江苏高中数学典型题目Word文件下载.docx
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（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围．（复合函数根的个数）
解：
（1），
因为，所以在区间上是增函数，故，解得．
（3）原方程可化为，
令，则，有两个不同的实数解，，其中，，或，．记，则①
或②解不等组①，得，而不等式组②无实数解．所以实数的取值范围是．
14.设定义域为R的函数若关于x的函数的零点的个数为▲．7
导数存在任意x1x2的题目
例1已知函数.设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.
当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，
有，又已知存在，使，所以，，
即存在，使，即，即，
所以实数取值范围是。
（2016苏锡常镇二模12.）已知函数f（x）＝若存在x1，x2∈R，当0≤x1<
4≤x2≤6时，f（x1）＝f（x2），则x1f（x2）的取值范围是________．
分段函数的单调性
10、是上的减函数，则的取值范围是_________
和切线有关的导数题目（三句话）
1,过点.与函数（是自然对数的底数）图像相切的直线方程是____
公切线
20、已知函数，设,求证：
存在唯一的使得g（x）图象在点A（）处的切线与y=f（x）图象也相切；
（2）在处切线方程为①
设直线与图像相切于点，则②……（6分）
③
由①②得
④⑤
下证在上存在且唯一.
令，在上.
又图像连续，存在唯一使⑤式成立，从而由③④可确立.故得证
已知极值求参数（检验）
3、已知函数在时有极值0，则．
对函数求导得,由题意得,即解得:
或,当时,故,
含参数不等式恒成立中参数是整数的题目
20.（本小题满分16分）己知函数若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值:
方法一：
令，所以．
当时，因为，所以．所以在上是递增函数，
又因为，所以关于的不等式不能恒成立．
当时，，令，得．
所以当时，；
当时，，
因此函数在是增函数，在是减函数．
故函数的最大值为．令，
因为，，又因为在是减函数．
所以当时，．所以整数的最小值为2．
方法二：
（2）由恒成立，得在上恒成立，
问题等价于在上恒成立．令，只要
因为，令，得．
设，因为，所以在上单调递减，
不妨设的根为．当时，；
所以在上是增函数；
在上是减函数．
所以．因为，
所以，此时，即．所以，即整数的最小值为2．
绝对值函数
（2015泰州二模13）.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是▲．
（2016·
苏州调研测试）已知函数f（x）=x|x-a|，a∈R，g（x）=x2-1.
记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式.
（2）因为x∈[0，2]，当a≤0时，f（x）=x2-ax，则f（x）在区间[0，2]上是增函数，所以F（a）=f
（2）=4-2a.
当0<
a<
2时，f（x）=则f（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间[a，2]上是增函数，所以F（a）=max，
而f=，f
（2）=4-2a，令f<
f
（2），即<
4-2a，解得-4-4<
-4+4，
所以当0<
4-4时，F（a）=4-2a；
令f≥f
（2），即≥4-2a，解得a≤-4-4或a≥-4+4，
所以当4-4≤a<
2时，F（a）=.当a≥2时，f（x）=-x2+ax，
当1≤<
2，即2≤a<
4时，f（x）在区间上是增函数，在上是减函数，则F（a）=f=；
当≥2，即a≥4时，f（x）在区间[0，2]上是增函数，则F（a）=f
（2）=2a-4；
综上，F（a）=
先求轨迹的题目
（2017南京二模11）．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：
kx－y＋2＝0与直线l2：
x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为▲．3
已知圆与轴的两个交点分别为（由左到右），为上的动点，过点且与相切，过点作的垂线且与直线交于点，则点到直线的距离的最大值是▲．
（常州2016一模13）13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：
x2＋y2＝1，O1：
（x－4）2＋y2＝4，动点P在直线x＋y－b＝0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB＝2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是____________．（切线长公式）
在平面直角坐标系中，已知圆O：
，点，M，N为圆O上不同的两点，且满足．若，则的最小值为▲．
3、已知A（-1，0），B（0，1），则满足且在圆上的点P的个数为______2
阿波罗尼斯圆（苏北四市2016一模13）已知点，，，点是直线上的动点，若恒成立，则最小正整数的值为▲．4
满足条件AB＝2,AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是2（也可以用解三角形的方法）
存在性的题目
1、在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是▲．
∵圆C的方程可化为：
，∴圆C的圆心为，半径为1。
∵由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点；
∴存在，使得成立，即。
∵即为点到直线的距离，∴，解得。
∴的最大值是。
【答案】。
1、如果圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是.
（无锡2016一模13）已知圆C：
（x－2）2＋y2＝4，线段EF在直线l：
y＝x＋1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得·
≤0，则线段EF长度的最大值是____________．
13.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为（x-1）2+y2=4,P为圆C上一点.若存在一个定圆M,过点P作圆M的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,当点P在圆C上运动时,使得∠APB恒为60°
则圆M的方程为 .
13.（x-1）2+y2=1 解析:
自定圆M外的一点P向圆引两切线PA,PB.若∠APB为定值,则P到定圆圆心M的距离为定值.依题意知点P在圆C上,P只能是到圆C的圆心的距离为定值,故M与点C重合.由∠APB=60°
知MP=CP=2,所以圆M的半径为1.圆M的方程为（x-1）2+y2=1.
2、设圆，动圆，
设点P是椭圆上的点，过点P作圆的一条切线，切点为，过点P作圆的一条切线，切点为，问：
是否存在点P，使无穷多个圆，满足？
如果存在，求出所有这样的点P；
如果不存在，说明理由.
设，则，，即，整理得（*）
存在无穷多个圆，满足的充要条件为有解，解此方程组得
或，故存在点P，使无穷多个圆，满足，点P的坐标为.
14．在平面直角坐标系中，圆：
，圆：
．
若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，，满足，则半径r的取值范围是▲．【答案】
（特殊位置）
13.（x-1）2+y2=1 解析:
14．已知圆C：
（x－2）2＋y2＝4，点P在直线l：
y＝x＋2上，若圆C上存在两点A、B使得＝3，则点P的横坐标的取值范围是．[-2,2]（特殊位置法与轨迹法）
聚焦小题二十八14题
直线与圆相切
17年南通三模18题，盐城三模17题
（南京2016一模18）如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，直线的斜率分别记为.
x
O
第18题图
·
y
M
P
Q
（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程；
（2）若.①求证：
；
②求的最大值.
（1）因为椭圆右焦点的坐标为，所以圆心的坐标为，
从而圆的方程为.
（2）①因为圆与直线相切，所以，
即，
同理，有，
所以是方程的两根，
从而.
切点弦17年盐城三模18题第3问
圆与圆相切：
切点与两圆心三点共线
直线与圆相交问题
（南京2016一模12）过点的直线与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，则直线的方程为▲.
（苏州2016一模12）12.若直线l1：
y＝x＋a和直线l2：
y＝x＋b将圆（x－1）2＋（y－2）2＝8分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝____________．18
《微专题：
直线与圆，圆与圆》反馈练习第7题：
过圆x2＋y2＝4内一点P（1,1）作两条相互垂直的弦AC，BD，四边形ABCD的面积的最大值为________．答案：
6，最小值怎么求？
求圆的方程
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F.若C的右准线l的方程为x＝4，离心率e＝.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点P为直线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．
17.解：
（1）由题意，设椭圆C的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），
则解得a＝2，c＝2.（4分）从而b2＝a2－c2＝4.所以所求椭圆C的标准方程为＋＝1.（6分）
（2）（方法一）由
（1）知F（2,0）．由题意可设P（4，t），t＞0.线段OF的垂直平分线方程为x＝1. ①
因为线段FP的中点为，斜率为，所以FP的垂直平分线方程为y－＝－（x－3），
即y＝－x＋＋. ②联立①②，解得即圆心M.（10分）
因为t＞0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即t＝2时，
圆心M到x轴的距离最小，此时圆心为M（1,2），半径为OM＝3.
故所求圆M的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝9.（14分）
（方法二）由
（1）知F（2,0）．由题意可设P（4，t），t＞0.
因为圆M过原点O，故可设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0.
将点F、P的坐标代入得解得
所以圆心M的坐标为，即.（10分）
圆心M到x轴的距离最小，此时E＝－4.
故所求圆M的方程为x2＋y2－2x－4y＝0.（14分）
直线方程的典型问题
截距式方程和点斜式方程
1、过点M（3，－4），且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________________.
答案 x＋y＋1＝0或4x＋3y＝0
3、已知直线l过点P（3,2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求
（1）△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程；
（2）求截距和最小时直线的方程。
解 方法一 设直线方程为＋＝1（a>
0，b>
0），将点P（3,2）代入得＋＝1≥2，得ab≥24，
从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
方法二 依题意知，直线l的斜率k存在且k<
0.则直线l的方程为y－2＝k（x－3）（k<
0），
且有A，B（0,2－3k），∴S△ABO＝（2－3k）
＝
≥
＝×
（12＋12）＝12.
当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立.即△ABO的面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.
对称问题
6、已知直线l：
2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）.求：
（1）B（－1，－2）关于A的对称点；
（2）点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（3）直线m：
3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
（4）直线l关于点A（－1，－2）对称的直线l′的方程.
解 （补了一问）
（2）设A′（x，y），再由已知.
解得∴A′（－，）.
（3）在直线m上取一点，如M（2,0），
则M（2,0）关于直线l的对称点必在m′上.
设对称点为M′（a，b），则
解得M′（，）.
设m与l的交点为N，则由
得N（4,3）.又∵m′经过点N（4,3），
∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.
（4）设P（x，y）为l′上任意一点，
则P（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为P′（－2－x，－4－y），
∵P′在直线l上，∴2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，即2x－3y－9＝0.
定比分点
南京二模卷18题
1、在直角坐标系中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点P（）到两焦点的距离之和为，
（1）求椭圆C的方程
（2）过椭圆C的右焦点作直线与椭圆C分别交于A,B两点，其中点A在x轴下方，且，求直线的方程。
（1）（3）
18．已知椭圆C∶＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．
（1）求椭圆C的方程；
（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求·
的最大值．
18、
（1）椭圆的方程为＋y2＝1．…………………………………………2分
（3）解法一：
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则＝（x1＋1，y1），＝（－1－x2，－y2）．
因为＝λ，所以即
所以解得x2＝．…………………………………………12分[来源:
Zxxk.Com]
所以·
＝x1x2＋y1y2＝x2（－1－λ－λx2）－λy＝－x22－（1＋λ）x2－λ
＝－（）2－（1＋λ）·
－λ＝－（λ＋）．…………………………………………14分
因为λ∈[，2]，所以λ＋≥2＝2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号．
≤，即·
最大值为．…………………………………………16分
解法二：
当PQ斜率不存在时，
在＋y2＝1中，令x＝－1得y＝±
所以，此时…………………………2
当PQ斜率存在时，设为k，则PQ的方程是y＝k（x＋1），
由得（1＋2k2）x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
韦达定理………………………………………4
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则
的最大值为，此时………………………………8
18．（2015•南京二模）（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线
l：
x＝m＋1与x轴的交点为B，BF2＝m．
（2）已知定点A（－2，0）．当m＝1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，x
A
B
（第18题图）
F2
F1
l
若＝λ，＝m，求证：
λ＋m为定值．
18．解：
（2）（方法一）设M（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．
则＝（x0＋2，y0），＝（x1＋2，y1）．
由＝l，得从而
因为＋y02＝1，所以＋（ly1）2＝1．
即l2（＋y12）＋2l（l－1）x1＋2（l－1）2－1＝0．
因为＋y12＝1，代入得2l（l－1）x1＋3l2－4l＋1＝0．
由题意知，l≠1，故x1＝－，所以x0＝．
同理可得x0＝．因此＝，所以l＋m＝6．
（方法二）设M（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．
直线AM的方程为y＝（x＋2）．
将y＝（x＋2）代入＋y2＝1，得（（x0＋2）2＋y）x2＋4yx＋4y－（x0＋2）2＝0（*）．
因为＋y02＝1，所以（*）可化为（2x0＋3）x2＋4yx－3x－4x0＝0．
因为x0x1＝－，所以x1＝－．同理x2＝．
因为＝l，＝m，所以l＋m＝＋＝＋
＝＋＝6．即λ＋m为定值6．
点差法
2、已知椭圆方程为＋＝1，一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点为（2，1），求直线l的斜率．－
设线法
3、已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.[来源:
学科网]
（1）求椭圆C的方程;
（2）点P（2,3）,Q（2,-3）在椭圆上,A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
解:
（1）设椭圆的方程为则.由,得
∴椭圆C的方程为
（2）当,则、的斜率之和为0,设直线的斜率为
则的斜率为,的直线方程为由
（1）代入
（2）整理得………11分
同理的直线方程为,可得
∴[来源……………14分
所以的斜率为定值
17.（本小题满分14分）
已知椭圆C:
，离心率为，左准线方程是，设O为原点，点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB．
（2）求ΔAOB面积取得最小值时，线段AB的长度．
17.解析：
（1）设椭圆的半焦距为，则由题意的，解得
所以椭圆C的方程为＋y＝1.........4分
（2）由题意，直线OA的斜率存在，设直线OA的斜率为k，
若k＝0，则A（，0）或（－，0），B（0，2），此时ΔAOB面积为，AB＝．6分
若k≠0，则直线OA：
y＝kx与椭圆＋y＝1联立得：
（1＋2k）x＝2，可得OA＝×
，8分
直线OB：
y＝－x与y＝2联立得：
B（－2k，2），则OB＝2，10分
SΔOAB＝OA×
OB＝×
，令t＝>
1，12分
则SΔOAB＝×
＝（t＋）>
，
所以SΔOAB的最小值为，在k＝0时取得，此时AB＝．..........14分
（注：
若利用SΔOAB＝（t＋）≥，忽略k≠0的条件，求出答案的，本问给2分）
已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为.
（1）若时，求的值；
（2）若时，证明直线过定点.
设点法
5．如图,在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为2,且过点.
（1） 求椭圆的方程;
（2） 若点,分别是椭圆的左、右顶点,直线经过点且垂直于轴,点是椭圆上异于,的任意一点,直线交于点设直线的斜率为直线的斜率为,求证:
为定值;
【答案】⑴由题意得,所以,又,
消去可得,,解得或（舍去）,则,所以椭圆的方程为
⑵（ⅰ）设,,则,,
因为三点共线,所以,所以,,8分
因为在椭圆上,所以,故为定值
凤凰台47页第4题：
关于原点对称的两点怎么处理？
重要结论。
关于y轴对称的两点怎么处理？
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（0,1），Q（0,2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：
点T在椭圆C上．
17.
（1）解：
由题意知b＝＝.（3分）
因为离心率e＝＝，所以＝＝.
所以a＝2.
所以椭圆C的方程为＋＝1.（6分）
（2）证明：
由题意可设M，N的坐标分别为（x0，y0），（－x0，y0），则
直线PM的方程为y＝x＋1， ①
直线QN的方程为y＝x＋2. ②（8分）
（证法1）联立①②解得x＝，y＝，即T.（11分）
由＋＝1可得x＝8－4y.
因为2＋2＝＝
＝＝＝1，
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．（14分）
韦达定理：
什么情况下用韦达定理？
韦达定理出现在哪里？
是否要判断判别式？
18．如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）
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