第一讲:函数及其基本性质文档格式.doc
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典型例题1-3:
注:
不管是给定还是需要求的定义域,都是x的取值范围
(ii)函数的值域
配方法典型例题2-1:
已知,求的值域
换元法典型例题2-2:
变量分离法典型例题2-3:
(iii)函数的解析式,求函数解析式的常见方法如下
代入法典型例题3-1:
已知,则
换元法典型例题3-2:
,求
典型例题3-2-1:
待定系数法典型例题3-3:
已知为一次函数,已知,求
解方程组法典型例题3-4:
已知满足条件,求
分段函数
典型例题4:
已知函数,则_______
练习题4-1:
已知函数,若,则=_______
练习题4-2:
第二讲:
函数的基本性质
函数的单调性
一般地,设函数的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量,当时,都有(或),那么就说函数在区间D上是增函数(或减函数).
注意在判断单调性时,第一是定义域的某个区间,第二是任意两个数
典型例题1:
已知函数,求函数的定义域并判断其在定义域上的单调性.
典型例题2:
若函数在区间上是单调函数,求的取值范围.
典型例题3:
函数的单调增区间为_______
函数是定义在上的增函数,求方程的解集.
用定义求函数单调性的基本步骤:
设—差—比—定.
典型例题5:
用单调性的定义证明函数在区间是增函数
典型例题6:
已知函数对于任意的,总有,且当时,总有,,求证:
在R上是减函数;
求在区间上的最大值和最小值.
单调性练习题
1、已知函数的定义域为(0,+),且在其上为增函数,对满足,,试解关于不等式
2、已知对于任意的不等式恒成立,则的取值范围为______
3、函数是R上的增函数,则的取值范围为__________
4、已知关于不等式解集为空集,则的取值范围为________
5、若存在实数满足不等式,则实数的取值范围是
函数的最值
对于函数,假定其定义域为A,则若存在,使得对于任意,恒有()成立,则称是函数的最大值(最小值).
求解函数的最值一般是先确定其在区间的单调性
求函数在上的最值
函数的奇偶性
如果对于函数的定义域内任意一个x,都有,则称为奇函数;
如果对于函数的定义域内任意一个x,都有,则称为偶函数.如果函数不具有上述性质,则不具有奇偶性;
如果函数同时具有上述两条性质,则既是奇函数,又是偶函数.
判断奇偶函数的条件:
(i)定义域(ii)的关系
判断下列函数奇偶性
如果函数为奇函数,则是否正确,若正确,请推导;
如果不正确,请说明理由.
已知、分别为定义在R上的奇函数和偶函数,若,求、的表达式
典型例题4-1:
已知函数是定义在R上的偶函数,且有,求函数的表达式.
典型例题4-2:
已知函数是定义在R上的奇函数,且有,求函数的表达式.
在上定义的函数是偶函数,且,若在区间是减函数,则函数在区间上是_________函数,区间上是_______函数(填“增”、“减”)
已知函数是定义在上的奇函数,且
(I)求函数的解析式;
(II)用定义证明在上是增函数;
(III)解不等式.
基本性质练习题
1、若函数为偶函数,则实数=_________
2、
3、已知为定义在R上的奇函数,当时,(为常数),则______________
4、已知、分别为定义在R上的奇函数和偶函数,若(),若,求、的表达式
5、已知为定义在R上的奇函数,,若,____
6、已知函数是定义在R上的奇函数,且有,求函数的表达式
7、是定义在(-1,1)上的奇函数,且时为增函数,求解关于的不等式的解集
8、已知函数的值域是,则函数的值域是______
9、若是R上的偶函数,且在上是减函数,则与的大小关系为______________
10、已知是上的减函数,则的取值范围是____
函数的周期:
设是周期为2的奇函数,当时,,=______
周期练习题
1、已知函数定义在R上,则
2、函数满足:
,,则
3、已知定义在R上的奇函数满足,且在区间上是增函数,则___________
B.
指对数以及函数应用
指数函数与对数函数
指数函数基本概念:
函数的图象、定义域、值域、单调性
对数函数基本概念:
换底公式
函数图象、定义域、值域、单调性
_______
已知,试用表示
函数,则经过的定点为_____
已知函数若,则的取值范围是_______
已知定义域为R的函数是奇函数
(i)求的值
(ii)若对于任意的,不等式恒成立,求k的取值范围
已知关于的方程在区间上有实数根,则实数的取值范围是______________
典型例题7:
已知满足式子,求满足的关系式
典型例题8:
已知且满足式子,,,,则的大小关系为______________
指数对数练习题
1、已知,,试用表示
2、已知函数是以2为周期的偶函数,且当时,,则____________
3、设函数,已知,则___________
4、已知函数,求在区间上的值域
5、当不等式恒成立,则a的取值范围是________
零点定理和根的分布
零点定理
函数的零点所在区间为______
(A)(B)(C)(D)
函数的图像与函数的图像的交点个数是_________
已知函数为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则该函数所有零点之和为_____________
零点练习题
1、函数在区间上零点的个数为________
2、函数在区间上零点的个数为________
3、若函数有两个零点,则实数的取值范围为________
4、已知函数,当时,函数的零点,则=____________
5、已知函数,若函数有两个不同的零点,则实数的取值范围是_____________
6、已知是定义在上奇函数,,则关于的函数的所有零点之和为____________
7、已知是定义在R上的偶函数,在区间上为增函数,且,则不等式的解集为________
8、若函数,则函数的零点的个数为______
9、已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则函数的零点个数为________
根的分布:
函数,六种分布情况
根的分布(m<n<p为常数)
图象
满足条件
x1<x2<m
m<x1<x2
x1<m<x2
f(m)<0
m<x1<x2<n
n<x2<p
只有一根在
(m,n)之间
或f(m)·
f(n)<0
典型例题:
关于的一元二次方程,当为何实数时
(1)有两不同正根;
(2)不同两根在之间;
(3)有一根大于2,另一根小于2;
(4)在内有且只有一解
课后练习题
1、方程的两个根均大于1,求实数的取值范围.
2、若函数的两个零点分别在区间和区间内,则实数的取值范围是__________
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