专题五二次函数与幂函数高考数学一轮复习专题.docx

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专题五二次函数与幂函数高考数学一轮复习专题

专题五二次函数与幂函数

一、题型全归纳

题型一幂函数的图象及性质

【题型要点】1．巧识幂函数的图象和性质

2.幂函数的图象与性质问题的解题策略

（1）关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．

（2）关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．

（3）在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．

【例1】已知幂函数y＝xm2－2m－3（m∈N*）的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，则m的所有可能取值为．

【解析】因为幂函数y＝xm2－2m－3（m∈N*）的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，所以m2－2m－3≤0且m2－2m－3（m∈N*）为偶数．由m2－2m－3≤0得－1≤m≤3，又m∈N*，所以m＝1，2，3，当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4为偶数，符合题意；当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3为奇数，不符合题意；当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0为偶数，符合题意．综上所述，m＝1，3.

【例2】幂函数y＝f（x）的图象过点（4,2），则幂函数y＝f（x）的图象是（　　）

【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），所以2＝4α，解得α＝

，

所以y＝

，其定义域为[0，＋∞），且是增函数，当0

题型二求二次函数的解析式

【题型要点】求二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：

【例1】已知二次函数f（x）满足f

（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

【解析】解法一（利用一般式）：

设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．由题意得

解得

所以所求二次函数的解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.

解法二（利用顶点式）：

设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）．因为f

（2）＝f（－1），f（－1）＝－1，所以抛物线的对称轴为x＝

＝

.所以m＝

.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f（x）＝a

＋8.因为f

（2）＝－1，所以a

＋8＝－1，解得a＝－4，所以f（x）＝－4

＋8＝－4x2＋4x＋7.

解法三（利用零点式）：

由已知得f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1），

即f（x）＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即

＝8.解得a＝－4或a＝0（舍去），

所以所求函数的解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.

题型三二次函数的图象与性质

命题角度一　二次函数图象的识别问题

【题型要点】确定二次函数图象应关注的三个要点

一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向．

二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置．

三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．

从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．

【例1】（2020·陕西榆林一中模拟）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：

①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a

A．②④　　　　　　　　B．①④

C．②③D．①③

【答案】B

【解析】因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－

＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a

命题角度二　二次函数的单调性及最值问题

【题型要点】二次函数的单调性及最值问题

（1）类型：

①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．

（2）解决这类问题的思路：

抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．

【例1】求函数f（x）＝x2＋2ax＋1在区间[－1，2]上的最大值．

【解析】f（x）＝（x＋a）2＋1－a2，所以f（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.

①当－a<

即a>－

时，f（x）max＝f

（2）＝4a＋5.②当－a≥

即a≤－

时，f（x）max＝f（－1）＝2－2a，

综上，f（x）max＝

【例2】函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1在区间[－1，＋∞）上是递减的，则实数a的取值范围是．

【解析】当a＝0时，f（x）＝－3x＋1在[－1，＋∞）上递减，满足条件．

当a≠0时，f（x）的对称轴为x＝

，由f（x）在[－1，＋∞）上递减知

解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0]．故填[－3，0]．

命题角度三　一元二次不等式恒成立问题

【题型要点】1.不等式恒成立求参数取值范围的思路

一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．

2.记牢一元二次不等式恒成立的条件

（1）ax2＋bx＋c>0（a≠0）恒成立的充要条件是

（2）ax2＋bx＋c<0（a≠0）恒成立的充要条件是

【例1】已知函数f（x）＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是．

【解析】作出二次函数f（x）的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f（x）<0，

则有

即

解得－

【例2】已知函数f（x）＝x2＋2x＋1，f（x）>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为．

【解析】由题意得x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．

设g（x）＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g（x）在[－3，－1]上递减．所以g（x）min＝g（－1）＝1.

所以k<1.故k的取值范围为（－∞，1）．

题型四分类讨论思想在二次函数问题中的应用

【题型要点】二次函数是单峰函数（在定义域上只有一个最值点的函数），x＝－

为其最值点横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系、二次函数开口方向进行分类讨论，研究其最值

【例1】已知函数f（x）＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，则实数a的值为________．

【解析】：

f（x）＝a（x＋1）2＋1－a.

（1）当a＝0时，函数f（x）在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；

（2）当a>0时，函数f（x）在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f

（2）＝8a＋1＝4，解得a＝

；

（3）当a<0时，函数f（x）在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f（－1）＝1－a＝4，解得a＝－3.

【例2】已知函数f（x）＝x2－2tx＋1在区间[2，5]上单调且有最大值为8，则实数t的值为．

【解析】　函数f（x）＝x2－2tx＋1图象的对称轴是x＝t，

函数在区间[2，5]上单调，故t≤2或t≥5.若t≤2，则函数f（x）在区间[2，5]上是增函数，

故f（x）max＝f（5）＝25－10t＋1＝8，解得t＝

；若t≥5，则函数f（x）在区间[2，5]上是减函数，

此时f（x）max＝f

（2）＝4－4t＋1＝8，解得t＝－

，与t≥5矛盾．综上所述，t＝

.综上可知，a的值为

或－3.

二、高效训练突破

一、选择题

1.（2020·洛阳一中月考）抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分别位于原点两侧，则a，b，c的符号为（　　）

A．a＜0，b＜0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0

C．a＜0，b＜0，c＞0D．a＜0，b＞0，c＜0

【解析】由题意知抛物线开口向下，故a<0.由抛物线与x轴的两个交点分别位于原点两侧得

<0，所以c>0.再由顶点在第一象限得－

>0，所以b>0.

2．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋5满足条件f（－1）＝f（3），则f

（2）的值为（　　）

A．5B．6

C．8D．与a，b的值有关

【解析】因为函数f（x）＝ax2＋bx＋5满足条件f（－1）＝f（3），所以f（x）＝ax2＋bx＋5的图象关于x＝

＝1对称，则f

（2）＝f（0）＝5.故选A.

3.如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．c

【解析】：

根据幂函数的性质，可知选D.

4．（2020·辽宁第一次联考）设函数f（x）＝x

，若f（a）>f（b），则（　　）

A．a2>b2B．a2

C．ab

【答案】A.

【解析】：

函数f（x）＝x

＝（x2）

，令t＝x2，易知y＝t

，在第一象限为单调递增函数．又f（a）>f（b），所以a2>b2.故选A.

5．对任意的x∈[－2,1]，不等式x2＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，0]B．（－∞，3]

C．[0，＋∞）D．[3，＋∞）

【解析】设f（x）＝x2＋2x－a（x∈[－2,1]），其对称轴为x＝－1，所以当x＝1时，f（x）取得最大值3－a，

所以3－a≤0，解得a≥3.故选D.

6.（2020·石家庄市模拟

（一））若函数f（x）＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为（1，0）和（3，0），则函数f（x）（　　）

A．在（－∞，2）上递减，在[2，＋∞）上递增B．在（－∞，3）上递增

C．在[1，3]上递增D．单调性不能确定

【解析】：

由已知可得该函数图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f（x）在（－∞，2）上是递减的，在[2，＋∞）上是递增的．

7.（2020·福建连城一模）已知函数f（x）＝2ax2－ax＋1（a<0），若x1

A．f（x1）＝f（x2）B．f（x1）>f（x2）

C．f（x1）

【解析】：

由题知二次函数f（x）的图象开口向下，图象的对称轴为x＝

，因为x1＋x2＝0，所以直线x＝x1，x＝x2关于直线x＝0对称，由x1

8.（2020·甘肃甘谷一中第一次质检）若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为

，则m的取值范围是（　　）

A．[0，4]B.

C.

D.

【解析】：

二次函数图象的对称轴为x＝

，且

＝－

，f（3）＝f（0）＝－4，结合函数图象（如图所示）

可得m∈

9．（2019·襄阳五中期中）已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d.若f（x）＝2019－（x－a）（x－b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（　　）

A．a＞c＞b＞dB．a＞b＞c＞d

C．c＞d＞a＞bD．c＞a＞b＞d

【解析】f（x）＝2019－（x－a）（x－b）＝－x2＋（a＋b）x－ab＋2019，又f（a）＝f（b）＝2019，c，d为函数f（x）的零点，且a＞b，c＞d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f（x）的大致图象，如图所示，

由图可知c＞a＞b＞d.故选D.

10.（2019·杭州测试）若函数f（x）＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为（　　）

A．[－3,3]B．[－1,3]

C．{－3,3}D．{－1，－3,3}

【解析】因为函数f（x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2的图象的对称轴为直线x＝1，f（x）在区间[a，a＋2]上的最小值为4，所以当a≥1时，f（x）min＝f（a）＝（a－1）2＝4，a＝－1（舍去）或a＝3；当a＋2≤1，即a≤－1时，f（x）min＝f（a＋2）＝（a＋1）2＝4，a＝1（舍去）或a＝－3；当a＜1＜a＋2，即－1＜a＜1时，f（x）min＝f

（1）＝0≠4.故a的取值集合为{－3,3}．故选C.

二、填空题

1.二次函数的图象过点（0,1），对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________．

【解析】依题意可设f（x）＝a（x－2）2－1（a＞0），又其图象过点（0,1），所以4a－1＝1，所以a＝

，所以

f（x）＝

（x－2）2－1.

2.（2020·甘肃兰州一中月考）已知函数f（x）＝（m2－m－1）xm2－2m－3是幂函数，且在x∈（0，＋∞）上递减，则实数m＝．

【解析】：

根据幂函数的定义和性质，得m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1，

当m＝2时，f（x）＝x－3在（0，＋∞）上是减函数，符合题意；

当m＝－1时，f（x）＝x0＝1在（0，＋∞）上不是减函数，所以m＝2.

3.设函数f（x）＝mx2－mx－1，若对于x∈R，f（x）<0恒成立，则实数m的取值范围是．

【解析】：

当m＝0时，f（x）＝－1<0，符合题意．当m≠0时，f（x）为二次函数，则由f（x）<0恒成立得

即

解得－4

4.若函数f（x）＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为．

【解析】：

因为函数f（x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2，对称轴x＝1，因为f（x）在区间[a，a＋2]上的最小值为4，

所以当1≤a时，f（x）min＝f（a）＝（a－1）2＝4，解得a＝－1（舍去）或a＝3，

当a＋2≤1，即a≤－1时，f（x）min＝f（a＋2）＝（a＋1）2＝4，解得a＝1（舍去）或a＝－3，

当a<1

（1）＝0≠4，故a的取值集合为

.

5.（2020·重庆（区县）调研测试）已知函数f（x）＝－2x2＋mx＋3（0≤m≤4，0≤x≤1）的最大值为4，则m的值为．

【解析】：

f（x）＝－2x2＋mx＋3＝－2

＋

＋3，

因为0≤m≤4，所以0≤

≤1，所以当x＝

时，f（x）取得最大值，所以

＋3＝4，解得m＝2

.

6.（2019·河北师大附中期中）若函数f（x）＝mx2－2x＋3在[－1，＋∞）上单调递减，则实数m的取值范围为________．

【解析】当m＝0时，f（x）＝－2x＋3在R上单调递减，符合题意；当m≠0时，函数f（x）＝mx2－2x＋3在[－1，＋∞）上单调递减，只需对称轴x＝

≤－1，且m＜0，解得－1≤m＜0，综上，实数m的取值范围为[－1,0]．

7.定义：

如果在函数y＝f（x）定义域内的给定区间[a，b]上存在x0（a

，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．

【解析】：

因为函数f（x）＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x0为均值点，

所以

＝m＝f（x0），即关于x0的方程－x

＋mx0＋1＝m在（－1，1）内有实数根，

解方程得x0＝1或x0＝m－1.所以必有－1

三、解答题

1.（2019·杭州模拟）已知值域为[－1，＋∞）的二次函数f（x）满足f（－1＋x）＝f（－1－x），且方程f（x）＝0的两个实根x1，x2满足|x1－x2|＝2.

（1）求f（x）的表达式；

（2）函数g（x）＝f（x）－kx在区间[－1,2]上的最大值为f

（2），最小值f（－1），求实数k的取值范围．

【解析

（1）由f（－1＋x）＝f（－1－x）可得f（x）的图象关于直线x＝－1对称，设f（x）＝a（x＋1）2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h（a≠0），由函数f（x）的值域为[－1，＋∞），可得h＝－1，根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－2，x1x2＝1＋

，所以|x1－x2|＝

＝

＝2，解得a＝1，所以f（x）＝x2＋2x.

（2）由题意得函数g（x）在区间[－1,2]上单调递增，又g（x）＝f（x）－kx＝x2－（k－2）x.所以g（x）的对称轴方程为x＝

，则

≤－1，即k≤0，故k的取值范围为（－∞，0]．

2.（2020·辽宁第一次联考）已知幂函数f（x）＝（m－1）2xm2－4m＋3（m∈R）在（0，＋∞）上单调递增．

（1）求m的值及f（x）的解析式；

（2）若函数g（x）＝－

＋2ax＋1－a在[0，2]上的最大值为3，求实数a的值．

【解析】：

（1）幂函数f（x）＝（m－1）2xm2－4m＋3（m∈R）在（0，＋∞）上单调递增，

故

解得m＝0，故f（x）＝x3.

（2）由f（x）＝x3，得g（x）＝－

＋2ax＋1－a＝－x2＋2ax＋1－a，

函数图象为开口方向向下的抛物线，对称轴为x＝a.因为在[0，2]上的最大值为3，所以

①当a≥2时，g（x）在[0，2]上单调递增，故g（x）max＝g

（2）＝3a－3＝3，解得a＝2.

②当a≤0时，g（x）在[0，2]上单调递减，故g（x）max＝g（0）＝1－a＝3，解得a＝－2.

③当0

综上所述，a＝±2.

3.已知函数f（x）＝x2－2ax＋5（a>1）．

（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；

（2）若f（x）在区间（－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f（x1）－f（x2）|≤4，求实数a的取值范围．

【解析】：

（1）因为f（x）＝x2－2ax＋5在（－∞，a]上为减函数，

所以f（x）＝x2－2ax＋5（a>1）在[1，a]上单调递减，

即f（x）max＝f

（1）＝a，f（x）min＝f（a）＝1，所以a＝2或a＝－2（舍去）．即实数a的值为2.

（2）因为f（x）在（－∞，2]上是减函数，所以a≥2.

所以f（x）在[1，a]上单调递减，在[a，a＋1]上单调递增，

又函数f（x）的对称轴为直线x＝a，所以f（x）min＝f（a）＝5－a2，f（x）max＝max{f

（1），f（a＋1）}，

又f

（1）－f（a＋1）＝6－2a－（6－a2）＝a（a－2）≥0，

所以f（x）max＝f

（1）＝6－2a.

因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f（x1）－f（x2）|≤4，

所以f（x）max－f（x）min≤4，即6－2a－（5－a2）≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，所以2≤a≤3.

即实数a的取值范围为2≤a≤3.