省会检测广东省广州市高考数学一模试卷理科Word格式.doc

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14．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，则这个三棱锥内切球的半径为　　．

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2acos（θ﹣B）+2bcos（θ+A）+c=0，则cosθ的值为　　．

16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为Sn，如S1=1，S2=2，S3=2，S4=4，……，则S126=　　．

三、解答题：

共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：

共60分．

17．（12.00分）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{}是首项为1，公差为2的等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足++…+=5﹣（4n+5）（）n，求数列{bn}的前n项和Tn．

18．（12.00分）某地1～10岁男童年龄xi（岁）与身高的中位数yi（cm）（i=1，2，…，10）如表：

x（岁）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y（cm）

76.5

88.5

96.8

104.1

111.3

117.7

124.0

130.0

135.4

140.2

对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

（xi）2

（yi）2

（xi）（yi）

5.5

112.45

82.50

3947.71

566.85

（1）求y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；

（2）某同学认为，y=px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm．与

（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？

附：

回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

=，=﹣．

19．（12.00分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD=120°

，CB=CD=CS=2，∠BSD=90°

．

（1）求证：

AC⊥平面SBD；

（2）若SC⊥BD，求二面角A﹣SB﹣D的余弦值．

20．（12.00分）已知圆的圆心为M，点P是圆M上的动点，点，点G在线段MP上，且满足．

（1）求点G的轨迹C的方程；

（2）过点T（4，0）作斜率不为0的直线l与

（1）中的轨迹C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D，连接BD交x轴于点Q，求△ABQ面积的最大值．

21．（12.00分）已知函数f（x）=ax+lnx+1．

（1）讨论函数f（x）零点的个数；

（2）对任意的x＞0，f（x）≤xe2x恒成立，求实数a的取值范围．

（二）选考题：

共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：

坐标系与参数方程]

22．（10.00分）已知过点P（m，0）的直线l的参数方程是（t为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ．

（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A，B，且|PA|•|PB|=2，求实数m的值．

[选修4-5：

不等式选讲]

23．已知函数f（x）=2|x+a|+|3x﹣b|．

（1）当a=1，b=0时，求不等式f（x）≥3|x|+1的解集；

（2）若a＞0，b＞0，且函数f（x）的最小值为2，求3a+b的值．

参考答案与试题解析

【分析】利用复数的运算法则即可得出．

【解答】解：

z（1﹣i）2=4i，

∴z==﹣2．

则复数z的共扼复数=﹣2．

故选：

A．

【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

【分析】解不等式得集合A，根据补集的定义写出∁RA、∁RB，即可得出结论

集合A={x|＜0}={x|﹣3＜x＜1}，

B={x|x≤﹣3}，

则∁RA={x|x≤﹣3或x≥1}，

∁RB={x|x＞﹣3}；

∴（∁RA）∩（∁RB}={x|x≥1}．

D．

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．

【分析】基本事件总数n==120，A，B两位同学不相邻包含的基本事件个数m==72，由此能求出A，B两位同学不相邻的概率．

A，B，C，D，E五位同学站成一排照相，

基本事件总数n==120，

A，B两位同学不相邻包含的基本事件个数m==72，

∴A，B两位同学不相邻的概率为p===．

B．

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

【分析】由已知中的程序语句可知：

该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

赋值，n=2，S=0，第一次执行循环体后，S=0+，n=2+2=4；

判断4≥19不成立，第二次执行循环体后，S=+，n=2+4=6；

判断6≥19不成立，第三次执行循环体后，S=+，n=6+2=8；

判断8≥19不成立，第四次执行循环体后，S=++，n=8+2=10；

…

判断18≥19不成立，执行循环体后：

S=+++…+，n=18+2=20

判断20≥19成立，终止循环，输出S=+++…+=（）=．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．

∵，则=sin[﹣（x+）]=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣）=﹣，

【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．

【分析】由已知可得n的值，写出二项展开式的通项，由x的指数为﹣1求得r值，则答案可求．

由二项式（x﹣）n的展开式中所有二项式系数的和是128，

得2n=128，即n=7，

∴（2x2﹣）n=（2x2﹣）7，

由Tr+1=•x14﹣3r．

取14﹣3r=﹣1，得r=5．

∴展开式中含项的系数是．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．

【分析】由三视图知该几何体是一个四棱柱P﹣ABCD，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，从而可得该几何体的表面积．

根据三视图可知几何体是一个四棱柱P﹣ABCD，

且底面是直角梯形，AB⊥AD、AD∥CB，

且AB=2，BC=4、AD=2，PA=2，

PA⊥平面ABCD，

由图可得，PD=2，CD=2，

PC==2，PB=2，

则该几何体的表面积为：

S△PAB+S△PAD+S△PBC+SABCD+S△PDC

=+=．

【点评】本题考查几何体的三视图，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．

【分析】由约束条件作出可行域，由z=x2+2x+y2=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1求解．

由约束条件作出可行域如图，

z=x2+2x+y2=，

其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1，

∴z=x2+2y+y2的最小值为．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

【分析】根据正弦函数的单调性，结合在区间[﹣，]上单调递增，建立不等式关系，即可求解．

函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在区间[﹣，]上单调递增，

∴，k∈Z

解得：

∵ω＞0，

当k=0时，可得：

【点评】本题考查了正弦函数的图象及性质，单调性的应用．属于基础题．

【分析】求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出检验即可．

（1）f′（x）=3x2+2ax+b，

若f（x）在x=1处的极值为10，

则，

或，

经检验，a=4，b=﹣11，

C．

【点评】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．

【分析】以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，求出C的坐标，根据向量的运算求出点E的坐标，代入双曲线方程即可求出

由|AB|=2|CD|，

以AB所在的直线为x轴，

以AB的垂直平分线为y轴，

建立如图所示的坐标系，

设双曲线的方程为﹣=1，

由双曲线是以A，B为焦点，

∴A（﹣c，0），B（c，0），

把x=c，代入﹣=1，

可得y=b，

即有C（c，b），

又设A（﹣c，0），

∴=（c，b），

设E（x，y），

∴=（x+c，y），

∵=，

∴（x+c，y）=（c，b），

解得x=﹣c，y=b•），

可得E（﹣c，b•），

代入双曲线的方程可得﹣（﹣1）=1，

即e2﹣（﹣1）=，

即e2=7，

即e=，

【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及向量的运算，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．

【分析】设g（x）=f（x）﹣x2，判断g（x）的奇偶性和单调性，得出a的范围．

设g（x）=f（x）﹣x2，则g（x）+g（﹣x）=f（x）+f（﹣x）﹣2x2=0，

∴g（x）是奇函数．

当x＜0时，g′（x）=f′（x）﹣2x＜﹣1，

∴g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，

∴g（x）在R上是减函数．

∵f（a+1）≤f（﹣a）+2a+1，

∴f（a+1）﹣a2﹣2a﹣1≤f（﹣a）﹣（﹣a）2，

即f（a+1）﹣（a+1）2≤f（﹣a）﹣（﹣a）2，即g（a+1）≤g（﹣a），

∴a+1≥﹣a，

即a≥﹣．

【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，考查导数的应用以及函数恒成立问题以及转化思想，关键是构造函数并分析函数的单调性．

13．已知向量=（m，2），=（1，1），若||=||+||，则实数m=　2　．

【分析】根据题意，求出向量+的坐标，进而可得向量+与、的模，分析可得=+，解可得m的值，即可得答案．

根据题意，向量=（m，2），=（1，1），

则+=（m+1，3），

则|+|=，||=，||=，

若||=||+||，则有=+，

解可得：

m=2；

故答案为：

2．

【点评】本题考查模的计算，关键是分析向量与的关系．

14．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，则这个三棱锥内切球的半径为　　．

【分析】利用等体积法，设内切球半径为r，则r（S△ABC+S△PAC+S△PAB+S△PCB）=×

PA•S△ABC，解得求出r，再根据球的体积公式即可求出．

∵AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，

∴∴S△ABC=×

AC×

BC=×

1×

1=，

S△PAC=×

PA=S△PAB=×

AB×

PA=，S△PCB==，

∴VP﹣ABC=×

PA•S△ABC=，

设内切球半径为r，则r（S△ABC+S△PAC+S△PAB+S△PCB）=×

PA•S△ABC，解得r=．

【点评】本题考查四面体内切球的体积求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2acos（θ﹣B）+2bcos（θ+A）+c=0，则cosθ的值为　﹣　．

【分析】根据两角和差的余弦公式和正弦公式，以及正弦定理即可求出．

∵2acos（θ﹣B）+2bcos（θ+A）+c=0，

∴2sinA（cosθcosB+sinθsinB）+2sinB（cosθcosA﹣sinθsinA）+sinC=0，

∴2sinAcosθcosB+2sinAsinθsinB+2sinBcosθcosA﹣2sinBsinθsinA+sinC=0，

∴2cosθ（sinAcosB+cosAsinB）+2sinθ（sinAsinB﹣sinBinA）+sinC=0，

∴2cosθsin（A+B）+sinC=0，

∴2cosθsinC+sinC=0，

∴cosθ=﹣，

﹣．

【点评】本题考查了两角和差的余弦公式和正弦公式和正弦定理，属于基础题．

16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为Sn，如S1=1，S2=2，S3=2，S4=4，……，则S126=　64　．

【分析】将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，由此可知全奇数的行出现在2n的行数，即第n次全行的数都为1的是第2n行．126=27﹣2，故可得．所以第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，问题得以解决．

由题意，将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，

可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，

由此可知全奇数的行出现在2n的行数，即第n次全行的数都为1的是第2n行．126=27﹣2，

故可得第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，11

又126÷

4=31+2，∴S126=2×

31+2=64，

64

【点评】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：

（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；

（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．

【分析】

（1）由题意可得：

=1+2（n﹣1），可得：

Sn=2n2﹣n．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，n=1时，a1=1．可得an．

（2）++…+=5﹣（4n+5）（）n，n≥2时，++…+=5﹣（4n+1），相减可得：

=（4n﹣3）×

，进而得出bn．即可得出数列{bn}的前n项和Tn．

Sn=2n2﹣n．

∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣n﹣[2（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=4n﹣3．

n=1时，a1=1．对上式也成立．

∴an=4n﹣3．

（2）++…+=5﹣（4n+5）（）n，

∴n≥2时，++…+=5﹣（4n+1），

相减可得：

，

∴bn=2n．

∴数列{bn}的前n项和Tn=2×

=2n+1﹣2．

【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

（1）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；

（2）将x=11代入回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07和

（1）问中的方程，得到的结果与145.3cm比较，即可判断

（1）由题意，=5.5，=112.45，

==≈6.87，

=﹣=112.45﹣6.87×

5.5≈74.67；

∴y关于x的线性回归方程y=6.87x+74.67；

（2）某同学认为，y=px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07．

当x=11时，代入回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07．可得y=142.74；

当x=11时，代入回归方程是y=6.87x+74.67；

可得y=150.24；

由11岁男童身高的中位数为145.3cm．

可得回归方程是y=6.87x+74.67计算的误差比较大．

故回归方程是y=﹣0.30x2+10.17x+68.07模拟合效果更好．

【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．

（1）取BD中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，即AC⊥BD，再由已知证明△COD≌△COS，可得∠COD=∠COS=90°

，即AC⊥OS，则AC⊥平面SBD；

（2）由

（1）知，AC⊥BD，又SC⊥BD，可得BD⊥平面SAC，则平面SAC⊥平面SBD，在平面SBD中，过O作OH⊥SB，连接AH，可得∠AHO为二面角A﹣SB﹣D的平面角，然后求解三角形得答案．

【解答】

（1）证明：

∵△ABD为正三角形，CB=CD，取BD中点O，

连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，即AC⊥BD，垂足为O，

∵∠BSD=90°

，∴△BSD为直角三角形，

∵O为BD中点，∴OD=OS，