坐标系与参数方程选修44Word文档下载推荐.docx

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ρ＝r；

（2）当圆心位于M（a,0），半径为a：

ρ＝2acosθ；

（3）当圆心位于M

，半径为a：

ρ＝2asinθ.

2．直线的极坐标方程

若直线过点M（ρ0，θ0），且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：

ρsin（θ－α）＝ρ0sin（θ0－α）．

几个特殊位置的直线的极坐标方程：

（1）直线过极点：

θ＝θ0和θ＝π＋θ0；

（2）直线过点M（a,0）且垂直于极轴：

ρcosθ＝a；

（3）直线过M

且平行于极轴：

ρsinθ＝b.

[全练——快速解答]

1．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

2．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·

|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为

，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

3．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos

＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．

（1）写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

（2）设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

1.极坐标方程与普通方程互化技巧

（1）巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．

（2）巧借两角和差公式，转化ρsin（θ±

α）或ρcos（θ±

α）的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．

（3）将直角坐标方程中的x转化为ρcosθ，将y换成ρsinθ，即可得到其极坐标方程．

2．求解与极坐标有关的问题的主要方法

（1）直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．

（2）转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．

参数方程

几种常见曲线的参数方程

（1）圆

以O′（a，b）为圆心，r为半径的圆的参数方程是

其中α是参数．

当圆心在（0,0）时，方程为

（2）椭圆

椭圆

＋

＝1（a＞b＞0）的参数方程是

其中φ是参数．

（3）直线

经过点P0（x0，y0），倾斜角为α的直线的参数方程是

其中t是参数．

1．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（θ为参数），直线l的参数方程为

（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1,2），求l的斜率．

2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（1）若a＝－1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为

，求a.

3．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝

，求直线l的倾斜角α的值．

1．有关参数方程问题的2个关键点

（1）参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化．

（2）利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义．

2．利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题

经过点P（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为

（t为参数）．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：

（1）t0＝

；

（2）|PM|＝|t0|＝

（3）|AB|＝|t2－t1|；

（4）|PA|·

|PB|＝|t1·

t2|.

极坐标方程与参数方程的综合应用

　在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为

（t为参数），直线l2的参数方程为

（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：

ρ（cosθ＋sinθ）－

＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．

解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法

（1）对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰.

（2）对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．

（3）利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．

[练通——即学即用]

1．已知曲线C：

（α为参数）和定点A（0，

），F1，F2是此曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线AF2的极坐标方程；

（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M，N两点，求||MF1|－|NF1||的值．

2．在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为

（β为参数），在极坐标系中，直线l1的方程为α1＝θ，直线l2的方程为α2＝θ＋

.

（1）写出曲线M的普通方程，并指出它是什么曲线；

（2）设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．

1．已知曲线C1的参数方程为

（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin（θ＋

），直线l的直角坐标方程为y＝

x.

（1）求曲线C1和直线l的极坐标方程；

（2）已知直线l分别与曲线C1、曲线C2相交于异于极点的A，B两点，若A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值．

2．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为

（t为参数），圆C2：

（x－2）2＋y2＝4，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求C1，C2的极坐标方程和交点A的坐标（非坐标原点）；

（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝

（ρ∈R），设C2与C3的交点为B（非坐标原点），求△OAB的最大面积．

3．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1,2），点C的极坐标为（3，

），若直线l过点P，且倾斜角为

，圆C以点C为圆心，3为半径．

（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；

（2）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·

|PB|.

4．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同．已知圆C1的极坐标方程为ρ＝4（cosθ＋sinθ），P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足|OQ|＝

|OP|，点Q的轨迹为C2.

（1）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；

（2）已知直线l的参数方程为

（t为参数，0≤φ＜π），l与曲线C2有且只有一个公共点，求φ的值．