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理学ct统计重建论文

[理学]ct统计重建论文

[理学]ct统计重建论文基于最大似然和罚似然估计的基于最大似然和罚似然估计的CT统计重建算法研究统计重建算法研究摘要当CT系统在数据采集过程中受到严重的噪声干扰，或者投影数据采集不完全时，用解析重建算法重建出的图像有伪迹。

而统计重建算法具有物理模型准确、对噪声不敏感、易于加入约束条件等优点，其重建的图像质量要优于传统的FBP方法。

针对CT统计重建，本文主要研究了以下内容：

研究了基于最大似然估计的统计重建算法：

期望最大值法（MaximumLikelihoodExpectationMaximization，ML-EM），可分离抛物面型替代（SeparableParaboloidalSurrogate，ML-SPS）算法和这两种算法的有序子集形式（OS-ML-EM和OS-ML-SPS）。

仿真实验结果表明ML-SPS的初始收敛速度比ML-EM快，但该两种算法的收敛速度远慢于其对应的有序子集形式。

用OS-ML-EM算法和OS-ML-SPS算法对CT采集的实际投影数据进行重建，得到了较好的重建结果。

研究了基于罚似然（PenalizedLikelihood，PL）的统计重建算法:

OSL（OneStepLate）-EM算法和PL-SPS算法。

重点讨论了基于Gibbs分布的罚函数，从理论上分析了势函数需要满足的条件以及势函数的选取对图像的影响，着重分析了二次势函数和Huber势函数的优缺点，通过仿真实验对它们的重建结果进行误差分析。

提出了罚似然重建中正则项参数的自适应选取的方法，该方法充分利用每一次迭代的重建结果信息，不断对正则项参数进行更新。

并用于仿真实验和重建CT实际投影数据，重建结果表明该方法降低了噪声，提高了图像质量。

将OS-OSL-EM算法推广到三维锥束轨迹下的图像重建，取得了较好的仿真结果。

关键词：

最大似然估计，CT重建，罚似然估计，有序子集TheStudyofCTStatisticalReconstructionAlgorithmBasedonMaximumLikelihoodandPenalizedLikelihoodEstimatesAbstractWhentheCTdatahasseriousnoiseintheprocessofacquisitionsystemandprojectiondataisincomplete,analyticreconstructionalgorithmgetimageswithartifact.Thestatisticalreconstructionalgorithmwithaaccuratelyphysicalmodelisn’tsensitivetonoiseandeasytoaddconstraintsetc.Therefore,thereconstructedimagequalityissuperiortoconventionalFBPmethods.FortheCTStatisticsreconstruction,Thispapermainlystudiesthefollowingcontent:

Themaximumlikelihoodestimateforthestatisticalreconstructionalgorithmsisstudiedandmainlyincludesexpectationmaximumalgorithm（ML-EM）,separableparaboloidalsurrogate（ML-SPS）algorithmandthebothalgorithmswithorderedsubset（OS-ML-EMandOS-ML-SPS）.Insimulationexperiments,itshowsthattheinitialconvergencerateofML-SPSisfasterthantheML-EM,however,thebothalgorithmsisslowerthanOS-ML-EMandOS-ML-SPSalgorithms.Atlast,OS-ML-SPSandOS-ML-EMalgorithmsareusedtoreconstructactualCTprojectiondataandgetbetterimage.Penalizedmaximumlikelihood（PL）reconstructionforthestatisticalalgorithmsisbasedonthepenalizedlikelihoodestimatesandaddsapenaltytermtosuppressnoise,whichmainlyincludesOSL-EMalgorithmandPL-SPSalgorithm.ItisfocusedonthepenaltyfunctionwhichisbasedonGibbsdistributionandanalyzestheneedofpotentialfunctionstomeettheconditions,theinfluenceonimagefortheselectionofpotentialfunctionsandtheadvantagesanddisadvantagesofthequadraticfunctionandtheHuberfunction.Atlast,simulationexperimentsgivetheerroranalysisofreconstructedimage.ThismethodwhichisanadaptivelyregulariedCTimagereconstructioncanadaptivelychooseregularizationparameterswithmakingfulluseoftheresultsofeveryiterationtoupdateregularizationparameters.Simulationresultsshowthatthismethodreducesthenoiseandimproveimagequality.ThemethodisusedtoreconstructtheactualCTprojectiondatatodemonstratethefeasibilityandpracticality.OS-OSL-EMalgorithmisappliedtothree-dimensionalcone-beamimagereconstructionandgetsthebetterimage.Keywords:

maximumlikelihoodestimate,CTReconstruction,Penalizedmaximumlikelihood,orderedsubsetsI目目录录第一章绪论1.1课题研究背景及意义11.2国内外研究现状11.3论文的主要工作及结构安排4第二章CT统计重建的基础2.1CT成像理论.52.2统计重建的数学模型72.3优化变换原理82.4图像重建算法评价.9第三章基于最大似然准则的CT统计重建算法3.1最大似然准则的基本理论113.2ML-EM算法.123.3ML-SPS算法143.4有序子集的统计重建方法.173.4.1有序子集ML-EM173.4.2有序子集ML-SPS193.5实验结果及分析203.5.1ML-EM算法与ML-SPS算法的重建结果213.5.2OS-ML-EM算法与OS-ML-SPS算法的重建结果.23第四章基于罚似然的CT统计重建算法4.1罚似然的基本理论.254.2OSL-EM算法.31II4.3OS-PL-SPS算法.334.3.1PL-SPS算法.334.3.2有序子集PL-SPS算法.344.4自适应选择正则项参数354.5实验结果与分析.364.5.1OSL-EM算法实验结果分析.374.5.2OS-PL-SPS算法实验结果分析384.5.3自适应选择正则项参数的实验结果分析40第五章锥束轨迹下有序子集罚似然统计（PL）重建5.1锥束扫描下的投影矩阵的生成425.2锥束下的OS-OSL-EM算法重建结果及分析.44第六章总结与展望6.1研究主要内容及成果476.2存在的问题及以后的工作展望48参考文献攻读硕士学位期间发表的论文致谢1第一章绪论1.1课题研究背景及意义计算机层析成像技术是利用有某种能量的射线源对物体进行断层扫描，根据所获得的某种物理量（指物质对射线的衰减系数），运用特定的重建算法，重建出物体某个断层的无影像重叠的二维图像。

自1967年CT（ComputedTomography）在英国问世以来，技术迅速发展，被公认为是20世纪影响人类发展的十大技术之一，其应用涉及到医学、工业、石油、物探、材料、生物、安全等众多领域。

在国防工业中，CT已成为航天器、固体火箭发动机、高新技术等产品关键部件检测的必不可少的工具。

由于CT技术是发展国防的基础技术之一，被发达国家列为敏感技术，作为国家机密进行严格的控制。

因此，CT技术被视为国家科技实力的标志之一。

从数学上说，CT是从投影到重建图像的反问题[1]，具有普遍性，在数学界已经引起了广泛的重视。

重建算法是工业CT技术中较为关键的一部分，CT重建算法主要可以分为滤波反投影重建算法和迭代重建算法。

当投影数据完备、噪声不很严重时，解析法（滤波反投影（FBP）[2][3]等）可以得到很好的重建图像，但当CT系统在数据采集过程中受到严重的噪声干扰，或者投影数据采集不完全时，用解析重建算法得到的图像有伪迹。

而迭代重建算法（统计迭代算法和代数迭代算法等）可以用来重建不完全数据、动态数据和噪声数据。

其中统计迭代重建方法的优势是其对噪声的鲁棒性，通过加入先验模型和统计规律可以有效的抑制噪声，提高图像质量。

本课题主要研究统计算法在CT重建中的应用，通过研究有序子集的方法来提高收敛速度，加入惩罚项，约束项来降低噪声的影响，提高图像质量，为国内三维工业CT的研制提供理论基础和技术支持。

1.2国内外研究现状2近十几年来，CT广泛的应用在医学和工业上，相应的CT算法也迅速发展。

其中解析算法重建速度较快，易于实现，是目前CT图像重建技术中最常用的算法。

但是该算法通常要求采样数据是完全的，而且对噪声比较敏感，这在一定程度上影响了重建图像的质量，限制了它在实际中的应用。

相对解析算法、代数迭代算法而言，统计迭代算法能准确描述投影数据的物理模型，对误差不敏感，易于加入约束条件等优点逐渐引起人们的重视，然而它与代数重建算法[4]一样重建速度慢，运算时间长，这些缺点极大地限制了它的应用，但是随着加速算法和计算机硬件技术的发展，统计重建将在实际中得到了广泛地应用。

一个完整的统计重建框架包括①图像的离散化②系统的物理几何模型③测量的统计模型（泊松分布）④优化准则（最大似然准则和罚似然准则）⑤求解方法。

第①步是考虑如何对重建的图像进行建模，将待重建的图像离散成二维或者三维的像素矩阵，第②步考虑如何确定投影矩阵，与系统的几何结构和建模方法相关[5-10]，第③步ijAaA确定投影数据的模型，在统计重建中，一般认为投影数据服从泊松分布。

第④步是引入一定的优化准则。

第⑤步在④的基础之上进行问题的求解，该问题的求解实际上是一个参数估计的数学优化问题。

统计重建的优化方法中涉及到优化变换（optimizationtransfer，OT），增量方法（incrementalmethod），有序子集加速（orderedsubset，OS），这三种优化方法是统计重建方法发展的主线[11]。

在统计重建中，最大似然估计（MaximumLikelihood，ML）是一种常用方法。

1977年，A.P.Dempster等人把期望值最大化（ExpectationMaximization,EM）算法引入图像重建之中。

1982年，Shepp[12]和Vardi[13]首次把期望最大迭代算法[14]应用到CT算法中，使似然函数最大化，之后ML-EM算法得到了广泛的应用。

1997年，Fessler[15]等人提出了基于替代函数（surrogatefunction）的优化理论，其基本思想是在M步（maximizationstep）直接对E步（expectationstep）中所得到目标函数的替代函数作最大化处理，这一突破性的改进在很大程度上应当归功于DePierro的凸性（convexity）算法[16][17]。

当然替代函数的选取需要满足一定的条件，其它替代函数算法还包括Fessler[18-21]，Zheng[22]提出的算法以及全局收敛的增量优化传递算法。

31994年，Hudson和Larkin提出了有序子集（OrderedSubsets）[23]EM算法（OS-EM），大大提高了收敛速度。

OS-EM算法将投影数据分解成有限个有序子集，每次迭代时只处理其中一个子集的数据，由于加速效果明显，OS-EM算法及其各种变形算法此后便被广泛地应用。

其中RAMLA（row-actionmaximunlikelihoodalgorithm）[24]重建算法的思想来源于Herman的代数重建算法和Hudson等人的OS-EM算法，该算法也是将投影数据分成一系列不正交的投影数据子集，并引入一个松弛因子，该算法可以从理论上证明其收敛到ML的收敛点，并且其收敛速度和OS-EM算法差不多。

虽然子集类算法收敛速度快，但不能全局收敛，迭代到一定次数会出现极限环，为了解决该问题，S.Ahn和J.A.Fessler提出了改进的块迭代EM算法[25]，E.Quan和D.SLalush等人提出了基于快速子集的凸算法在CT中的应用[26]。

最大后验概率重建算法（maximumaposteriori，MAP）[27][28]是一种贝叶斯重建算法,也可以称为罚似然重建（PenalizedLikelihood，PL）[29-32]，该算法和ML重建算法可以说是一对关系亲密的姊妹，因为ML算法是寻求合适的图像的估计值使得图像得到的已知投影的概率最大；而贝叶斯重建算法是从已知的投影出发，要求在给定投影情况下所求图像的概率最大，通过选择合适的先验分布模型来提高重建结果的质量，其作用等同于优化理论中的正则项（惩罚项）。

正则化技术最早由Tikhonov在著作中提出，他研究了求解不适定问题稳定解的基本理论，并提出了著名的Tikhonov正则化技术。

先验模型的引入虽然能改善重建效果，但同时增加了估计的难度。

就泊松观测模型而言，它本身属于非线性模型，因此它的ML估计和MAP估计均没有闭型解析式。

针对这一问题，Herbert最先提出GEM（generalizedEM）算法[33]，Green给出了经典的OSL（one-step-late）算法[34]，Fessler[35]提出了罚似然的SAGE（space-alternatinggeneralizedEM）算法，另外DePierro的[36][37]凸性算法也涉及到了最大后验估计的问题。

在以后的工作中，DePierro和Yamagishi[38]将RA（row-action）思想与最大后验估计的思想相结合，提出了BSREM（blocksequentialregularizedexpectationmaximization）算法。

ChungChan,RogerFulton[39]等人提出了自适应结构先验在CT中的应用，根据图像结构块中灰度的不同自适应的选择滤波。

XiaochuanPan[40]阐述了最小化TV正则项（totalvariation）在图像重建中的应用。

JingWang,TianfangLi[41]等人把基于最小二乘的罚函数方法用于投影数据的去噪，提高了图像重建的质量。

41.3论文的主要工作及结构安排本文CT统计迭代重建算法为研究课题，主要做了以下工作：

第一章主要介绍了课题的研究背景、意义，综述了CT及其发展历史，CT技术的发展意义及统计重建算法的研究现状。

最后提出了本文的研究内容，确定了本文的研究方向。

第二章首先给出了CT统计重建的物理和数学基础，然后介绍了优化变换原理，最后介绍了图像重建质量的评价标准。

第三章首先详细介绍了最大似然估计类的重建算法：

ML-EM算法和可分离抛物面型替代（SeparableParaboloidalSurrogate，ML-SPS）算法，它们的推导过程和实现步骤，然后对有序子集的方法进行阐述，并详细介绍了OS-ML-EM算法和OS-ML-SPS算法的实现步骤。

实验中对比了ML-EM算法和ML-SPS算法的实验结果，并用OS-ML-EM算法和OS-ML-SPS算法对CT采集的实际投影数据进行重建，得到了较好的重建结果。

第四章先介绍了罚似然估计的理论知识，重点介绍了基于Gibbs分布的罚函数，从理论上分析了势函数需要满足的条件以及势函数的选取对图像的影响。

然后介绍了OSL（OneStepLate）-EM算法和PL-SPS算法的推导和实现，接着提出了自适应选择正则项参数的罚似然重建，通过对正则项参数的改进来提高图像的质量。

算法实现中选用了二次势函数和Huber势函数来重建图像，对它们的重建结果进行误差分析，并用提出的自适应选取正则项参数的方法来重建CT实际投影数据，取得了较好的结果，验证了方法的实用性。

第五章介绍了OS-OSL-EM算法在三维锥束轨迹下的应用，首先介绍了锥束扫描结构下的投影矩阵的计算，然后用OS-OSL-EM算法对仿真投影数据进行重建，并与OS-OSL-EM算进行比较分析。

第六章对本课题的研究内容进行了总结，指出本文的创新之处和解决的问题，并提出了尚未解决的问题，指明了今后研究的重点。

5第二章CT统计重建的基础在过去的几十年里，统计迭代法一直是断层重建研究的热点，其重建图像的过程就是利用参数估计，优化变换原理等来逼近最优解一个过程。

在重建过程中，首先确定能够正确反映成像系统的物理模型和统计模型以及输入输出关系，然后利用已知的条件确定求解方法。

而且统计重建可以利用与物体相关的约束条件和其他的与特定系统相关的边界条件，利用精确的物理模型和适当的统计模型，可以在数据缺失和不规则采样的情况下重建出满意的图像。

2.1CT成像理论CT图像重建的原理是用穿透力强的射线扫描被测物体，当一束强度大致均匀的射线投照到物体上时，射线一部分被吸收和散射，另一部分透过物体沿原方向传播。

由于物体的各种结构在密度、厚度等方面存在不同，它们对射线的吸收量也不相同，从而使透过物体的射线强度分布发生变化，通过CT采集、转换得到投影数据，并运用相应的数学模型，进行图像重建出二维或三维图像，最后通过算法将射线强度分布转换成图像上的灰度分布，形成人眼可视的图像。

取一理想的X射线源，它发出极细的笔束X射线，在被测物体对面置一探测器，如图2.1（a）所示。

假设强度为的X射线穿过均匀分布衰减系数为的物体，行进了0Iu的距离，强度变为，按Beer定理有xI00ln（/）uxiieuxII或（2.1）如图2.1（b）所示，若物体是分段均匀的，衰减系数分别是,相应的长度为1,23,.uuu则下式成立：

1,23,.xxx1230.ln（/）uxuxuxII（2.2）6更一般，若物体在平面内为不均匀介质，则在某一方向，射线沿某一路径的总衰xylL减值为00（,）ln（/）（）exp（,）LLxydlIIILIxydl（2.3）其中表示物体在二维平面上的衰减系数。

是检测到的强度；是射线经（,）xy（）ILL过的直线，是直线的弧长。

dl若没有具体路径，只说了沿着某一个方向，那么是投影，由等式（2.3）可知，dlμ测得与，即可知道。

在CT中，入射的射线强度与出射的射线强度之比经过0IIdlμ取对数运算后，则成了沿射线路径上衰减系数的线积分。

CT重建问题实际上是给定一个待重建物体的被测量的投影即线积分，然后运用算法去计算物体的衰减分布即dlμ被积函数。

μxoI射线源I探测器oI射线源I探测器1x2x3xNx123N（a）均匀物体（b）非均匀物体图2.1单能X射线束在物体中的衰减图示1917年，丹麦数学家雷当（J．Radon）研究已经为CT技术建立了数学基础，从数学理论上证明了某种物理参量的二维分布函数，由该函数在其定义域内的所有线积分确定。

该结论指出了如果没有无穷多个且积分路径互不完全重叠的线积分，只能确定实际分布的一个估计近似值。

有了上述数学、物理基础后，为了实现工程技术上的应用，还需要解决两个主要问题。

首先是如何采集到检测断层衰减系数线积分的数据集，其次是如何充分利用该数据集确定出衰减系数的二维分布。

解决第一个问题可采用不同的扫描方式，即用射7线束穿过被测体所检测断层并相应进行射线强度测量的规律性，可采用各种不同的扫描检测模式围绕提高扫描检测效率。

解决第二个问题则是选择合适的图像重建算法，一类是解析法，以滤波反投影算法为代表。

另一类是迭代重建法，有代数重建和统计重建。

统计重建是本论文研究的主要方向，下面具体介绍该算法。

2.2统计重建的数学模型在CT图像重建中，图像区域是重建区域，首先应当明确，图像区域是一个正方形，其中心在坐标原点；图像函数是一个二元函数，其值在图像区域之外为零。

一个具有个元素的网格把这个图像区域分成2n个相等的正方形，每个小正方形（像素）内图像函n数的值是均匀相等的。

一幅图