双曲线的简单几何性质(教案)Word格式.doc

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让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。

三、教学重点难点

双曲线的渐近线既是重点也是难点。

四、教学过程

（一）课题引入

1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？

（教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。

）

今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。

【板书】：

双曲线的性质

2、双曲线有哪些性质呢？

（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。

3、双曲线的这些性质具体是什么？

如何推导？

请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。

（讨论）

（二）双曲线的性质

1、范围：

把双曲线方程变形为。

因为，因此，即，所以。

又因为，故。

，。

2、对称性：

下面我们来讨论双曲线的的对称性，哪位同学能根据双曲线的标准方程，判断它的对称性？

在标准方程中，把换成，或把换成，或把，同时换成，时，方程都不变，所以图形关于轴、轴和原点都是对称的。

双曲线的对称轴是轴、轴，原点是它的对称中心。

3、顶点：

提问：

（1）双曲线有几个顶点？

顶点的坐标是什么？

在标准方程中，令得；

令，则无解。

这说明双曲线有两个顶点，。

（2）如图，对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴，其长度为。

尽管此双曲线与轴无公共点，但轴上的两个特殊的点。

我们称线段为双曲线的虚轴，其长度为。

，称为实轴，为虚轴，其中。

特别地，当时，双曲线的实轴长与虚轴长相等，称其为等轴双曲线。

4、离心率

4、定义双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率。

（1）双曲线的离心率与椭圆的离心率有什么不同？

（2）双曲线的形状与离心率有什么关系？

由等式，可知：

双曲线的离心率且越大双曲线的开口就越开阔。

5、渐近线：

（1）椭圆与双曲线还有一个最大的不同是曲线的范围及其走向。

曲线的范围与走向是我们研究曲线性质的一个重要方面，因为它可以为我们绘制曲线的草图提供依据，那么请大家想一想双曲线的走向是什么样的呢？

谁能比较准确地画出双曲线？

在第一象限内双曲线可以化为，是增函数。

因为，所以，即，这个不等式意味着什么？

（它表示直线下方半个平面区域。

（用刚才作矩形的方法画出两条直线，然后指出区域。

由于双曲线和直线都关于坐标轴对称，所以双曲线（两支）在直线之间，这样，我们进一步缩小了双曲线所在区域的范围。

（2）直线与双曲线有什么联系呢？

（用几何画板课件演示）：

随着无限增大时，点到直线的距离就无限趋于零。

直线叫做双曲线的渐近线；

直线叫做双曲线的渐近线。

练习：

求下列双曲线的渐近线方程（写成直线的一般式）。

（1）的渐近线方程是：

（2）的渐近线方程是：

（3）的渐近线方程是：

（4）的渐近线方程是：

可以发现，双曲线方程与其渐近线之间似乎存在某种规律。

（启发学生讨论，归纳）。

把双曲线方程中的常数项改为零，会怎样呢？

，即，这就表示两条渐近线

。

结论：

把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，然后变形，即可得其渐近线方程。

（三）小结

标准方程

图形

性质

焦点

范围

，

对称性

关于轴，轴，原点都对称

顶点

离心率

渐近线

（四）典型例题与变式训练

例1、求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

解：

把方程化为标准方程

由此可知，半实轴长，半虚轴长；

焦点坐标是；

离心率；

渐近线方程为。

归纳总结：

首先把方程化为标准方程，看准焦点在哪条轴上，得到a,b,c的值，再由双曲线的几何性质求解。

【变式训练】：

求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

例2、求适合下列条件的双曲线标准方程

（1）顶点在轴上，虚轴长为12，离心率为；

（2）顶点间距离为6，渐近线方程为；

（1）设双曲线的标准方程为。

由题意知，且。

∴

∴所求双曲线方程为。

（2）当焦点在轴上时，由且，∴。

∴所求双曲线方程为

当焦点在轴上时，由且，∴。

∴所求双曲线方程为

首先观察条件能否确定焦点位置，再采用待定系数法设出所求双曲线的标准方程，在由条件求出a,b,c即可。

2、求符合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）顶点在轴上，两顶点间的距离是8，；

（2）焦距是16，。

（五）课堂总结

椭圆

双曲线

无

（六）作业：

教材第61页：

习题2.3，第2、3两题。

五、板书设计

2.3.2双曲线的简单几何性质

4、渐近线：

直线叫做…

例题

课堂训练

5、结论：

六、课堂设计说明

1、本节课的内容是通过双曲线标准方程推导研究双曲线的几何性质，采用类比椭圆的几何性质的推导方法，让学生自己推导出双曲线的几何性质。

在教学中，凡是经过努力学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，这样有利于调动学生学习的积极性，有利于激发学生的学习兴趣，使学生的主动性得到淋漓尽致的发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。

2、本节课的难点是双曲线的渐近线，故采取了有目的的，精心巧妙地存疑设问，用悬念激发学生的情趣，促进思考。

结合学生实际，把“共渐近线的双曲线”、“离心率的问题”放到下一节课来完成。

七、课后反思：

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