高中数学第3章函数的应用311方程的根与函数的零点课时作业新人教A版必修Word文档格式.docx
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C.0,2D.2,-
4.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.(1,2)
5.函数f(x)=
零点的个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
6.已知函数y=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则实数b的取值范围是( )
A.(-∞,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,+∞)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有______个零点,这几个零点的和等于______.
8.函数f(x)=lnx-x+2的零点个数为________.
9.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为________.
x
-1
ex
0.37
2.72
7.39
20.09
x+2
三、解答题
10.证明:
方程x4-4x-2=0在区间[-1,2]内至少有两个实数解.
11.关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围.
能力提升
12.设函数f(x)=
若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则方程f(x)=x的
解的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
13.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求k的取值范围.
1.方程的根与方程所对应函数的零点的关系
(1)函数的零点是一个实数,当自变量取该值时,其函数值等于零.
(2)根据函数零点定义可知,函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程f(x)=0是否有实根,有几个实根.
(3)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象交点的横坐标.
2.并不是所有的函数都有零点,如函数y=
.
3.对于任意的一个函数,即使它的图象是连续不断的,当它通过零点时,函数值也不一定变号.如函数y=x2有零点x0=0,但显然当它通过零点时函数值没有变号.
第三章 函数的应用
§
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
知识梳理
1.2 1 0 2 1 2.使f(x)=0的实数x 3.有实数根 与x轴有交点 有零点 4.连续不断 f(a)·
f(b)<
0 有零点 f(c)=0
作业设计
1.C [方程ax2+bx+c=0中,∵ac<
0,∴a≠0,
∴Δ=b2-4ac>
0,
即方程ax2+bx+c=0有2个不同实数根,
则对应函数的零点个数为2个.]
2.C [对于选项A,可能存在根;
对于选项B,必存在但不一定唯一;
选项D显然不成立.]
3.A [∵a≠0,2a+b=0,
∴b≠0,
=-
令bx2-ax=0,得x=0或x=
.]
4.C [∵f(x)=ex+x-2,
f(0)=e0-2=-1<
f
(1)=e1+1-2=e-1>
∴f(0)·
f
(1)<
∴f(x)在区间(0,1)上存在零点.]
5.C [x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3.
x>
0时,f(x)=lnx-2在(0,+∞)上递增,
f
(1)=-2<
0,f(e3)=1>
0,∵f
(1)f(e3)<
∴f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.
总之,f(x)在R上有2个零点.]
6.A [设f(x)=ax3+bx2+cx+d,则由f(0)=0可得d=0,f(x)=x(ax2+bx+c)=ax(x-1)(x-2)⇒b=-3a,又由x∈(0,1)时f(x)>
0,可得a>
0,∴b<
0.]
7.3 0
解析 ∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,由奇函数的对称性可知,f(x)在(-∞,0)上也单调递增,由f
(2)=-f(-2)=0.因此在(0,+∞)上只有一个零点,综上f(x)在R上共有3个零点,其和为-2+0+2=0.
8.2
解析 该函数零点的个数就是函数y=lnx与y=x-2图象的交点个数.在同一坐标系中作出y=lnx与y=x-2的图象如下图:
由图象可知,两个函数图象有2个交点,即函数f(x)=lnx-x+2有2个零点.
9.1
解析 设f(x)=e2-(x+2),由题意知f(-1)<
0,f(0)<
0,f
(1)<
0,f
(2)>
0,所以方程的一个实根在区间(1,2)内,即k=1.
10.证明 设f(x)=x4-4x-2,其图象是连续曲线.
因为f(-1)=3>
0,f(0)=-2<
0,f
(2)=6>
0.
所以在(-1,0),(0,2)内都有实数解.
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解.
11.解 令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14.
依题意得
或
,
即
,解得-
<
m<
12.C [由已知
得
∴f(x)=
当x≤0时,方程为x2+4x+2=x,
即x2+3x+2=0,
∴x=-1或x=-2;
当x>
0时,方程为x=2,
∴方程f(x)=x有3个解.]
13.解 设f(x)=x2+(k-2)x+2k-1.
∵方程f(x)=0的两根中,一根在(0,1)内,一根在(1,2)内,
∴
,即
k<
2019-2020年高中数学第3章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解课时作业新人教A版必修
课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数,借助于学习工具,用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法,体会“逐步逼近”的思想.
1.二分法的概念
对于在区间[a,b]上连续不断且____________的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________,使区间的两个端点______________,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来求________________________________________________________________________.
2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤:
(1)确定区间[a,b],验证____________,给定精确度ε;
(2)求区间(a,b)的中点____;
(3)计算f(c);
①若f(c)=0,则________________;
②若f(a)·
f(c)<
0,则令b=c(此时零点x0∈________);
③若f(c)·
0,则令a=c(此时零点x0∈________).
(4)判断是否达到精确度ε:
即若|a-b|<
ε,则得到零点近似值a(或b);
否则重复
(2)~(4).
1.用“二分法”可求近似解,对于精确度ε说法正确的是( )
A.ε越大,零点的精确度越高
B.ε越大,零点的精确度越低
C.重复计算次数就是ε
D.重复计算次数与ε无关
2.下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是( )
3.对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下:
f(2007)<
0,f(2008)<
0,f(2009)>
0,则下列叙述正确的是( )
A.函数f(x)在(2007,2008)内不存在零点
B.函数f(x)在(2008,2009)内不存在零点
C.函数f(x)在(2008,2009)内存在零点,并且仅有一个
D.函数f(x)在(2007,2008)内可能存在零点
4.设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f
(1)<
0,f(1.5)>
0,f(1.25)<
0,则方程的根落在区间( )
A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2)D.不能确定
5.利用计算器,列出自变量和函数值的对应关系如下表:
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y=2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
y=x2
0.04
0.36
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
那么方程2x=x2的一个根位于下列哪个区间内( )
A.(0.6,1.0)B.(1.4,1.8)
C.(1.8,2.2)D.(2.6,3.0)
6.已知x0是函数f(x)=2x+
的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )
A.f(x1)<
0,f(x2)<
0B.f(x1)<
0,f(x2)>
C.f(x1)>
0D.f(x1)>
7.若函数f(x)的图象是连续不间断的,根据下面的表格,可以断定f(x)的零点所在的区间为________.(只填序号)
①(-∞,1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4]
⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6,+∞)
f(x)
136.123
15.542
-3.930
10.678
-50.667
-305.678
8.用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点为x0=2.5,那么下一个有根的区间是________.
9.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<
0,f(0.75)>
0,f(0.6875)<
0,即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1).
10.确定函数f(x)=+x-4的零点所在的区间.
11.证明方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解.(精确度0.1)
12.下列是关于函数y=f(x),x∈[a,b]的命题:
①若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;
②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;
③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点;
④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值.
那么以上叙述中,正确的个数为( )
A.0B.1C.3D.4
13.在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻),现在只有一台天平,请问:
你最多称几次就可以发现这枚假币?
1.能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.
2.二分法实质是一种逼近思想的应用.区间长度为1时,使用“二分法”n次后,精确度为
3.求函数零点的近似值时,所要求的精确度不同,得到的结果也不相同.精确度为ε,是指在计算过程中得到某个区间(a,b)后,若其长度小于ε,即认为已达到所要求的精确度,可停止计算,否则应继续计算,直到|a-b|<
ε为止.
3.1.2 用二分法求方程的近似解
1.f(a)·
0 一分为二 逐步逼近零点 方程的近似解
2.
(1)f(a)·
0
(2)c (3)①c就是函数的零点 ②(a,c)
③(c,b)
1.B [依“二分法”的具体步骤可知,ε越大,零点的精确度越低.]
2.A [由选项A中的图象可知,不存在一个区间(a,b),使f(a)·
0,即A选项中的零点不是变号零点,不符合二分法的定义.]
3.D
4.B [∵f
(1)·
f(1.5)<
0,x1=
=1.25.
又∵f(1.25)<
0,∴f(1.25)·
则方程的根落在区间(1.25,1.5)内.]
5.C [设f(x)=2x-x2,根据列表有f(0.2)=1.149-0.04>
f(0.6)>
0,f(1.0)>
0,f(1.4)>
0,f(1.8)>
0,f(2.2)<
0,f(2.6)<
0,f(3.0)<
0,f(3.4)<
0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内.]
6.B [∵f(x)=2x-
,f(x)由两部分组成,2x在(1,+∞)上单调递增,-
在(1,+∞)上单调递增,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增.∵x1<
x0,∴f(x1)<
f(x0)=0,
又∵x2>
x0,∴f(x2)>
f(x0)=0.]
7.③④⑤
8.[2,2.5)
解析 令f(x)=x3-2x-5,则f
(2)=-1<
0,f(3)=16>
f(2.5)=15.625-10=5.625>
∵f
(2)·
f(2.5)<
0,∴下一个有根的区间为[2,2.5).
9.0.75或0.6875
解析 因为|0.75-0.6875|=0.0625<
0.1,
所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解.
10.解 (答案不唯一)
设y1=,y2=4-x,则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数,作出两函数图象,如图.
由图知,y1与y2在区间(0,1)内有一个交点,
当x=4时,y1=-2,y2=0,f(4)<
当x=8时,y1=-3,y2=-4,f(8)=1>
∴在(4,8)内两曲线又有一个交点.
故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1),(4,8).
11.证明 设函数f(x)=2x+3x-6,
∵f
(1)=-1<
0,f
(2)=4>
又∵f(x)是增函数,
∴函数f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]内有唯一的零点,
则方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解.
设该解为x0,则x0∈[1,2],
取x1=1.5,f(1.5)≈1.33>
0,f
(1)·
∴x0∈(1,1.5),
取x2=1.25,f(1.25)≈0.128>
f
(1)·
f(1.25)<
0,∴x0∈(1,1.25),
取x3=1.125,f(1.125)≈-0.444<
f(1.125)·
0,∴x0∈(1.125,1.25),
取x4=1.1875,f(1.1875)≈-0.16<
f(1.1875)·
∴x0∈(1.1875,1.25).
∵|1.25-1.1875|=0.0625<
∴1.1875可作为这个方程的实数解.
12.A [∵①中x0∈[a,b]且f(x0)=0,∴x0是f(x)的一个零点,而不是(x0,0),∴①错误;
②∵函数f(x)不一定连续,∴②错误;
③方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,∴③错误;
④用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,∴④也错误.]
13.解 第一次各13枚称重,选出较轻一端的13枚,继续称;
第二次两端各6枚,若平衡,则剩下的一枚为假币,否则选出较轻的6枚继续称;
第三次两端各3枚,选出较轻的3枚继续称;
第四次两端各1枚,若不平衡,可找出假币;
若平衡,则剩余的是假币.
∴最多称四次.