江西省赣州市2015届高三数学一模试卷(理科)(解析版)Word文档下载推荐.doc

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C．f（x）在上是增函数 D．f（x）在上是减函数

11．过抛物线C：

y2=2px（p＞0）的焦点且斜率为2的直线与C交于A、B两点，以AB为直径的圆与C的准线有公共点M，若点M的纵坐标为2，则p的值为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．8

12．已知函数f（x）=（a﹣3）x﹣ax3在[﹣1，1]的最小值为﹣3，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣1] B．[12，+∞） C．[﹣1，12] D．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分1，3，5．

13．展开式中的常数项为　　　　　　．

14．若不等式组表示的平面区域是面积为的三角形，则m的值　　　　　　．

15．A、B、C三点在同一球面上，∠BAC=135°

，BC=2，且球心O到平面ABC的距离为1，则此球O的体积为　　　　　　．

16．已知数列{an}满足，Sn是其前n项和，若S2015=﹣1007﹣b，且a1b＞0，则的最小值为　　　　　　．

三、解答题：

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=3，sinC=2sinB，求b、c的值．

18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥PB，PA=PD．

（Ⅰ）求证：

平面PAD⊥平面PAB；

（Ⅱ）设E是棱AB的中点，∠PEC=90°

，AB=2，求二面角E﹣PC﹣B的余弦值．

19．某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人．

（Ⅰ）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；

（Ⅱ）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和ξ的分布列和数学期望．

20．已知椭圆E：

的焦距为2，A是E的右顶点，P、Q是E上关于原点对称的两点，且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）过E的右焦点作直线与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线x=3分别交于C、D两点，设△ACD与△AMN的面积分别记为S1、S2，求2S1﹣S2的最小值．

21．设函数f（x）=（e为自然对数的底），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x+b．

（Ⅰ）求a、b的值，并求函数y=f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设x≥0，求证：

f（x）＞．

请考生在第22、23、24两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；

多涂、多答，按所涂的首题进行评分．选修4-1：

几何证明选讲

22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．

B、D、H、F四点共圆；

（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．

选修4-4：

坐标系与参数方程

23．已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．点A、B的极坐标分别为（2，π）、（a∈R），曲线C的参数方程为为参数）

（Ⅰ）若，求△AOB的面积；

（Ⅱ）设P为C上任意一点，且点P到直线AB的最小值距离为1，求a的值．

选修4-5：

不等式选讲

24．设函数f（x）=|x|+|2x﹣a|．

（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≤1；

（Ⅱ）若不等式f（x）≥a2对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案与试题解析

【考点】集合的包含关系判断及应用．

【专题】集合．

【分析】先根据不等式的解法求出集合A，再根据对数的单调性求出集合B，根据子集的关系即可判断．

【解答】解：

∵x2﹣x﹣2＜0，

∴（x﹣2）（x+1）＜0，

解得﹣1＜x＜2

∴A=（﹣1，2），

∵log4x＜0.5=log42，

∴0＜x＜2，

∴B=（0，2），

∴B⊆A，

故选：

B

【点评】本题考查了不等式的解法和函数的性质，以及集合的包含关系，属于基础题．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【专题】数系的扩充和复数．

【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

复数===﹣i对应的点的坐标为（0，﹣1），

A．

【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．

【考点】函数奇偶性的判断．

【专题】计算题．

【分析】由奇函数的定义：

f（﹣x）=﹣f（x）逐个验证即可

由奇函数的定义：

f（﹣x）=﹣f（x）验证

①f（|﹣x|）=f（|x|），故为偶函数

②f[﹣（﹣x）]=f（x）=﹣f（﹣x），为奇函数

③﹣xf（﹣x）=﹣x•[﹣f（x）]=xf（x），为偶函数

④f（﹣x）+（﹣x）=﹣[f（x）+x]，为奇函数

可知②④正确

故选D

【点评】题考查利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，是基础题．

【考点】双曲线的简单性质．

【专题】直线与圆；

圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】求出双曲线的渐近线方程，由夹角公式得到b的方程，再由焦点到渐近线的距离为b，解不等式可得b＞1，再解b的方程即可得到b．

双曲线x2﹣=1（b＞0）的两条渐近线方程为y=±

bx，

即有tan60°

=||=||=，

设焦点（c，0）到一条渐近线的距离为d===b，

即有b＞，解得b＞1，

则有b2﹣2b﹣=0，

解得b=，

故选C．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，同时考查两直线的夹角公式和点到直线的距离公式的运用，属于基础题．

【考点】条件概率与独立事件．

【专题】计算题；

概率与统计．

【分析】利用在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，建立方程，即可求n的值．

由题意，在男生甲被选中的情况下，只需要从其余n﹣1人中选出2人，

在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中，即从其余n﹣2人中选1人即可，

故=0.4，

∴n=6，

C．

【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．

【考点】程序框图．

【专题】图表型；

算法和程序框图．

【分析】由斐波那契数列从第三项起每一项等于前两项的和，由程序框图从而判断空白矩形框内应为：

b=c，模拟执行程序框图，当第8次循环时，i=10，由题意不满足条件，退出执行循环，输出S的值，即可得判断框内应为i≤9．

由题意，斐波那契数列0，1，1，2，…，从第三项起每一项等于前两项的和，分别用a，b来表示前两项，c表示第三项，S为数列前n项和，

故空白矩形框内应为：

b=c，

第1次循环：

a=0，b=1，S=0+4=1，i=3，求出第3项c=1，求出前3项和S=0+1+1=2，a=1，b=1，满足条件，i=4，执行循环；

第2次循环：

求出第4项c=1+1=2，求出前4项和S=0+1+1+2=4，a=1，b=2，满足条件，i=5，执行循环；

…

第8次循环：

求出第10项c，求出前10项和S，此时i=10，由题意不满足条件，退出执行循环，输出S的值．

故判断框内应为i≤9．

B．

【点评】本题考查的知识点是程序框图解决实际问题，循环结构有两种形式：

当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】平面向量及应用．

【分析】运用坐标求解，=（x，y），得出x﹣2y=﹣5，根据夹角公式得出=，即=，整体代入整体求解即可得出=2．选择答案．

设=（x，y）

∵，，

∴4=（﹣1，2），|4|=，

∵，

∴﹣x+2y=5，

即x﹣2y=﹣5，

∵向量满足与的夹角为120°

∴=，

即=，

∵=，

∴=2．

故||=2，

D．

【点评】本题综合考查了平面向量的数量积的运算，运用坐标求解数量积，夹角，模，难度不大，计算准确即可完成题目．

【考点】等差数列的前n项和．

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到a1+a10=0，则可求得数列的前10项和等于0．

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d（d≠0），

由，得，

整理得：

2a1+9d=0，即a1+a10=0，

∴．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．

【考点】由三视图求面积、体积．

空间位置关系与距离．

【分析】结合直观图可得几何体是正方体的一半，根据正方体的棱长为4，计算几何体的体积．

由三视图知：

几何体是正方体的一半，如图：

已知正方体的棱长为2，

∴几何体的体积V=×

43=32．

【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量．

【考点】正弦函数的图象．

【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，求得a+b=﹣φ，再根据f（a+b）=2sinφ=，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性得出结论．

由函数图象的一部分，可得A=2，函数的图象关于直线x==对称，∴a+b=x1+x2．

由五点法作图可得2a+φ=0，2b+φ=π，∴a+b=﹣φ．

再根据f（a+b）=2sin（π﹣2φ+φ）=2sinφ=，可得sinφ=，

∴φ=，f（x）=2sin（2x+）．

在上，2x+∈（﹣，），故f（x）在上是增函数，

【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，正弦函数的单调性，属于中档题．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】取AB的中点N，分别过A、B、N作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、M，作出图形，利用抛物线的定义及梯形的中位线性质可推导，|MN|=|AB|，从而可判断圆与准线的位置关系：

相切，确定抛物线y2=2px的焦点，设直线AB的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理可得AB的中点M的纵坐标为，由条件即可得到p=4．

取AB的中点N，分别过A、B、N作准线的垂线AP、BQ、MN，

垂足分别为P、Q、M，如图所示：

由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，

在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）

=（|AF|+|BF|）=|AB|，

故圆心N到准线的距离等于半径，

即有以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，

由M的纵坐标为2，即N的纵坐标为2，

抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），

设直线AB的方程为y=2（x﹣），即x=y+，

与抛物线方程y2=2px联立，消去x，得y2﹣py﹣p2=0

由韦达定理可得AB的中点N的纵坐标为，

即有p=4，

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系、直线圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属中档题．

【考点】函数的最值及其几何意义．

函数的性质及应用．

【分析】分析四个选项，可发现C、D选项中a可以取0，故代入a=0可排除A、B；

再注意C、D选项，故将代入验证即可；

从而得到答案．

当a=0时，f（x）=﹣3x，x∈[﹣1，1]，显然满足，

故a可以取0，

故排除A，B；

当时，，

，

所以f（x）在[﹣1，1]上递减，

所以，满足条件，

故排除C，

【点评】本题考查了函数的最值的求法及排除法的应用，属于中档题．

13．展开式中的常数项为　80　．

【考点】二项式系数的性质．

二项式定理．

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．

的展开式的通项公式为Tr+1=

令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式中的常数项为80，

故答案为：

80．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．

14．若不等式组表示的平面区域是面积为的三角形，则m的值　　．

【考点】简单线性规划．

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用三角形的面积，即可得到结论．

作出不等式组对应的平面区域如图，

若对应的区域为三角形，则m＜2，

由，得，即C（m，m），

由，得，即B（m，），

由，得，即A（2，2），

则三角形ABC的面积S=×

（﹣m）×

（2﹣m）=，

即（2﹣m）2=，

解得2﹣m=，或2﹣m=﹣，

即m=或m=（舍），

；

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合作出对应的图象，利用三角形的面积公式是解决本题的关键．

，BC=2，且球心O到平面ABC的距离为1，则此球O的体积为　4　．

【考点】球的体积和表面积．

【专题】空间位置关系与距离；

球．

【分析】运用正弦定理可得△ABC的外接圆的直径2r，再由球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，即可求得球的半径，再由球的体积公式计算即可得到．

由于∠BAC=135°

，BC=2，

则△ABC的外接圆的直径2r==2，

即有r=，

由于球心O到平面ABC的距离为1，

则由勾股定理可得，球的半径R===，

即有此球O的体积为V=πR3=π×

（）3=4．

4．

【点评】本题考查球的体积的求法，主要考查球的截面的性质：

球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，同时考查正弦定理的运用：

求三角形的外接圆的直径，属于中档题．

16．已知数列{an}满足，Sn是其前n项和，若S2015=﹣1007﹣b，且a1b＞0，则的最小值为　　．

【考点】数列递推式；

基本不等式．

【专题】点列、递归数列与数学归纳法．

【分析】由已知递推式得到a2+a3=﹣2，a4+a5=4，…，a2012+a2013=2012，a2014+a2015=﹣2014，累加可求S2015，结合S2015=﹣1007﹣b求得a1+b=1，代入展开后利用基本不等式求最值．

由已知得：

a2+a3=﹣2，a4+a5=4，…，a2012+a2013=2012，a2014+a2015=﹣2014，

把以上各式相加得：

S2015﹣a1=﹣2014+1006=﹣1008，

∴S2015=a1﹣1008=﹣1007﹣b，即a1+b=1，

∴=．

．

【点评】本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的和，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．

【考点】余弦定理；

正弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】

（1）由已知利用正弦定理余弦定理可得：

=，化为2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，即可得出；

（2）利用正弦定理余弦定理即可得出．

（1）由正弦定理余弦定理得=，

∴2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，

∵sinC≠0，

∴，

∵A∈（0，π），

（2）由sinC=2sinB，得c=2b，

由条件a=3，，

由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=3b2，

解得．

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

【考点】用空间向量求平面间的夹角；

平面与平面垂直的判定；

二面角的平面角及求法．

空间角．

（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PAD⊥平面PAB；

（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法进行求解即可．

【解答】

（1）证明：

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD

所以AB⊥平面PAD…

又PD⊂平面PAD，所以PD⊥AB…

又PD⊥PB，所以PD⊥平面PAB…

而PD⊂平面PCD，故平面PCD⊥平面PAB…

（2）如图，建立空间直角坐标系…

设AD=2a，则A（a，0，0），D（﹣a，0，0）B（a，2，0），C（﹣a，2，0），P（0，0，a），E（a，1，0）…

则得，…

设平面PEC的一个法向量，

由得

令x1=1，则…

，，

由得，

令y2=1，则…

设二面角E﹣PC﹣B的大小为θ，

则…

故二面角E﹣PC﹣B的余弦值为…

【点评】本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，利用向量法是解决空间二面角的常用方法．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；

离散型随机变量及其分布列．

【专题】概率与统计．

（I）利用数据统计图求出该班有40人，由此能求出该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数．

（II）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20，分别求出相应的概率，由此能求出两人成绩之和ξ的分布列和数学期望．

（I）因为“铅球”科目中成绩等级为E的考生有8人，

所以该班有8÷

0.2=40人，

所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为

40×

（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×