上海中学高中数学专题----立体几何上册1--5讲拓展2节文档格式.docx

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经过两条相交直线，有且只有一个平面．

．

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面．

公理4（平行公理）平行于同一条直线的两条直线互相平行．

把以上各公理及推论进行对比：

公理或推论

图形语言

符号语言

作用

判定直线是否

在平面内

判定两个平面

是否相交

点A,B,C不共线点A,B,C确定一个平面

确定一个平面

推论1

点C与直线a

推论2

直线a与直线b确定一个平面

公理4

判断两线平行

【基础过关】

例1已知：

；

求证：

直线AD、BD、CD共面．

变式1、如果三条直线两两相交，那么这三条直线是否共面？

变式2、已知空间不共面的四点，过其中任意三点可以确定一个平面，由这四个点能确定几个平面？

变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？

（口答）

练习1：

已知直线满足：

直线共面

提高训练：

已知，求证：

四条直线在同一平面内．

例2：

三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：

这三条直线交于一点.

已知：

平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.

l1、l2、l3相交于一点

证明：

备用题：

如图，三棱锥A-BCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF:

FC=DH:

HA=2:

3；

EF、GH、BD交于一点．

例3：

如图，已知△ABC的各顶点在平面α外，直线AB、BC、AC分别交平面α于P、Q、R，

P、Q、R三点共线.

【总结】

本节主要复习了平面三个公理和三个推论，学会了如何使用公理及其推论解题．

平面的基本性质的应用有哪些？

（1）公理1主要用来判定直线在平面内，点在平面内．

（2）公理2主要应用是：

①判断两个平面相交；

②证明点在直线上；

③证明三点共线；

④证明三线共点；

⑤画两个平面的交线．

（3）公理3及其推论主要应用：

①确定平面；

②证明两平面重合；

③证明点线共面；

④是作截面、辅助面的依据．

证明共面问题一般有两种方法：

归一法：

（1）先根据题设确定一个平面；

（2）再证明其余的点、线在这个平面内（证点在平面内，常转证这个点所在直线在这个平面内，而证直线在这个平面内，又往往证这条直线上有两点在这个平面内，即运用转化的思想方法）．

重合法：

（1）先根据题设条件确定两个平面或两个以上平面（这些平面必需包括要证共面的所有点线）；

（2）再证以上平面重合．

证明三线共点的基本方法

（1）先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明此点是两直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线，由公理知，两平面的公共点在它们的交线上，从而证明了三线共点．

（2）用同一法证明，以两平面的交线为主线，使它和另两条直线分别交于不同的两点，由三角形全等导出线段相等，证明两点重合，得出三线共点．

【巩固练习】

A组

1.把空间四边形的对角线长度相等，则顺次连结它的各边中点所成的四边形是________

2.两个平面最多把空间分成部分，三个平面最多把空间分成部分。

3.过空间任意一点引三条直线，它们所确定的平面个数是个。

4.已知平面与平面平面都相交，则这三个平面可能的交线有条。

5.给出以下三个命题：

①若空间四点不共面，则其中无三点共线；

②若直线上有一点在平面外，则在外；

③两两相交的三条直线共面。

其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）

6.以下命题正确的是（填序号）

①三点确定一个平面

②线段在平面内，但直线AB不在平面内

③三条直线两两相交时不一定共面

④两个平面可以有两条公共直线

7.以空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________

8.空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，那么由点P和这三条直线最多可以确定的平面的个数为________

9.若直线上有两个点在平面外，则…（）

A.直线上至少有一个点在平面内 B.直线上有无穷多个点在平面内

C.直线上所有点都在平面外 D.直线上至多有一个点在平面内

10.空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么四点中……………（）

A.必有三点共线 B.必有三点不共线

C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线

11.如图，，又，设A、B、C三点确定的平面为，则是…（）

A.直线AC

B.直线BC

C.直线CR

D.以上皆错

12.如已知A、B、C、D是空间四点，命题甲：

A、B、C、D四点不共面，命题乙：

直线AC和不相交。

①若甲，则乙，②若乙，则甲，则………………（）

A.①成立，②不成立 C.①②都成立

B.①不成立，②成立 D.①②都不成立

13.

（1）如图

（1），已知：

平面平面=直线EF，画出过点A、B、C的平面；

（2）如图

（2），已知：

ABCD-A1B1C1D1正方体，M、N、P分别为棱上的点，试画出过M、N、P的截面；

（3）如图（3），已知正方体ABCD-A1B1C1D1，试作出截面BB1D1D与截面A1C1B的交线，截面AB1D与截面A1C1B的交线。

14.

（1）求证：

三条互相平行的直线和一条直线都相交，这四条直线必在同一个平面内；

（2）已知是两两相交且不共点的四条直线，求证：

共面。

15.已知△ABC在平面外，其三边所在的直线

满足，如图所示，

M、N、P三点共线。

16.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1、D1C1的中点，过D、M、N的平面与正方体下底面相交于直线

（1）画出直线；

（2）画出a与正方体的各面的交线；

（3）记，求的长。

17.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD与平面ACD1交于点O，BD与平面ACD1交于点M，

M、O、D1三点共线。

18.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点

（1）求证：

（1）E、C、D1、F四点共面。

（2）CE、D1F、DA三线共点。

19.在四面体ABCD中，E、F分别是AB和BC的中点，G、H分别是CD和AD上的点，且，求证：

EH、FG、BD相交于一点。

B组

1.如图所示，已知P、Q、R、S、M、N分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1、A1D1、A1A的中点，求证：

P、Q、R、S、M、N共面。

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BCD1相交于点P，

B、P、D1三点共线。

3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AD中点，E1、F1分别为B1C1、C1D1中点，

（1）EF//E1F1；

EF=E1F1；

（2）∠EAF1=∠E1CF1

4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，D、E分别是△PAB和△PBC的垂心。

求证DE//AC，DE=AC

拓展迁移

1.如图所示，已知在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，且，

直线EG、FH、AC相交于一点。

2.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1相交于点O，AC、BD相交于点M，

点C1、O、M共线。

课后作业：

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

家长签字:

_____________

第二课空间直线与直线的位置关系

【教学目标】掌握空间直线之间的关系

【教学重点】平行垂直判定及性质

【教学难点】不同题型中公式的运用

异面直线的概念：

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

空间两条直线有多少种位置关系？

共面直线

相交直线：

同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：

同一平面内，没有公共点；

异面直线：

不同在任何一个平面内，没有公共点。

思考：

如图所示：

正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？

介绍异面直线的作图，如下图：

在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

在空间中，是否有类似的规律？

公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：

设a、b、c是三条直线

=>

a∥c

a∥b

c∥b

强调：

公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：

判断空间两条直线平行的依据。

等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。

如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'

∥a、b'

∥b，我们把a'

与b'

所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。

（2）强调：

①a'

所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与的选择无关，

为了简便，点一般取在两直线中的一条上；

②两条异面直线所成的角θ∈（0，]；

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

例1空间四边形ABCD中，E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点

四边形EFGH是平行四边形

变式1：

在例1中如果加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？

∠ADC与A'

D'

C'

、∠ADC与∠A'

B'

的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？

[来源:

学&

1、如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

四边形EFGH是平行四边形.

2.如上图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD.

四边形EFGH是菱形.

3.如上图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD，AC⊥BD.

四边形EFGH是正方形.

例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1,[来源:

学科网ZXXK]

（1）哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？

（2）哪些棱所在的直线与AA1垂直？

变式：

在正方体ABCD-A'

的所有棱中，与BD'

成异面直线的有________条。

同一平面内，有且只有一个公共点

共面直线

平行直线：

异面直线夹角求法：

一作（辅助线）

二证（正所作的角为所求角）

三求值（通常运用余弦定理）

1.已知为不垂直的异面直线，是一个平面，则在上的射影可能是：

①两条平行直线；

②两条互相垂直的直线；

③同一条直线；

④一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确结论的编号

是（写出所有正确结论的编号）

2.两两相交的三个平面把空间分成的区域数是…（）

A.6或7 B.7或8 C.6或8 D.6或7或8

3.若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的（）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件

【拓展练习】

1.如图所示，E、F在AD上，G、H在BC上，图中8条线段所在的直线，哪些直线互为异面直线？

2.如图所示，空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2，BC=CD=，AC=，延长BC到E，取BD中点F；

求异面直线AF与DE的距离和它们所成的角。

3.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别是直线A1B1、B1C1中点，问：

（1）AM和CN是否为异面直线？

说明理由；

（2）D1B和CC1是否为异面直线？

说明理由。

4.如图所示，在单位立方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CC1上的动点

（1）判断过A、D1、M三点的截面图形的形状；

（2）设CM=，过A、M、M三点的截面面为S=，求函数的表达式。

5.如图所示，在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点

（1）若BD=2，AC=6，求EG2+HF2的值；

（2）若直线AC、BD所成的角为30°

，AC=6，BD=4，求四边形EFGH的面积。

6.空间四边形ABCD中，AB=CD且成60°

的角，点M、N分别为BC、AD的中点，求异面直线AB和MN所成的角。

7.空间四边形ABCD中，AD=AB=2，CB=CD=1，AD与BC所成的角为60°

，E、F分别为AB、CD的中点，求AB与CD所成角及EF的长。

8.空间四边形ABCD中，AD=AB=2，CB=CD=1，AD与BC所成的角为60°

1.异面直线所成的角为60°

，过空间一定点P作直线，使与所成的角均为60°

，这样的直线有条。

2.如图所示，过正方体的顶点A作直线，使与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线可以作……………（）

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

3.若空间两条直线没有公共点，则其位置关系是_____________

4.若∠ABC和，∠A'

的两边分别对应平行，且∠ABC=45°

则∠A'

=_____________

5.如图，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF=则AD，BC所成角的大小为_____________

6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AD1与A1C1所成角的大小为_____________

7.异面直线成50°

，过空间一点P与所成的角都是65°

的直线有______条。

8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=，AA1=，EF分别是A1B1和B1C1的中点，则AE与BF所成的角为___________

9.关于空间两条平行直线有以下说法：

①是空间没有公共点的两条直线；

②是都和第三条直线没有公共点的直线；

③是在同一平面内没有公共点的两条直线。

其中错误的说法有（写出所有错误说法的序号）

10.下列结论不正确的是（填序号）

①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；

②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；

③两条异面直线所成的角为锐角或直角；

④直线与异面，则直线与也异面，则直线与必异面。

11.以下三个命题中，正确的是（填序号）

①已知三条直线，其中异面，若则异面；

②既不平行也不相交的两条直线是异面直线；

③分别在两个平面内的直线是异面直线。

12.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，若M是侧棱CG的中点，则异面直线AB1与BM所成的角的大小为________

13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF分别是AA1与CC1的中点，直线EF与D1F所成角的大小为________

14.如果把两条异面直线看成“一对”，那么在正方体的12条棱所在的直线中，

共有异面直线________对。

15.是异面直线，平面，平面，，则直线（）

A.必定分别与相交 B.可与都不相交

C.至少与中之一相交 D.至多与中之一相交

16.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系为…（）

A.一定平行 B.一定异面

C.一定相交 D.—定不平行

17.已知两条异面直线所成的角为60°

，直线与所成的角均为，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

18.在正方体ABCD-A1B1C1D1中与A1B成45°

角的棱有……（）

A.2条 B.4条 C.8条 D.6条

19.如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心。

（1）求证：

MN//BD；

（2）若BD=6，求MN的长。

20.如图，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体。

（1）求AD1与B1C所成角的大小；

（2）若E，F，G，H分别为对应棱的中点，求所成的角。

21.在四面体PACB中，D、E是棱PC上不重合的两点，F、H分别是棱PA、PB上的点，且与点P均不重合，求证：

EF和DH是异面直线。

22.如图，已知空间四边形中，AB=CD=3；

E、F分别是BC、AD上的点，并且BE：

EC=AF：

FD=1：

2，EF=，求AB和CD所成角的大小。

23.设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA；

且,

（1）若，判断四边形EFGH的形状；

（2）若，且EG⊥HF，求的值；

（3）若，判断四边形EFGH的形状。

24.如图，在四面体ABCD中，若M、N分别是棱AD、BC的中点，AC=BD=6

（1）若，求MN与AC所成的角；

（2）若AC和BD所成的角为60°

，求MN的长