只有三个不同的交点，则k的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　由题意得f（x）的周期为1，当x∈[0，1）时，f（x）＝x，直线y＝k（x－1）（k＜0）过定点（1，0），所以当直线y＝k（x－1）（k＜0）过点（－1，1）时，与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交点，此时k＝－；

当直线y＝k（x－1）（k＜0）过点（0，1）时，与函数y＝f（x）的图象有两个不同的交点，此时k＝－1，如图所示，

因此k的取值范围为.

4.定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f′（x）>

1，f（0）＝4，则不等式exf（x）>

ex＋3其中（e为自然对数的底数）的解集为（　　）

A.（0，＋∞） B.（－∞，0）∪（3，＋∞）

C.（－∞，0）∪（0，＋∞） D.（3，＋∞）

答案　A

解析　令g（x）＝exf（x）－ex，

∴g′（x）＝exf（x）＋exf′（x）－ex＝ex[f（x）＋f′（x）－1]，

∵f（x）＋f′（x）>

1，∴g′（x）>

0，

∴y＝g（x）在定义域上单调递增，

∵exf（x）>

ex＋3，∴g（x）>

3，

∵g（0）＝3，∴g（x）>

g（0），∴x>

0，故选A.

5.（2017届河南天一大联考）设函数f（x）＝若关于x的方程f（x）－loga（x＋1）＝0（a＞0，且a≠1）在区间[0，5]内恰有5个不同的根，则实数a的取值范围是（　　）

A.（1，）B.（，＋∞）C.（，＋∞）D.（，）

解析　要使方程f（x）－loga（x＋1）＝0（a＞0且a≠1）在区间[0，5]内恰有5个不同的根，只需y＝f（x）与y＝loga（x＋1）的图象在区间[0，5]内恰有5个不同的交点，在同一坐标系内作出它们的图象如图：

要使它们在区间[0，5]内恰有5个不同的交点，只需得a＞，故选C.

6.已知函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|＝2－x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　）

A.B.C.∪D.∪

解析　由题设可得解得≤a≤.结合图象（图略）可知方程在（－∞，0）和（0，＋∞）上分别只有一个实数根.当3a＞2，即a＞时，则x2＋（4a－3）x＋3a＝2－x只有一个解，则Δ＝（4a－2）2－4（3a－2）＝0，解得a＝或a＝1（舍去）；

当1≤3a≤2，即≤a≤时，符合题设条件.综上，所求实数a的取值范围是≤a≤或a＝.故选C.

7.（2017·

四川成都一模）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（－x－1）＝f（x－1），当x∈时，f（x）＝－x3，则关于x的方程f（x）＝在上的所有实数解之和为（　　）

A.－7B.－6C.－3D.－1

解析　因为函数是偶函数，所以f（－x－1）＝f（x＋1）＝f（x－1），所以函数是周期为2的偶函数，画出函数图象如图：

两个函数在区间上有7个交点，中间点是x＝－1，其余6个交点关于x＝－1对称，所以任一组对称点的横坐标之和为－2，所以这7个交点的横坐标之和为3×

（－2）－1＝－7，故选A.

8.（2017·

湖南长沙一中月考）已知实数f（x）＝若关于x的方程f 

2（x）＋f（x）＋t＝0有三个不同的实根，则t的取值范围为（　　）

A.（－∞，－2] B.[1，＋∞）

C.[－2，1] D.（－∞，－2]∪[1，＋∞）

解析　设m＝f（x），作出函数f（x）的图象，如图所示，则当m≥1时，m＝f（x）有两个根，当m<

1时，m＝f（x）有一个根，若关于x的方程f2（x）＋f（x）＋t＝0有三个不同的实根，则等价为m2＋m＋t＝0有两个不同的实数根m1，m2，且m1≥1，m2＜1，当m＝1时，t＝－2，此时由m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2，f（x）＝1有两个根，f（x）＝－2有一个根，满足条件；

当m≠1时，设h（m）＝m2＋m＋t，则需h

（1）<

0即可，即1＋1＋t<

0，解得t<

－2.综上实数t的取值范围为t≤－2，故选A.

9.若函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f（x1）＝x1，则关于x的方程3f 

2（x）＋2af（x）＋b＝0的不同实根的个数是（　　）

A.3B.4C.5D.6

解析　函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，说明方程f′（x）＝3x2＋2ax＋b＝0的两根为x1，x2，

∴方程3f 

2（x）＋2af（x）＋b＝0的解为f（x）＝x1或f（x）＝x2，若x1<

x2，即x1是极大值点，x2是极小值点，

由于f（x1）＝x1，

∴x1是极大值，f（x）＝x1有两解，x1＜x2，f（x）＝x2＞f（x1）只有一解，

∴此时只有3解，

若x1＞x2，即x1是极小值点，x2是极大值点，由于f（x1）＝x1，

∴x1是极小值，f（x）＝x1有2解，x1＞x2，f（x）＝x2<

f（x1）只有一解，

∴此时只有3解.

综上可知，选A.

10.（2017·

天津市十二重点中学联考）已知函数f（x）＝在定义域上单调递增，且对于任意a≥0，方程f（x）＝a有且只有一个实数解，则函数g（x）＝f（x）－x在区间（n∈N*）上的所有零点的和为（　　）

A. B.22n－1＋2n－1

C. D.2n－1

解析　函数f（x）＝在定义域[0，＋∞）上单调递增，且对于任意a≥0，方程f（x）＝a有且只有一个实数解，则f（x）是连续函数，则21－1＝f（0）＋m，可得m＝1，画出y＝f（x）与y＝x的图象如图：

图象交点横坐标就是g（x）＝f（x）－x的零点，由图知，在区间[0，2n]（n∈N*）上的所有零点的和为1＋2＋3…＋（2n－1）＋2n＝22n－1＋2n－1，故选B.

11.设函数f（x）＝若函数g（x）＝f 

2（x）＋bf（x）＋c有三个零点x1，x2，x3，则x1x2＋x2x3＋x1x3＝________.

答案　2

解析　作出函数f（x）的图象如图所示，由图可得关于x的方程f（x）＝t的解有两个或三个（t＝1时有三个，t≠1时有两个），所以关于t的方程t2＋bt＋c＝0只能有一个根t＝1（若有两个根，则关于x的方程f2（x）＋bf（x）＋c＝0有四个或五个零点），由f（x）＝1，可得x1，x2，x3的值分别为0，1，2，x1x2＋x2x3＋x1x3＝0×

1＋1×

2＋0×

2＝2.

12.设函数f（x）＝x3－2ex2＋mx－lnx，记g（x）＝，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是__________.

答案　

解析　令g（x）＝x2－2ex＋m－＝0，

∴m＝－x2＋2ex＋（x>

0），

设h（x）＝－x2＋2ex＋，令f1（x）＝－x2＋2ex，f2（x）＝，∴f2′（x）＝，

发现函数f1（x），f2（x）在（0，e）上都单调递增，在（e，＋∞）上都单调递减，∴函数h（x）＝－x2＋2ex＋在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，∴当x＝e时，h（x）max＝e2＋，∴函数有零点需满足m≤h（x）max，即m≤e2＋.

13.（2017届柳州模拟）设定义域为R的函数f（x）＝若关于x的方程f 

2（x）－（2m＋1）f（x）＋m2＝0有7个不同的实数解，则m＝__________.

解析　令t＝f（x），作出函数f（x）的图象如图所示：

由图可知方程t2－（2m＋1）t＋m2＝0有两个不等实根，其中一根为4，另一根在（0，4）上.由42－（2m＋1）×

4＋m2＝0⇒m＝2或m＝6，又当m＝2时，另一根为1，满足题意；

当m＝6时，另一根为9，不满足题意，故m＝2.

14.（2017·

山西省实验中学模拟）已知函数f（x）＝ex－2＋x－3（e为自然对数的底数），g（x）＝x2－ax－a＋3.若存在实数x1，x2，使得f（x1）＝g（x2）＝0，且≤1，则实数a的取值范围是______________.

解析　函数f（x）＝ex－2＋x－3的导数为f′（x）＝ex－2＋1＞0，f（x）在R上单调递增，

由f

（2）＝0，可得f（x1）＝0的解为x1＝2，

存在实数x1，x2，使得f（x1）＝g（x2）＝0，且|x1－x2|≤1，

即为g（x2）＝0且|2－x2|≤1，即x2－ax－a＋3＝0在[1，3]上有解，

即有a＝＝（x＋1）＋－2在[1，3]上有解，

令t＝x＋1（2≤t≤4），由t＋－2在[2，4]上单调递增，

可得最小值为2，最大值为3，

则a的取值范围是[2，3].