届高考数学第七篇立体几何与空间向量专题76利用空间向量证明平行与垂直练习文档格式.docx
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·
3.异面直线所成的角
a,bll的方向向量,则设分别是两异面直线,21
ab与β的夹角
ll所成的角θ与21
范围
)(0,π
π?
?
,0?
2
求法
ab·
=βcosab||||
|||cosβ|=θcos=ba||||?
4.求直线与平面所成的角
lanla,〈|cos=θsin,则θ所成的角为α与平面,直线的法向量为α,平面的方向向量为设直线
an|·
|n.=〉|
na||||5.求二面角的大小
→→ABCDllABCD〉=〈.
-β的两个面内与棱
(1)如图①,,,垂直的直线,则二面角的大小是二面角α-θ
nnl-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小
(2)如图②③,θ,分别是二面角α-满足|cos21nnnn的夹角(或其补角|,二面角的平面角大小是向量|θ=|cos〈).,与〉21216.点到平面的距离
→BAAB到法向量的投影,求向量到平面距离基本思路:
确定平面法向量,在平面内取一点用向量方法求点→ABn|·
|nBd=.
到平面α.如图平面α的法向量为,点的距离向量,投影向量的长度即为所要求的距离
n||【微点提醒】
1.平面的法向量是非零向量且不唯一.
2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系.
an所成角的余弦值的绝对值,即sinθθ的正弦值等于直线的方向向量=与平面的法向量|cos3.线面角anan〉,|cos〈|.
,θ〉|,不要误记为cos=〈nn,,β的法向量4.二面角与法向量的夹角:
利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面α21nn的夹角是相等,还是互补.,时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,来确定二面角与向量21【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×
”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的.()
aa∥α.()α
(2)若直线的方向向量和平面的法向量平行,则)
.(两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角(3).
ππ?
,00,,)二面角的范围是[0,,直线与平面所成角的范围是(4)两异面直线夹角的范围是π].(
?
22(4)√(3)×
【答案】
(1)×
(2)×
直线的方向向量不是唯一的,有无数多个;
【解析】
(1).
两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角α;
(3)
(2)a⊥【教材衍化】nn)则(-3,1,-4)2改编)已知平面α,β的法向量分别为5)=(2,3,,,=(练习2.(选修2-1P10421⊥βA.α∥βB.αβ相交但不垂直D.以上均不对C.α,C
【答案】
nnnn.
相交但不垂直=-23≠0,∴α,【解析】∵β≠λ,且2112nmmnl〉=〈,23.(选修-1P112A4改编)已知向量α,的方向向量和法向量,若分别是直线cos和平面1l)与α所成的角为(-,则
2B.60°
C.120°
D.150°
A.30°
A
【答案】1lmmnnα,所成的角为〉=120°
,所以直线【解析】由于cos〈30°
.,,所以〈〉=-与
2【真题体验】BDCDBCDaABABCDA)的距离为的棱长为-(,则平面正方体4.(2019·
天津和平区月考)与平面111111132aaaaB.3C.A.2D.33D
【答案】zDADABACDDCyDDx轴建立空间轴、为坐标原点,,,所在直线分别为显然【解析】轴、⊥平面,以1111→aaAaanaDABaBBAa,0)0)0(直角坐标系,则平面的一个法向量为=,-,),(,,,(,,,=0),-(0,11→nBA3||·
ad.
=则两平面间的距离=
n3||
,42,-,-2),平面β的一个法向量为(-(15.(2018·
北京朝阳区检测)已知平面α的一个法向量为,2kk)
(,若)α∥β,则等于2
D.-A.2B.-4
C.4
C
22-1k4.
【解析】因为α∥β,所以==,所以=
k4--2nla,则直4),0的法向量为,-=(-)6.(2019·
烟台月考若直线2的方向向量为0=(1,,2),平面αl______.与平面α线的位置关系为l⊥α【答案】
1lna.
,所以=-α因为【解析】⊥
2【考点聚焦】利用空间向量证明平行问题考点一
BMADPBDBCDABCDADBCCDADM的的中点,,2是,=2,如图,在四面体【例1】=中,⊥平面是,⊥2QCAQQAC.
=在线段上,且中点,点3
BCDPQ.证明:
∥平面【答案】见解析zyODOPOBDO轴的正半轴,建,所在射线分别为,以为原点,,法一【解析】证明如图,取的中点xyzO.
立空间直角坐标系-
DAB0).2,,,2),(02,-,0),(02由题意知,(0,yCx0).设点的坐标为(,,00→→QCAQ,3=因为
3312?
Q.
所以yx,+,
00?
4442MADM1).(0因为,为2的中点,故,1?
PPBM,0,0又的中点,故为,
2?
323→?
PQ.
=所以yx0,,+
444→aBCDaPQ0.·
==(0,0,1)又平面,故的一个法向量为BCDPQ平面又,?
BCDPQ.
∥平面所以CBOFACDFDFFC的坐标,,同法一建立空间直角坐标系,写出点3法二在线段,上取点,连接,使得,=yCx0).
坐标为(设点,,001→→yFxCFCD坐标为(0)∵,=,则,设点,
41yxxxyy0),-2,--=,0)(-,(,
000043?
xx,=?
04?
332→?
OF∴=∴yx0,+,
44432?
yy?
,=+
044?
PQ,=又由法一知yx0,,+
444→→OFPQPQOF.
∴,∴=∥PQBCDOFBCD,平面,?
又?
平面PQBCD.∥平面∴【规律方法】
(1)恰当建立坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运用向量法证明平行和垂直的关键.
(2)证明直线与平面平行,只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.
PADABCDABCDPADPAADEF,,为正方形,△是直角三角形,且,==2如图所示,平面】【训练1⊥平面,GPAPDCDPBEFG.
∥平面求证:
.的中点,,分别是线段.
【答案】见解析ABCDABCDPAD,且【解析】证明∵平面为正方形,⊥平面
ADABAP.
,∴两两垂直,CABAAxyz,,0)(2,2,0),0)(2,以0为坐标原点,建立如右图所示的空间直角坐标系-,,则,(0,0GEFDP0).
,(1,21),,(01,1)(0,2,0),(0,0,2),,(0,0,→→EGEF,,2,-1,0),1)=(1法一∴=(0,zyEFGnx的法向量为,=(,,设平面)→?
yEFn,,0·
==0?
则即?
zxy,→=+20-?
EGn,=0·
EFGzn的一个法向量,0(1,,令1)=1,则为平面=→→→PBnnPBPB0,∴,-(2,02),∴,·
⊥∵==EFGPBEFGPB.
∥平面,∴∵?
平面→→FEPB,1,,-2),0)=(0,-法二0=(2,→→→→tFGPBFGsFE,=+(1=,1,-1).设ts1),-,(0,-10)+,(1,10即(2,,-2)=t,2=?
st?
,-=0ts2.=∴解得=?
t,=--2→→→FGFEPB2∴,=2+→→→→→FGFEPBFGFE.
共面与,不共线,∴与又∵.
EFGPBPBEFG.?
平面∥平面,∴∵利用空间向量证明垂直问题考点二
CDPBPCBCDABCDABCABBCP,的底面是直角梯形,∠==∠=90°
,22】如图所示,已知四棱锥=-==【例ABCDPBC侧面证明:
⊥底面.
BDPA;
⊥
(1)PABPAD.平面⊥平面
(2)【答案】见解析POOBC【解析】证明
(1)取,连接的中点,PBCABCDPBC∵平面⊥底面为等边三角形,,△ABCDPO.
∴⊥底面zOPBCBCOxOABy轴,所在直线为为坐标原点,以所在直线为平行的直线为轴,过点以轴,的中点与.
建立空间直角坐标系,如图所示
POBCCDAB3.
21,则,==不妨设==PDAB3).00),,(0∴,(1,-2,0),(1,0,0),(-1,-1,→→PABD3).2=(1,-∴1=(-2,-,0),,-→→PABD,3)=∵·
0=(-2)×
1+(-1)×
(-2)+0×
(-→→BDPABDPA.
⊥∴⊥,∴?
13?
MPAMDM.
(2)取,连接的中点,则,1,-
22?
33→→?
PBDM3),-∵=,,,=(10,0,
2233→→PBDM03)∴·
×
1+0×
0+=×
(-=,
22.
→→PBDMPBDM.
⊥∴,即⊥33→→PADM+×
(-3)=×
(-2)0∵,·
=
22→→DMPADMPA.
∴,即⊥⊥PAPBPDMPAB.∩,∴=又∵⊥平面DMPADPADPAB.,∴平面?
平面⊥平面∵【规律方法】
(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.
(2)用向量证明垂直的方法
①线线垂直:
证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.
②线面垂直:
证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示.
③面面垂直:
证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.
ABCABCDCC的中为(底面为正三角形的直三棱柱)的所有棱长都为-2,】【训练2如图所示,正三棱柱1111ABABD.
.求证:
⊥平面点11
【答案】见解析mBDmA,λ设平面的方向向量为由共面向量定理,则存在实数内的任意一条直线.【解析】证明法一1→→BDBAm.
+μ,使μ=λ1→→→cbacacbcabBBaBCbBA,以它们为202,·
令,=,===,·
=,显然它们不共面,并且|·
|=|=||=|=1空间的一个基底,1→→→cABacBDabBAa,==+,则=,+-
1121?
→→?
cbamBABDμλ+=λμ+λ=+μ,+
1?
21?
→?
caaABmcbμλ+·
(=λ-)·
+μ+
mABμ+λ,结论得证.
故=4=4μ-2-λ0.⊥
2.
AOBCO.
的中点如图所示,取,连接法二
ABC因为△为正三角形,BCAO.
⊥所以BBCCABCABCABC,-⊥平面因为在正三棱柱中,平面11111BAOBCC.
⊥平面所以11→→→zCOOOBOOyOAxB的中点所在直线为,以轴、为原点,分别以轴、取,,轴建立空间直角坐标系,1111ADBA,3)(0,-1,1,0),0(0,2,3),则0)(1,0,,,(1B0).
(1,2,1zABDnxy设平面),的法向量为,=(,1→→BDBA0).
,11,2,,3),=(-2-=(1→→BDnBAn⊥,,⊥因为1→?
BAn,=·
0?
zyx,=+-3+201?
故?
→yx,=+-20?
BDn0·
=zxy,=-2,令3=1,则=BDnA的一个法向量,,-3)故为平面=(1,21→→→nABnABAB,2,,-3),所以=∥,所以而(1=111BDABA.
故⊥平面11用空间向量解决有关位置关系的探索性问题考点三
与平行有关的探索性问题1角度CAABCCAABCDBDACCAA⊥平面的所有棱长都等于13【例-】如图,棱柱-2均为和∠60°
,平面,∠1111111ABCD.
AABD⊥
(1)求证:
;
1PBPDACCCP.∥平面,若存在,求出点,使的位置,若不存在,请说明理由
(2)在直线上是否存在点111【答案】见解析AOAAACOAAOAAAOBDACOBD,=60°
,,在△1,中,设∠与交于点=,则2⊥,连接=【解析】
(1)证明1111
222AOAAAOAOAA·
,cos60°
==+3∴-2111222AAAOAO+∴,=11AOOA.
∴⊥1ABCDOCACACCCABCDAACCABCDAOAAAA.,⊥平面,∴,且平面⊥平面?
∩平面平面由于平面=11111111BzAOBOCOAxy,,-1以3,,,所在直线分别为(轴、,轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则0)(01CCDA3).2,3),0,0),,(0,10),(0(,-30,0),,(00,,11→→AABD,3),1由于,=(-,230,0),(0=1→→BDAA+1×
0+,3=0×
(-×
0=23)·
01→→AABDBDAA.
∴⊥⊥,即11CBPDACCP∥平面,使
(2)解假设在直线上存在点,111→→zyzxyCCCPPx3).),则(,,-1,(0)=设λ=λ,(,,,11→BPP).λ(-3,1+λ3,+从而有(0,1λ3,λ),=→?
CAn,⊥131?
CnDA⊥平面,则设131→?
DAn,⊥13→→DAAC,0)2(0又=,,,3),0,3(=111.
y,=20?
3?
zynx,,设,则=()3333?
zx,=30+333CBPDAn∥平面,因为,(1,0,-取1)=131→→BPnBPn,=-13-3则λ⊥=0,即,得λ·
=-33CPCCCPC.的延长线上,且即点=在11与垂直有关的探索性问题角度2
ADBCABADEFABCD2.
=4所在的平面互相垂直,已知,-【例32】如图,正方形=所在平面和等腰梯形=
BFAC⊥;
(1)求证:
BPBCEFBEPPAC.若不存在,请说明理由
(2)在线段?
若存在,上是否存在一点,使得平面求出⊥平面的值;
PE【答案】见解析ADEFAFADAFADEFABCDADEFABCDAD⊥,∩平面,=【解析】
(1)证明∵平面?
⊥平面,,平面平面ABCDAF.
∴⊥平面ACABCDAFAC.
⊥平面∵,∴?
CHBHAAHBCAHH=3,过,作⊥3,于=,则=1222ABACABACACBC∴2=3,∴⊥+,=,∴FABAFABAAC=⊥平面∩,∴,∵BFFABACBF.
,∴?
平面∵⊥ACAFAB.
两两垂直由
(1)知,,,.
(2)解存在→→→AyACAFxzABA-的方向分别为轴,,轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系轴,以为坐标原点,,xyz,EABC2).
,3,1-(,0),32,(0,0),0,(2,0),0,(0则.
BPEPBBEP,不与点λ,重合,设满足题意,则易知点>
0=λ假设在线段,则上存在一点
PE?
λ3λ2λ-2?
P.,,
λλ1λ+1+1+zmxyPAC).=(设平面,的法向量为,?
λ23λ2λ-→→?
APAC=,由,23,,0)(0=,,
λ+1+λ11+λλλ22-λ3?
→zxmyAP,0+==+·
λ+λ11+λ1+?
得?
→yACm,·
=0=23y,=0?
2λ-?
zx=令=1,则,即2λ-
λ2xz,=?
λ22λ-?
PACm,1,0.
=所以为平面的一个法向量
λ2?
BCEFn.=的一个法向量为平面同理,可求得1,,1?
32BCEFPACmn⊥平面时,平面·
,=0,即λ=当
3BP2P.
故存在满足题意的点=,此时
PE3解决立体几何中探索性问题的基本方法【规律方法】
.
或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理
(1)通常假设题中的数学对象存在(zxy,如),;
②坐标平面内的点其中一个坐标为,0探索性问题的关键是设点:
①空间中的点可设为
(2)(ABzzxOyxy上;
④直线(线段,如(0轴上的点为,0,))面上的点为(0,,0);
③坐标轴上的点两个坐标为→→PAPPAB.
的点,可设为,表示出点=λ的坐标,或直接利用向量运算ADABADPDPDABCDABCDPPADPAPAAB,=213【训练】如图,在四棱锥-中,平面⊥平面,⊥,=,⊥,=,CDAC5.
==
PABPD
(1)求证:
⊥平面AMPCDBMPAM.∥平面
(2)在棱的值;
若不存在,说明理由上是否存在点?
若存在,求,使得
AP【答案】见解析ADADABPADABCDPADABCD,∩平面【解析】
(1)证明因为平面,⊥平面=,平面⊥PDPADABAB.
,所以所以⊥⊥平面PABPDPDPAABPAA.,所以又=⊥,⊥平面∩COPOADO.的中点,,连接
(2)解取ADPOPAPD.
=⊥因为,所以ABCDPOPADPAD,平面因为,?
平面⊥平面ABCDPO.
所以⊥平面COCOABCDPO.因为,所以?
平面⊥ADACCDCO.
因为,所以=⊥PCDBOxyzA,,-1,0),(0(1,1,0),(2,0,0),(0如图,建立空间直角坐标系,-.由题意得,,(01,0)1).
,0
→→APPAAMM.1],使得λ设=是棱∈[0,上一点,则存在λ→BMM).λ,λ),1=(-,-,因此点,(01-λλPCDBMPCDBM,所以要使平面,∥平面因为?
→nBM=2)0,,)·
(1,-,,--,即则·
=0(1λλ21.
解得λ=
4.
PAMBMPCD,上存在点∥平面,使得所以在棱
AM1此时=.
AP4【反思与感悟】
1.用向量法解决立体几何问题,是空间向量的一个具体应用,体现了向量的工具性,这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算,降低了空间想象演绎推理的难度,体现了由“形”转“数”的转化思想.
2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:
一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断;
另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系;
(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
3.用向量的坐标法证明几何问题,建立空间直角坐标系是关键,以下三种情况都容易建系:
(1)有三条两两垂直的直线;
(2)有线面垂直;
(3)有两面垂直.
【易错防范】
1.用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的aba,只需证明向量一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线∥b(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.=λ2.用向量证明立体几何问题,写准点的坐标是关键,要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.
【分层训练】
【基础巩固题组】
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.若直线l的一个方向向量为a=(2,5,7),平面α的一个法向量为u=(1,1,-1),则()
A.l∥α或l?
αB.l⊥α
斜交αα与D.lC.l?
A.α.故选?
,所以a⊥u,故l∥α或l=【解析】由条件知a·
u=2×
1+5×
1+7×
(-1)0cab),,,=(20,4)-=(4,-62),则下列结论正确的是(,,,--已知2.=(231)cbcbcaaaB.A.∥,∥∥⊥,bcaa以上都不对D.⊥,∥C.
caac,∴,∥,-=2(-23,1)=【解析】∵2=(-4,-6,2)bbaa.
-3)×
0+1×
4=0又,∴·
⊥=-2×
2+(→→→CDEABCDABCE)与平面=λ+μ的位置关系是,则直线(3.若平行相交B.A.平行或在平面内C.在平面内D.D
→→→→→→CECDCEABABCD.,∴,+μ,【解析】∵=λ共面CDEAB.
的位置关系是平行或在平面内则与平面PMn中,在平面,2),平面=(6,-3,α的一个法向量为6)内有一点4.已知平面α,则下列点(1,-1)α内的是(
PP1),2(-,3),B.A.0(2,3PP4)
(3,-30)4,D.,C.(-4,A
【答案】→MP1),,,(1=,4A【解析】逐一验证法,对于选项→→nnMPMP⊥0∴12·
=6-+6=,∴,P.
α∴点在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面内a2MNANMABANaMDBAABCDCAC,则=和上的点,如图所示,在正方体5.-中,棱长为,=,分别为1111113CBBC)
与平面的位置关系是(11
B.平行A.斜交
MNBBCCD.在平面C.垂直内11B
【答案】a2ANAM=建立如图所示的空间直角坐标系,由于【解析】=,13.
aaaaaa2222?
→aa?
MNMN,,,,0-,,.
=,,则
333333CCDBBC⊥平面,又1111→CBBCaCD.的一个法向量所以0)=(0,为平面,1111→→→→DMNCMNCD因为⊥·
,所以,=01111CBBCCCMNMNBB.∥平面?
平面,所以又1111二、填空题→→→→→BPyBCBPxABBCzAB⊥平,