用导数处理不等式恒成立问题文档格式.docx
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当时,.
∴当时,取得极大值,又,.
则当时,的最大值为.
∵对于任意的,有恒成立,∴,解得或,
因此的取值范围为.
【例题2】
【题干】设函数
(1)当a=1时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围;
(3)设函数,若在[l,e]上至少存在一组使成立,求实数a的取值范围.
(1)切线为
…
(2),由题意若函数在其定义域内为增函数,
在(0,+∞)上恒成立,即
,,,,
(3)在[1,e]上至少存在一组使成立;
则,
……9分
在[1,e]上递减,
,,令
当时,在上递增,
,,
当时
时在上递增,,,不合题意。
当时,,
,,在上递减,
当时,,在上递减,ks5u
时,,不合题意。
综上:
【例题3】
【题干】已知函数.
(1)当时,求的极值;
(2)若在上是增函数,求的取值范围.
(1)当时,,在内单调递减,在内单调递增,当时,有极小值,的极小值是
(2)在上,是增函数,当且仅当,即. ①
当时,①恒成立.
当时,若要①成立,则需,解得.
综上,的取值范围是
四、课堂运用
【基础】
1.三次函数f(x)=x3﹣3bx+3b在[1,2]内恒为正值,则b的取值范围是 _________ .
【答案】
【解析】方法1:
拆分函数f(x),根据直线的斜率观察可知在[1,2]范围内,直线y2与y1=x3相切的斜率是3b的最大值,求出b的取值范围
方法2:
利用函数导数判断函数的单调性,再对b进行讨论,比较是否与已知条件相符,若不符则舍掉,最后求出b的范围。
2.对于总有成立,则的值为多少?
【答案】a=4
【解析】若,则不论取何值,显然成立;
当,即时可化为.
设,则,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,
因此,从而.
当,即时,可化为,则在区间上单调递增,因此,从而.
综上所述.
【巩固】
1.设为实数,函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)求的最小值;
(3)设函数,直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
(1)若,则
(2)当时,
当时,
综上
(3)时,得,
当时,△>
0,得:
讨论得:
当时,解集为;
当时,解集为.
2.已知函数,讨论的单调性.
【解析】的定义域是(0,+),
设,二次方程的判别式.
①当,即时,对一切都有,此时在上是增函数。
②当,即时,仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
③当,即时,
方程有两个不同的实根,,.
+
_
单调递增
极大
单调递减
极小
此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增.
【拔高】
1.设函数
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅲ)若函数在区间内单调递增,求的取值范围.
(Ⅰ),
曲线在点处的切线方程为.
(Ⅱ)由,得,
若,则当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
若,则当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若,则当且仅当,
即时,函数内单调递增,
若,则当且仅当,
即时,函数内单调递增,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
综上可知,函数内单调递增时,的取值范围是.
2.已知函数f(x)=x-ax+(a-1),。
(1)讨论函数的单调性;
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)证明:
若,则对任意x,x,xx,有。
【解析】
(1)的定义域为。
(i)若即,则
故在单调增加。
(ii)若,而,故,则当时,;
当及时,
故在单调减少,在单调增加。
(iii)若,即,同理可得在单调减少,在单调增加.
(II)考虑函数
则
由于1<
a<
5,故,即g(x)在(4,+∞)单调增加,从而当时有,即,故,当时,有
课程小结
关于运用导数解决含参函数问题的策略还有很多,参数问题形式多样,方法灵活多变,技巧性较强,对于某些“含参函数”题目,不一定用某一种方法,还可用多种方法去处理.这就要求我们养成良好的数学思维,有良好的观察与分析问题的能力,灵活的转化问题能力,使所见到的“含参函数”问题能更有效地解决.
课后作业
1.已知函数
(1)如,求的单调区间;
(2)若在单调增加,在单调减少,证明<6.w.
【解析】
(Ⅰ)当时,,故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当
从而单调减少.
(Ⅱ)
由条件得:
从而
因为所以
将右边展开,与左边比较系数得,故
又由此可得
于是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2.设函数有两个极值点,且
(I)求的取值范围,并讨论的单调性;
(II)证明:
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(I)
令,其对称轴为。
由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根,其充要条件为,得
⑴当时,在内为增函数;
⑵当时,在内为减函数;
⑶当时,在内为增函数;
(II)由(I),
设,
⑴当时,在单调递增;
⑵当时,,在单调递减。
故.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1.已知函数,其中
若在x=1处取得极值,求a的值;
求的单调区间;
(Ⅲ)若的最小值为1,求a的取值范围。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)
∵在x=1处取得极值,∴解得
∵∴
①当时,在区间∴的单调增区间为
②当时,
由
∴
(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)①知,
当时,由(Ⅱ)②知,在处取得最小值
综上可知,若得最小值为1,则a的取值范围是
2.已知函数.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.
【解析】∵,
∴函数的最小正周期为.
(Ⅱ)由,∴,
∴在区间上的最大值为1,最小值为.
1.已知关于x的函数f(x)=+bx2+cx+bc,其导函数为f+(x).令g(x)=∣f+(x)∣,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.
(Ⅰ)如果函数f(x)在x=1处有极值-,试确定b、c的值:
(Ⅱ)若∣b∣>
1,证明对任意的c,都有M>
2:
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立,试求k的最大值。
【解析】,由在处有极值
可得
解得或
若,则,此时没有极值;
若,则
当变化时,,的变化情况如下表:
1
极小值
极大值
当时,有极大值,故,即为所求。
(Ⅱ)证法1:
当时,函数的对称轴位于区间之外。
在上的最值在两端点处取得
故应是和中较大的一个
即
证法2(反证法):
因为,所以函数的对称轴位于区间之外,
在上的最值在两端点处取得。
假设,则
将上述两式相加得:
,导致矛盾,
(Ⅲ)解法1:
(1)当时,由(Ⅱ)可知;
(2)当时,函数)的对称轴位于区间内,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m此时
由有
①若则,
于是
②若,则
综上,对任意的、都有
而当时,在区间上的最大值
故对任意的、恒成立的的最大值为。
解法2:
(2)当时,函数的对称轴位于区间内,
此时
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m,即
2.已知函数,其中w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1)当满足什么条件时,取得极值?
(2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.
(1)由已知得,令,得,
要取得极值,方程必须有解,
所以△,即,此时方程的根为
,
所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当时,
x
(-∞,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f’(x)
+
-
f(x)
增函数
减函数
所以在x1,x2处分别取得极大值和极小值.
当时,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(-∞,x2)
x2
(x2,x1)
x1
(x1,+∞)
综上,当满足时,取得极值.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.
即恒成立,所以
设,,
令得或(舍去),w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当时,,当时,单调增函数;
当时,单调减函数,
所以当时,取得最大,最大值为.
所以
当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以
综上所述,当时,;
当时,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m