高考数学分类汇编:数列Word文档格式.doc
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【答案】4
三、解答题
1、(2016年北京高考)已知{an}是等差数列,{bn}是等差数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
解:
(I)等比数列的公比,
所以,.
设等差数列的公差为.
因为,,
所以,即.
所以(,,,).
(II)由(I)知,,.
因此.
从而数列的前项和
.
2、(2016年江苏省高考)
记.对数列和的子集T,若,定义;
若
,定义.例如:
时,.现设是公比为3的等比数列,且当时,.
(1)求数列的通项公式;
(2)对任意正整数,若,求证:
;
(3)设,求证:
(1)由已知得.
于是当时,.
又,故,即.
所以数列的通项公式为.
(2)因为,,
所以.
因此,.
(3)下面分三种情况证明.
①若是的子集,则.
②若是的子集,则.
③若不是的子集,且不是的子集.
令,则,,.
于是,,进而由,得.
设是中的最大数,为中的最大数,则.
由
(2)知,,于是,所以,即.
又,故,
从而,
故,所以,
即.
综合①②③得,.
3、(2016年山东高考)已知数列的前n项和,是等差数列,且.
(I)求数列的通项公式;
(II)令.求数列的前n项和.
【解析】
(Ⅰ)由题意得,解得,得到。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,从而
利用“错位相减法”即得
试题解析:
(Ⅰ)由题意当时,,当时,;
所以;
设数列的公差为,由,即,解之得,所以。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,又,即
,所以,以上两式两边相减得。
所以
4、(2016年上海高考)对于无穷数列{}与{},记A={|=,},B={|=,},若同时满足条件:
①{},{}均单调递增;
②且,则称{}与{}是无穷互补数列.
(1)若=,=,判断{}与{}是否为无穷互补数列,并说明理由;
(2)若=且{}与{}是无穷互补数列,求数列{}的前16项的和;
(3)若{}与{}是无穷互补数列,{}为等差数列且=36,求{}与{}得通项公式.
解析:
(1)因为,,所以,
从而与不是无穷互补数列.
(2)因为,所以.
数列的前项的和为
(3)设的公差为,,则.
由,得或.
若,则,,与“与是无穷互补数列”矛盾;
若,则,,.
综上,,.
5、(2016年四川高考)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=Sn+1,其中q﹥0,n∈N+
(Ⅰ)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设双曲线x2﹣=1的离心率为en,且e2=2,求e12+e22+…+en2,
(Ⅰ)由已知,两式相减得到.
又由得到,故对所有都成立.
所以,数列是首项为1,公比为q的等比数列.
从而.
由成等差数列,可得,所以,故.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,.
所以双曲线的离心率.
由解得.所以,
6、(2016年天津高考)已知是等比数列,前n项和为,且.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)若对任意的是和的等差中项,求数列的前2n项和.
(Ⅰ)解:
设数列的公比为,由已知有,解之可得,又由知,所以,解之得,所以.
(Ⅱ)解:
由题意得,即数列是首项为,公差为的等差数列.
设数列的前项和为,则
7、(2016年全国I卷高考)已知是公差为3的等差数列,数列满足.
(I)求的通项公式;
(II)求的前n项和.
(I)由已知,得得,所以数列是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为.
(II)由(I)和,得,因此是首项为1,公比为的等比数列.记的前项和为,则
8、(2016年全国II卷高考)等差数列{}中,.
(Ⅰ)求{}的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前10项和,其中表示不超过的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
(Ⅰ)设数列的公差为d,由题意有,解得,
所以的通项公式为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
当1,2,3时,;
当4,5时,;
当6,7,8时,;
当9,10时,,
所以数列的前10项和为.
9、(2016年全国III卷高考)已知各项都为正数的数列满足,.
(I)求;
(II)求的通项公式.
10、(2016年浙江高考)设数列{}的前项和为.已知=4,=2+1,.
(I)求通项公式;
(II)求数列{}的前项和.
(1)由题意得:
,则,
又当时,由,
得,
所以,数列的通项公式为.
(2)设,,.
当时,由于,故.
设数列的前项和为,则.
当时,,
所以,.