全国高中数学联赛全真模拟卷一试Word文档格式.doc
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1.不等式的解集为 .
2.过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________.
①三角形②正方形③梯形④五边形⑤六边形
3.直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是_________.
4.复数,使,则的所有可能值为_________.
5.所有的满足条件的正整数对的个数为.
6.设为方程的根(),则__.
7.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同.
甲从袋中摸出一个球,其号码为,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为.则使不等式
成立的事件发生的概率等于.
8.已知A,B,C为△ABC三内角,向量,.如果当C最大时,存在动点M,使得成等差数列,则最大值是_____.
二、解答题(本大题共3小题,第9题16分,第10、11题20分,共56分)
9.对正整数,记,求数列{an}中的最大值.
10.给定正实数k,圆心为()的圆至少与抛物线有三个公共点,一个是原点(0,0),另两个点在直线上,求的值(用表示).
11.已知函数其中为实数,求所有的数对(a,n)(n∈N*),
使得函数在区间内恰好有2011个零点.
2012年全国高中数学联赛模拟卷(8)答案
1.由得,原不等式可变为解得
故原不等式的解集为
2.答案:
②⑤,解:
由对称性可知,所得图形应为中心对称图形,且②⑤可以截得
3.提示:
曲线为两个半圆,直线过定点(0,−2),数形结合可得.
4.答案:
0,1,解:
=,∴
当时,满足条件,当时,
设
∴,由
(2)
1)代入
(1)整理得:
2),则代入
(1)得:
,经检验复数均满足条件.
∴的所有可能值为0,1,.
5.解:
显然.由条件得,从而有
即,再结合条件及以上结果,可得,整理得
,从而
即,所以.当时,,不符合;
当时,(不符合).
综上,满足本题的正整数对只有,故只有1解.
6.答案:
,由题意,由此可得
,,以及
7.提示:
甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果,故基本事件总数为92=81个,由不等式a−2b+10>
0得2b<
a+10,于是,当b=1、2、3、4、5时,每种情形a可取1、2、…、9中每一个值,使不等式成立,则共有9×
5=45种;
当b=6时,a可取3、4、…、9中每一个值,有7种;
当b=7时,a可取5、6、7、8、9中每一个值,有5种;
当b=8时,a可取7、8、9中每一个值,有3种;
当b=9时,a只能取9,有1种。
于是,所求事件的概率为
8.解:
等号成立仅当.令|AB|=2c,因,
所以M是椭圆上的动点.故点C(0,),设M(x,y),则
|MC|2=x2+()2=.
当y=时,|MC|2max=,|MC|max=.即max=.
9.解:
经计算知,,,下面用数学归纳法证明:
当时,有
假设,则
所以数列{an}中的最大值是
10.解:
设⊙O:
即
抛物线与直线的两个交点坐标为,
则,即①,这两点亦在圆上,即
Þ
同理,即②
比较①,②知:
11.解:
首先,函数以为周期,且以为对称轴,即
,其次,
,∵关于对称,
∴在及上的零点个数为偶数,
要使在区间恰有2011个零点,则上述区间端点必有零点
(1)若,则,考虑区间及上的零点个数.
当时,,
令则,
解得(舍),,故在内有两解.
令,则,
解得(舍),(舍),故在内无解.因此,在区间内有三个零点.
同理可得满足条件.
2012模拟卷
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