第20讲四年级数学运用对应法枚举法解应用题 廖梅桂 教案Word文档下载推荐.docx
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这批学生共124人。
例2、为了测量一口井的深度，同学们想用长绳吊一重物的方法，将绳子3折时，绳子比井深还长出6米，当他们将绳子4折时，则绳子比井深长出2米，你能算出井深与绳子的长度吗？
在题目的条件中，“将绳子3折时，绳子比井深还长出6米”，实际上是指绳子的长度是井深的3倍还多（6×
3=）18米。
而“当他们将绳子4折时，则绳子比井深长出2米”，指的是绳子的长度是井深的4倍还多（2×
4=）8米。
排列出题设中给出的条件：
绳子3折------多出（6×
3=）18米
绳子4折------多出（2×
4=）8米
这样，就可以根据绳子比井深多出倍数的变化与绳子余出部分长度的变化的数量关系来求出井深与绳长。
井深：
（6×
3-2×
4）÷
（4-3）=10（米）
绳长：
10×
3+6×
3=48（米）
井深10米，绳长48米。
例3、吴老师从家到学校上班，出发时他看看表，发现如果步行，每分钟走80米，他将迟到5分钟；
如果骑自行车，每分钟行200米，他可以提前7分钟到校。
吴老师出发时离上班时间还有多少分钟？
题目中给出了两个对应的数量关系：
每分钟行80米-------迟到5分钟（比家到学校的路程少走了80×
5=）400米
每分钟行200米------提前7分钟（比家到学校的路程多走了200×
7=）1400米
从出发到上班时间这段时间里骑自行车比步行多行的路程为：
80×
5+200×
7=1800（米）
出发时离上班的时间相差分钟数为：
1800÷
（200-80）=15（分）
吴老师出发时离上班时间有15分。
二、专题过关
1、小华第一次买5支铅笔，第二次买9支同样的铅笔，第二次比第一次多花6角钱，每支铅笔多少钱？
2、幼儿园大班的老师拿出一包糖分给小朋友。
算了算，如果每人分4块，要多出48块糖；
如果每人分6块，则又少8块糖。
请你算一算，这包糖有多少块？
这个班有多少个小朋友？
3、一根长绳截成同样长短的绳子21根，余41米，截成34根，余2米，这根绳共长多少米？
4、一个植树小组植树，如每人栽5棵，还剩12棵；
如果每人栽7棵，就缺4棵，这个植树小组有多少人？
一共要栽多少棵树？
答案：
1、60÷
（9-5）=15分
2、小朋友有（48+8）÷
（6-4）=28人，糖有6×
28-8=160（块）
3、每根长（41-2）÷
（34-21）=3（米），共长3×
21+41=104（米）
4、（12+4）÷
（7-5）=8（人），5×
8+12=52（棵）
三、学法提炼
1、专题特点：
对应法也称为“对比法”，是一种很重要的数学方法。
有很多问题，给定的数量和对应的数量关系是在变化的。
对应法的使用必须有2个不变的数量关系，在此基础上再进行对应，找不同，以及相互关系。
2、解题方法：
在用对应法解题时，通常先把题目中的数量关系转化为等式，并把这些等式按顺序编号，然后认真观察，比较对应关系的变化以便寻找解题的突破口。
3、注意事项：
题目中的数量关系转化为等式时，要写正确。
枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。
一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。
专题精讲
例1、用数字1，2，3可以组成多少个不同的三位数？
分别是哪几个数？
根据百位上数字的不同，我们可将它们分成三类：
第1类：
百位上的数字为1，有123，132；
第2类：
百位上的数字为2，有213，231；
第3类：
百位上的数字为3，有312，321。
解：
可以是：
123、132；
231、213；
321、312；
共6种.
例2、小明有面值为5角、8角的邮票各两枚，他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）？
分情况进行讨论，分别讨论用1张、2张、3张、4张的情况进行讨论求解．
（1）用1张：
可以是5角或者8角，2种可能；
（2）用2张：
5角+5角=10角；
8角+8角=16角；
5角+8角=13角，一共有3种不同的可能；
（3）用3张：
5角+5角+8角=18角；
5角+8角+8角=21角，有2种不同的可能；
（4）用4张：
8角+8角+5角+5角=26角；
有1种可能；
2+3+2+1=8（种）
他用这些邮票能付8种不同的邮资.
例3、用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在同一盘内时，可称出不同的重量有多少种？
①砝码只能放在一个秤盘上，分类讨论，当放一个砝码时，两个砝码时，三个砝码时，得到可以秤出不同重量的物体的种数；
②砝码可以任意放，分类讨论，当放一个砝码时，两个砝码时，三个砝码时，根据不同情况计算出称的重量，做到不重不漏．
①用重量分别为1克、3克、9克的3个砝码（砝码只能放在一个秤盘上），
在天平上可以称不同的重量为：
1，3，9，1+3=4，1+9=10，3+9=12，1+3+9=13，
可称出：
1、2、3、4，10，12，13，共7种不同的重量；
②用重量分别为1克、3克、9克的3个砝码，
1，3，9，1+3，3-1，1+9，9-1，3+9，9-3，1+3+9，9+3-1，9-3-1，9-3+1，可称出：
1、2、3、4…13，共13种不同的重量．
用1克、3克、9克三个砝码（砝码只能放在一个秤盘上），可以秤出7种不同重量的物体.
例4、课外小组组织30人做游戏，按1～30号排队报数。
第一次报数后，单号全部站出来，以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一人，到第几次这些人全部都站出来了？
最后站出来的人应是第几号？
根据题目的特点，先用排列法把题中的条件、问题排列出来，再用枚举法完成题目的要求。
条件：
（1）排队编号；
（2）第一次报数后单号全部站出来。
（3）以后每次：
从余下的第一人站出来起，隔一人站出来一人。
问题：
到第几次站完？
最后站出来的是第几号？
次数
出队号码
第一次
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29
第二次
2，6，10，14，18，22，26，30
第三次
4，12，20，28
第四次
8，24
第五次
16
从上表的列举中，我们毫无遗漏地排列，得出到第五次这些人全都站出来了，最后一人是第16号。
例5、商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的。
一顾客要买34千克饼干，为了便于携带要求不开箱。
营业员有多少种发货办法？
只要取出几箱饼干总的质量恰好是34千克即可，利用一一列举的方法从最重的开始最多取几箱，再依次减少，结合其它箱的取法，得出答案即可．
列表如下：
营业员有7种发货办法.
1、用数字7，8，9可以组成多少个不同的三位数？
2、30克、50克砝码各一个，在天平上最多可以称出几种不同重量物体，请一一列举．
3、1元、2元、5元的纸币各有一张，一共可以组成多少种不同的币值？
4、妹妹有30枚硬币，是由一元和五角两种币值组成，一共有24元，两种币值的硬币各多少枚？
（利用表格解答）
人民币总数/枚
1元的/枚
5角的/枚
总币值/元
…
5、从A城到B城可乘火车、汽车、轮船；
从B城到C城可乘火车、汽车、轮船、飞机；
某人从A城开始游览，经B城到C城共有多少种走法？
6、把一个整数除以7所得的商和余数相同，这个数是多少？
1、分析：
根据百位上数字的不同，我们可以将它们分成三类：
百位上的数字为7，有789，798；
百位上的数字为8，有879，897；
百位上的数字为9，有978，987．
解答：
百位上的数字为7时有：
789，798；
百位上的数字为8时有：
879，897；
百位上的数字为9时有：
978，987；
可以组成6个三位数，分别是789，798，879，897，978，987．
2、分析：
分情况考虑，这道题没有限制砝码只能放在天平的同一秤盘上，因此天平两边的秤盘上都可以放砝码：
（1）只用一个砝码可以有几种称法；
（2）两个砝码一起用有几种称法；
最后将方法加起来就是在天平上能称出几种不同重量的物体．
（1）只用一个砝码有2种称法：
30克、50克；
（2）两个砝码一起用的称法：
30克和50克放一边时：
30克+50克=80克，
放两边时：
能称重50-30=20克的重量；
共2种称法；
综合可知一共有2+2=4种称法．
3、解：
①用一张，可以是：
1元、2元、5元；
3种币值；
②用两张：
1+2=3（元）；
1+5=6（元）；
2+5=7（元）；
3种不同的币值；
③用三张：
1+2+5=8（元）；
1种币值；
3+3+1=7（种）；
共可以组成7种不同的币值．
4、分析：
根据题意得出：
5角=0.5元，一元的硬币数量×
1+0.5元的数量×
0.5=24，一元硬币数量+0.5元的硬币数量=30，据此列表分析解答即可．
30
29
1
29.5
28
2
27
3
28.5
26
4
25
5
27.5
24
6
23
7
26.5
22
8
21
9
25.5
20
10
19
11
24.5
18
12
一元的有18枚，5角的有12枚．
5、解：
4×
3=12（种）
6、解：
除以7所得的余数必然小于7，所以有六种可能，即可能余数是1，2，3，4，5，6。
因此，这个数可以是8、16、24、32、40、48共6个。
将问题的所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃。
枚举算法因为要列举问题的所有可能的答案，所有它具备以下几个特点：
A、得到的结果肯定是正确的；
B、可能做了很多的无用功，浪费了宝贵的时间，效率低下；
C、通常会涉及到求极值（如最大，最小，最重等）。
D、数据量大的话，可能会造成时间崩溃。
运用枚举法解题的关键是要正确分类。
利用列表分析的方法解答应用题，往往是非常有效的，它能把抽象、复杂的事情清楚、直观地展现在我们面前，为解题提供思路。
要注意以下两点：
一是分类要全，不能造成遗漏；
二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。
一、能力培养
综合题1：
有白、红、黑三种颜色的球，白球和红球共15个；
红球和黑球共18个；
黑球和白球共9个。
问三种球各多少个？
将所给条件排列出来：
白球数+红球数=15个
（1）
红球数+黑球数=18个
（2）
黑球数+白球数=9个（3）
观察排列出的条件，若将
（1）+
（2）+（3），可得出“白球数+红球数+黑球数”的两倍量，从而求出三种球的个数，再对照
（1）、
（2）、（3）可分别求出白、红、黑球的个数。
（15+18+9）÷
2=21（个）
黑球数：
21-15=6（个）
白球数：
21-18=3（个）
红球数：
21-9=12（个）
白球有3个，红球有12个，黑球有6个。
综合题2：
王强的爸爸用200元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋，只记得外衣的价钱比帽子贵90元，外衣和帽子一共比鞋贵120元。
你能帮王强爸爸算出每一件东西的价钱吗？
把条件按数量关系排列出来：
外衣价+帽价+鞋价=200元
（1）
外衣价-帽价=90元
（2）
外衣价+帽价-鞋价=120元（3）
观察排列出的条件，可以从
（1）和（3）看了，2倍的鞋价是80元，得出鞋价是40元，
（1）式变成：
外衣价+帽价=160元，再与
（2）对照，不难发现，此题转换成简单的和差问题了。
鞋的价格：
（200-120）÷
2=40（元）
外衣的价格：
200-40=160（元），（160+90）÷
2=125（元）
帽的价格：
160-125=35（元）
鞋价是40元，帽价是35元，外衣价是125元。
二、能力点评
应用“对应法”解题时，可以通过对应比较，分析对应的未知量变化的情况，设法消去其中的一个未知量，从而把一道数量关系复杂的题目变成了简单的题止，以便于解答。
学法升华
一、知识收获
1、对应法也称为“对比法”，是一种很重要的数学方法；
2、枚举法分类要全，不能造成遗漏；
枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。
2、方法总结
1、对应法解题方法：
在用对应法解题时，通常先把题目中的数量关系转化为等式，并把这些等式按顺序编号，然后认真观察，比较对应关系的变化以便寻找解题的突破口；
设法消去其中的一个未知量，从而把一道数量关系复杂的题目变成了简单的题止，以便于解答。
三、技巧提炼
运用对应法、枚举法解题时，要正确的通过分析比较题目中的数量关系变成简单的题目，找到突破口，便于解答。
课后作业
一、填空题。
1、小芳去买圆珠笔，如果买5支余3元，如果买9支余2角，每支圆珠笔价值（）角。
2、买5个排球和3个篮球需付100元，而买2个排球和3个篮球只需付67元，则排球和篮球的单价分别是（）元和（）元。
3、小明在一座楼顶的平台上用长绳吊一重物来测量楼高，当他将绳子2折时，绳比楼高要长出10米；
当他将绳子4折时，则绳比楼高长出1米，楼高（）米，绳长（）米。
4、某车间有3个生产班组，第一组有5人，共生产零件167个；
第二组比第一组多2人，共生产零件206个；
第三组和第二组工人一样多，生产的零件却比第二组多10个，这个车间平均每个工人生产零件（）个。
5、幼儿园为小朋友买了桃，分配时，如果每个小朋友分5个，还剩32个；
如果其中10个小朋友分4个，其余的小朋友分8个，就恰好分完，则幼儿园有小朋友（）人，共买了（）个桃。
1、7；
2、11，15；
3、8，36；
4、31；
5、24，152；
二、解决问题。
1、用1，2，4，2，1一共可以组成多少个不同的五位数？
2、从上海到杭州，可乘汽车、火车和飞机．已知一天中汽车有3班，火车有7班，飞机有2班，从上海到杭州共有多少种不同的走法？
3、有四张8角邮票与三张1元邮票，用这些邮票中的一张或若干张能得出多少种不同的邮资？
4、已知三个自然数的积等于12，这三个自然数分别是多少？
5、现在1克、2克、3克重的天平砝码，要用10个砝码称出重20克的物体。
（1）在取出的砝码中，设有3个1克的，那么3克重的砝码应有多少个？
（2）设任一种砝码至少取一个，除
（1）的情况外，取出的砝码还有哪几种情况呢？
6、小孙买3千克苹果，2千克香蕉，共付款12元；
小刘买同样价格的苹果3千克，香蕉5千克，共付款21元。
买1千克苹果和1千克香蕉各付多少元钱？
7、有红、黄、蓝三种颜色的花，红花、黄花合在一起共15朵；
黄花、蓝花合在一起共18朵；
蓝花、红花合在一起共9朵，问三种花各多少朵？
万位上可以是1，2，4，一共是3种不同的选择，分别讨论万位是1，2，或4的情况，写出所有的五位数即可求解．
可以组成的不同五位数有：
万位是1，有11224，11242，11422；
12124，12142，12214，12241，12412，12421；
14122，14212，14221；
一共是12个；
万位是2，有21124，21142，21214，21241，21412，21421；
22114，22141，22411；
24112，24121，24211；
万位是4，有41122，41212，41221；
42112，42121，42211；
有6个；
一共有：
12+12+6=30（个）；
一共可以组成30个不同的五位数．
从上海到杭州的交通工具分汽车、火车、飞机三类，汽车3种走法，火车7种走法，飞机2种走法，根据每一类的走法，相加即可求出结果．
根据题意，从上海到杭州有3类走法，
第一类方法是乘汽车，有3种走法；
第二类方法是乘火车，有7种走法；
第三类方法是乘飞机，有2种走法；
所以，从上海到杭州的走法共有：
3+7+2=12（种）．
从上海到杭州共有12种不同的走法．
3、组成各种邮资的情况有三种情况：
4+12+3=19种不同邮资。
4、这三个自然数都是12的约数，而12的约数有1，2，3，4，6，12。
12=1×
1×
2×
6=1×
3×
4=2×
3.故这三个自然数是1，1，12；
1，2，6；
1，3，4；
2，2，3.
5、
（1）3克的砝码应有3个
（2）用列表法求还有三种：
1克
2克
3克
6、买1千克香蕉要（21-12）÷
（5-2）=3（元），买1千克苹果要（12-3×
2）÷
3=2（元）
7、三种花（15+18+9）÷
2=21（朵）蓝花：
6，黄花：
12，红花：
3朵。
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