高考理科数学江西卷Word文档下载推荐.doc
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7.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=
A.2 B.4 C.5 D.10
8.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:
亩)分别为
A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50
9.样本(x1,x2,…,xn)的平均数为,样本(y1,y2,…,ym)的平均数为().若样本(x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)的平均数=α+(1-α),其中0<
α<
则n,m的大小关系为
A.n<
m B.n>
m C.n=m D.不能确定
10.如右图,已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点,过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0<
x<
1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y=V(x)的图像大致为
第Ⅱ卷
注:
Ⅱ卷共2页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
若在试题卷上作答,答案无效。
二.填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分。
11.计算定积分(x2+sinx)dx= .
12.设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5= .
13.椭圆+=1(a>
b>
0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 .
14.下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 .
三、选做题:
请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题共5分.
15.
(1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为 .
(2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为 .
四.解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+kn(其中k∈N+),且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k,并求an;
(2)求数列的前n项和Tn.
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,bsin-csin=a.
(1)求证:
B-C=;
(2)若a=,求△ABC的面积.
18.如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).
(1)求V=0的概率;
(2)求V的分布列及数学期望EV.
19.在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.
(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长;
(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.
20.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|+|=·
(+)+2.
(1)求曲线C的方程;
(2)动点Q(x0,y0)(-2<
x0<
2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l,问:
是否存在定点P(0,t)(t<
0),使得l与PA,PB都相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?
若存在,求t的值;
若不存在,说明理由.
21.若函数h(x)满足
①h(0)=1,h
(1)=0;
②对任意a∈[0,1],有h(h(a))=a;
③在(0,1)上单调递减.
则称h(x)为补函数.已知函数h(x)=(λ>
-1,p>
0).
(1)判断函数h(x)是否为补函数,并证明你的结论;
(2)若存在m∈[0,1],使h(m)=m,称m是函数h(x)的中介元.记p=(n∈N+)时h(x)的中介元为xn,且Sn=xi,若对任意的n∈N+,都有Sn<
求λ的取值范围;
(3)当λ=0,x∈(0,1)时,函数y=h(x)的图像总在直线y=1-x的上方,求p的取值范围.
答案参考解析
1.C 由已知,得{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},
所以集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为3.
2.D 因为y=的定义域为{x|x≠0},
而y=的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},y=的定义域为{x|x>
0},y=xex的定义域为R,y=的定义域为{x|x≠0},故D项正确.
3.B ∵f(10)=lg10=1,
∴f(f(10))=f
(1)=12+1=2.
4.D ∵tanθ+=4,
∴+=4.
∴=4,即=4.
∴sin2θ=.
5.B 选项A中,四边相等的空间四边形显然不是正方形,故选项A为真命题;
选项B中,z1,z2∈C,“z1+z2为实数”⇐“z1,z2互为共轭复数”,但“z1+z2为实数”“z1,z2互为共轭复数”,故选项B为假命题;
选项C中,假设x,y均小于等于1,则x+y≤2,这与x+y>
2相矛盾,故选项C为真命题;
选项D中,+++…+=2n,显然2n是偶数,故选项D为真命题.
6.C 利用归纳法:
a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.
规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.
7.D (用向量法)将△ABC的各边均赋予向量,
则=
=
=-6=42-6=10.
8.B 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩、y亩,总利润为z万元,
则z关于x,y的关系式为z=4x×
0.55-1.2x+6y×
0.3-0.9y=x+0.9y,且x,y满足约束条件为
画可行域,如图所示:
设l0:
y=-x,将l0上下平移可知,
当直线z=x+0.9y过点A(30,20)(注:
可联立方程组解得点A的坐标)时,z取最大值,因此当总利润z最大时,x=30,y=20,即黄瓜的种植面积为30亩,韭菜的种植面积为20亩.
9.A 由已知,得x1+x2+…+xn=n,y1+y2+…+ym=m,
===α+(1-α),
整理,得(-)[αm+(α-1)n]=0,
∵,
∴αm+(α-1)n=0,即=.
又0<
∴0<
<
1,∴0<
1.
又n,m∈N+,∴n<
m.
10.A 设截面与SB,SD,AD,AB分别交于点M,N,P,F,取SC的中点Q,连结BQ,DQ,
如图,过M作MT∥AB,VS-ABCD=,
由相似性知,VS-EMN=x3,
VS-TNM=x3,
V棱柱TNM-APF=x2-2x3.
(1)当0<
时,Vx=-x3-x3-x2+2x3=+x3-x2.
Vx'
=x(3x-2),图象如图.
由Vx'
的图象可知,当0<
时,Vx减小的速度先慢,再快,后慢.
(2)当≤x<
1时,Vx=(1-x)3,Vx'
=-(1-x)2,图象如图.
的图象可知,当≤x<
1时,Vx减小的速度先快后慢,综合
(1),
(2)知选A.
11. (x2+sinx)dx=x3-cosx=.
12.35 ∵{an},{bn}均是等差数列,根据等差数列的性质a1+a5=2a3,b1+b5=2b3,即a5=2a3-a1,b5=2b3-b1,
∴a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2×
21-7=35.
13. 因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,
所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.
又因为|AF1|,|F1F2|,|BF1|成等比数列,
所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,
所以离心率e==.
14.
3 当T=0,k=1时,sin>
sin,所以a=1,T=1,k=2;
当T=1,k=2时,sin<
sin,所以a=0,T=1,k=3;
当T=1,k=3时,sin<
sin,所以a=0,T=1,k=4;
当T=1,k=4时,sin>
sin,所以a=1,T=2,k=5;
当T=2,k=5时,sin>
sin,所以a=1,T=3,k=6.
此时k≥6,所以输出T=3.
15.
(1)ρ=2cosθ
(2)
16.解:
(1)当n=k∈N+时,Sn=-n2+kn取最大值,即8=Sk=-k2+k2=k2,
故k2=16,因此k=4,
从而an=Sn-Sn-1=-n(n≥2).
又a1=S1=,所以an=-n.
(2)因为bn==,
Tn=b1+b2+…+bn=1+++…++,
所以Tn=2Tn-Tn=2+1++…+-=4--=4-.
17.
(1)证明:
由bsin-csin=a,
应用正弦定理,得
sinBsin-sinCsin=sinA,
sinB-
sinC=,
整理得sinBcosC-cosBsinC=1,
即sin(B-C)=1,
由于0<
B,C<
π,从而B-C=.
(2)解:
B+C=π-A=,因此B=,C=,
由a=,A=,得b==2sin,c==2sin,
所以△ABC的面积S=bcsinA=sinsin=cossin=.
18.解:
(1)从6个点中随机选取3个点总共有=20种取法,选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有=12种,因此V=0的概率为P(V=0)==.
(2)V的所有可能取值为0,,,,,因此V的分布列为
V
P
由V的分布列可得
EV=0×
+×
=.
19.
(1)证明:
连接AO,在△AOA1中,作OE⊥AA1于点E,
因为AA1∥BB1,得OE⊥BB1,
因为A1O⊥平面ABC,所以A1O⊥BC.
因为AB=AC,OB=OC,得AO⊥BC,
所以BC⊥平面AA1O,所以BC⊥OE,
所以OE⊥平面BB1C1C.
又AO==1,AA1=,得AE==.
如图,分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2),
由=得点E的坐标是,
由
(1)得平面BB1C1C的法向量是=,
设平面A1B1C的法向量n=(x,y,z),
由得
令y=1,得x=2,z=-1,即n=(2,1,-1),
所以cos<
n>
==,
即平面BB1C1C与平面A1B1C的夹角的余弦值是.
20.解:
(1)由=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),
|+|=,
·
(+)=(x,y)·
(0,2)=2y,
由已知得=2y+2,
化简得曲线C的方程:
x2=4y.
(2)假设存在点P(0,t)(t<
0)满足条件,
则直线PA的方程是y=x+t,PB的方程是y=x+t.
曲线C在Q处的切线l的方程是y=x-,它与y轴的交点为F.
由于-2<
2,因此-1<
①当-1<
t<
0时,-1<
-,存在x0∈(-2,2),使得=,即l与直线PA平行,故当-1<
0时不符合题意.
②当t≤-1时,≤-1<
≥1>
所以l与直线PA,PB一定相交.
分别联立方程组
解得D,E的横坐标分别是xD=,xE=,
则xE-xD=(1-t),
又|FP|=--t,有S△PDE=·
|FP|·
|xE-xD|=·
又S△QAB=·
4·
=,
于是=·
=·
.
对任意x0∈(-2,2),要使为常数,即只须t满足
解得t=-1.此时=2,
故存在t=-1,使得△QAB与△PDE的面积之比是常数2.
21.解:
(1)函数h(x)是补函数.证明如下:
①h(0)==1,h
(1)==0;
②对任意a∈[0,1],有
h(h(a))=h===a;
③令g(x)=(h(x))p,有
g'
(x)=
因为λ>
0,所以当x∈(0,1)时,g'
(x)<
0,
所以函数g(x)在(0,1)上单调递减,故函数h(x)在(0,1)上单调递减.
(2)当p=(n∈N+)时,由h(x)=x,得λ+2-1=0.(*)
(ⅰ)当λ=0时,中介元xn=;
(ⅱ)当λ>
-1且λ≠0时,
由(*)得=∈(0,1)或=∉[0,1];
得中介元xn=.
综合(ⅰ)(ⅱ),对任意的λ>
-1,中介元为xn=(n∈N+),
于是,当λ>
-1时,
有Sn=
=<
当n无限增大时,无限接近于0,Sn无限接近于,
故对任意的n∈N+,Sn<
成立等价于,即λ∈[3,+∞).
(3)当λ=0时,h(x)=(1-xp,中介元为xp=,
(ⅰ)当0<
p≤1时,≥1,中介元为xp=,
所以点(xp,h(xp))不在直线y=1-x的上方,不符合条件;
(ⅱ)当p>
1时,依题意只须(1-xp>
1-x在x∈(0,1)时恒成立,
也即xp+(1-x)p<
1在x∈(0,1)时恒成立,
设φ(x)=xp+(1-x)p,x∈[0,1],
则φ'
(x)=p[xp-1-(1-x)p-1],
由φ'
(x)=0得x=,且当x∈时,φ'
0,当x∈时,φ'
(x)>
又因为φ(0)=φ
(1)=1,所以当x∈(0,1)时,φ(x)<
1恒成立.
综上,p的取值范围是(1,+∞).