天津市高考数学试卷理科Word格式文档下载.doc

天津市高考数学试卷理科Word格式文档下载.doc

《天津市高考数学试卷理科Word格式文档下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《天津市高考数学试卷理科Word格式文档下载.doc（25页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

13．（4分）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x﹣3y﹣2=0与圆C相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为　　．

14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，，则=　　．

15．（4分）已知数列{an}中，，则=　　．

16．（4分）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=c，这时a的取值的集合为　　．

三、解答题（共6小题，满分76分）

17．（12分）已知cos（x﹣）=，x∈（，）．

（1）求sinx的值；

（2）求sin（2x）的值．

18．（12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．

（Ⅰ）求乙投球的命中率p；

（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°

．

（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；

（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角P﹣BD﹣A的大小．

20．（12分）已知函数，其中a，b∈R．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f

（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅲ）若对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b的取值范围．

21．（14分）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（﹣3，0），一条渐近线的方程是．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．

22．（14分）在数列{an}与{bn}中，a1=1，b1=4，数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1﹣（n+3）Sn=0，2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N*．

（Ⅰ）求a2，b2的值；

（Ⅱ）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（Ⅲ）设．证明|Tn|＜2n2，n≥3．

参考答案与试题解析

1．（5分）（2008•天津）i是虚数单位，=（　　）

【分析】复数的分子复杂，先化简，然后再化简整个复数，可得到结果．

【解答】解：

，

故选A．

2．（5分）（2008•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（　　）

【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y的最小值．

满足约束条件的可行域如图，

由图象可知：

目标函数z=5x+y过点A（1，0）时

z取得最大值，zmax=5，

故选D．

3．（5分）（2008•天津）设函数，则函数f（x）是（　　）

【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为y=Asinωx的形式，然后由y=Asinωx的性质得出相应的结论．

f（x）=

=﹣

=﹣sin2x

所以T=π，且为奇函数．

4．（5分）（2008•天津）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（　　）

【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．

A、B、D的反例如图．

故选C．

5．（5分）（2008•天津）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（　　）

【分析】根据椭圆定义，求出m，利用第二定义求出到右准线的距离，注意右焦点右准线的对应关系．

由椭圆第一定义知a=2，所以m2=4，

椭圆方程为

所以d=2，故选B

6．（5分）（2008•天津）设集合S={x||x﹣2|＞3}，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是（　　）

【分析】根据题意，易得S={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S∪T=R，可得不等式组，解可得答案．

根据题意，S={x||x﹣2|＞3}={x|x＜﹣1或x＞5}，

又有S∪T=R，

所以，

7．（5分）（2008•天津）设函数的反函数为f﹣1（x），则（　　）

【分析】根据本题所给出的选项，利用排除法比较方便，这样可以简化直接求解带来的繁琐．

∵为减函数，

由复合函数单调性知f（x）为增函数，

∴f﹣1（x）单调递增，排除B、C；

又f﹣1（x）的值域为f（x）的定义域，

∴f﹣1（x）最小值为0

故选D

8．（5分）（2008•天津）已知函数，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（　　）

【分析】对f（x+1）中的x分两类，即当x+1＜0，和x+1≥0时分别解不等式可得结果．

依题意得

所以

故选：

C．

9．（5分）（2008•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数．令a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（　　）

【分析】通过奇偶性将自变量调整到同一单调区间内，根据单调性比较a、b、c的大小．

因为，又由函数在区间[0，+∞）上是增函数，

所以，所以b＜a＜c，

故选A

10．（5分）（2008•天津）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（　　）

【分析】根据题意，分2步进行，首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，然后确定其余4个数字的排法数，使用排除法，用总数减去不合题意的情况数，可得其情况数目，由乘法原理计算可得答案．

根据题意，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则中间行的数字只能为1，4或2，3，共有C21A22=4种排法，

然后确定其余4个数字，其排法总数为A64=360，

其中不合题意的有：

中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，

余下两个数字有A42=12种排法，

所以此时余下的这4个数字共有360﹣4×

12=312种方法；

由乘法原理可知共有4×

312=1248种不同的排法，

故选B．

11．（4分）（2008•天津）在（x﹣）5的二次展开式中，x2的系数为　40　（用数字作答）．

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出x2的系数．

令

所以r=2，

所以x2的系数为（﹣2）2C52=40．

故答案为40

12．（4分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为　24　．

【分析】由题意球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，然后求正方体的表面积．

设球的半径为R，由得，

所以a=2，表面积为6a2=24．

故答案为：

24

13．（4分）（2008•天津）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x﹣3y﹣2=0与圆C相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为　x2+（y﹣1）2=10　．

【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而求得圆心，进而求得圆心到直线4x﹣3y﹣2=0的距离，根据勾股定理求得圆的半径．则圆的方程可得．

依题意可知抛物线的焦点为（1，0），

∵圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．

所以圆心坐标为（0，1），

∴，

圆C的方程为x2+（y﹣1）2=10

故答案为x2+（y﹣1）2=10

14．（4分）（2008•天津）如图，在平行四边形ABCD中，，则=　3　．

【分析】选一对不共线的向量做基底，在平行四边形中一般选择以最左下角定点为起点的一对边做基底，把基底的坐标求出来，代入数量积的坐标公式进行运算，得到结果．

令，，

则

∴．

3

15．（4分）（2008•天津）已知数列{an}中，，则=　　．

【分析】首先由求an可以猜想到用错位相加法把中间项消去，即可得到an的表达式，再求极限即可．

因为

所以an是一个等比数列的前n项和，所以，且q=2．代入，

所以．

所以答案为

16．（4分）（2008•天津）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=c，这时a的取值的集合为　{2}　．

【分析】由logax+logay=c可以用x表达出y，转化为函数的值域问题求解．

∵logax+logay=c，

∴=c

∴xy=ac

得，单调递减，所以当x∈[a，2a]时，

所以，因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+loga2=3，解得a=2，所以a的取值的集合为{2}．

{2}

17．（12分）（2008•天津）已知cos（x﹣）=，x∈（，）．

【分析】

（1）利用x的范围确定x﹣的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sin（x﹣）的值，进而根据sinx=sin[（x﹣）+]利用两角和公式求得答案

（2）利用x的范围和

（1）中sinx的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，进而根据二倍角公式求得sin2x和cos2x的值，

最后代入正弦的两角和公式求得答案．

（1）因为x∈（，），

所以x﹣∈（），

sin（x﹣）==．

sinx=sin[（x﹣）+]

=sin（x﹣）cos+cos（x﹣）sin

=×

+×

=．

（2）因为x∈（，），

故cosx=﹣=﹣=﹣．

sin2x=2sinxcosx=﹣，

cos2x=2cos2x﹣1=﹣．

所以sin（2x+）=sin2xcos+cos2xsin

=﹣．

18．（12分）（2008•天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．

（Ⅰ）根据乙投球2次均未命中的概率为，两次是否投中相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式写出乙两次都未投中的概率，列出方程，解方程即可．

（II）做出甲投球命中的概率和乙投球命中的概率，因为两人共命中的次数记为ξ，得到变量可能的取值，看清楚变量对应的事件，做出事件的概率，写出分布列和期望．

（Ⅰ）根据乙投球2次均未命中的概率为，两次是否投中相互之间没有影响，

设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B

由题意得

解得或（舍去），

∴乙投球的命中率为．

（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知

ξ可能的取值为0，1，2，3，

P（ξ=1）=P（A）P（）+•P（B）P（）P（）=

∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望．

19．（12分）（2008•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°

（I）由题意在△PAD中，利用所给的线段长度计算出AD⊥PA，在利用矩形ABCD及线面垂直的判定定理及、此问得证；

（II）利用条件借助图形，利用异面直线所称角的定义找到共面得两相交线，并在三角形中解出即可；

（III）由题中的条件及三垂线定理找到二面角的平面角，然后再在三角形中解出角的大小即可．

（Ⅰ）证明：

在△PAD中，由题设PA=2，PD=2，

可得PA2+AD2=PD2于是AD⊥PA．

在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，

所以AD⊥平面PAB．

（Ⅱ）解：

由题设，BC∥AD，

所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．

在△PAB中，由余弦定理得

PB=

由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，

所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tanPCB=．

所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan．

（Ⅲ）解：

过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连接PE

因为AD⊥平面PAB，PH⊂平面PAB，所以AD⊥PH．又AD∩AB=A，

因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影．

由三垂线定理可知，BD⊥PE，从而∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角．

由题设可得，

PH=PA•sin60°

=，AH=PA•cos60°

=1，

BH=AB﹣AH=2，BD=，

HE=

于是在RT△PHE中，tanPEH=

所以二面角P﹣BD﹣A的大小为arctan．

20．（12分）（2008•天津）已知函数，其中a，b∈R．

（Ⅰ）根据导数的几何意义即为点的斜率，再根据f（x）在点P（2，f

（2））处的切线方程为y=3x+1，解出a值；

（Ⅱ）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，因极值点含a，需要分类讨论它的单调性；

（Ⅲ）已知，恒成立的问题，要根据（Ⅱ）的单调区间，求出f（x）的最大值，让f（x）的最大值小于10就可以了，从而解出b值．

（Ⅰ）解：

，由导数的几何意义得f'

（2）=3，于是a=﹣8．

由切点P（2，f

（2））在直线y=3x+1上可得﹣2+b=7，解得b=9．

所以函数f（x）的解析式为．

当a≤0时，显然f'

（x）＞0（x≠0）．这时f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上内是增函数．

当a＞0时，令f'

（x）=0，解得．

当x变化时，f'

（x），f（x）的变化情况如下表：

x

f′（x）

+

﹣

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

所以f（x）在，内是增函数，在，（0，）内是减函数．

综上，当a≤0时，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上内是增函数；

当a＞0时，f（x）在，内是增函数，在，（0，）内是减函数．

由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值为与f

（1）的较大者，对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，当且仅当，

即，对任意的成立．

从而得，所以满足条件的b的取值范围是．

21．（14分）（2008•天津）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（﹣3，0），一条渐近线的方程是．

（1）设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线C的方程．

（2）设出直线l的方程，代入双曲线C的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标，从而得到线段MN的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围城的三角形面积，由判别式大于0，求得k的取值范围．

设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）．

由题设得，解得，所以双曲线方程为．

设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．

点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，整理得（5﹣4k2）x2﹣8kmx﹣4m2﹣20=0．

此方程有两个不等实根，于是5﹣4k2≠0，且△=（﹣8km）2+4（5﹣4k2）（4m2+20）＞0．

整理得m2+5﹣4k2＞0．③

由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足，．

从而线段MN的垂直平分线方程为．

此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，．

由题设可得．

整理得，k≠0．

将上式代入③式得，整理得（4k2﹣5）（4k2﹣|k|﹣5）＞0，k≠0．

解得或．

所以k的取值范围是．

22．（14分）（2008•天津）在数列{an}与{bn}中，a1=1，b1=4，数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1﹣（n+3）Sn=0，2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N*．

题设有a1+a2﹣4a1=0，a1=1，4a22=b2b1，b1=4，由此可求出a2，b2的值．

（Ⅱ）由题设条件猜想，bn=（n+1）2，n∈N*．再用数学归纳法进行证明．

（Ⅲ）由题设条件知．由此可以导出|Tn|＜2n2．

由题设有a1+a2﹣4a1=0，a1=1，解得a2=3．由题设又有4a22=b2b1，b1=4，解得b2=9．

由题设nSn+1﹣（n+3）Sn=0，a1=1，b1=4，及a2=3，b2=9，进一步可得a3=6，b3=16，a4=10，b4=25，猜想，bn=（n+1）2，n∈N*．

先证，n∈N*．

当n=1时，，等式成立．当n≥2时用数学归纳法证明如下：

（1）当n=2时，，等式成立．

（2）假设n=k时等式成立，即，k≥2．

由题设，kSk+1=（k+3）Sk（k﹣1）Sk=（k+2）Sk﹣1

①的两边分别减去②的两边，整理得kak+1=（k+2）ak，从而．

这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据

（1）和

（2）可知，等式对任何的n≥2成立．

综上所述，等式对任何的n∈N*都成立

再用数学归纳法证明bn=（n+1）2，n∈N*．

（1）当n=1时，b1=（1+1）2，等式成立．

（2）假设当n=k时等式成立，即bk=（k+1）2，那么．

这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据

（1）和

（2）可知，等式bn=（n+1）2对任何的n∈N*都成立．

（Ⅲ）证明：

当n=4k，k∈N*时，Tn=﹣22﹣32+42+52﹣﹣（4k﹣2）2﹣（4k﹣1）2+（4k）2+（4k+1）2．

注意到﹣（4k﹣2）2﹣（4k﹣1）2+（4k）2+（4k+1）2=32k﹣4，故4k（4k+4）﹣4k=（4k）2+3×

4k=n2+3n．

当n=4k﹣1，k∈N*时，Tn=（4k）2+3×

4k﹣（4k+1）2=（n+1）2+3（n+1）﹣（n+2）2=n

当n=4k﹣2，k∈N*时，Tn=（4k）2+3×

4k﹣（4k+1）2﹣（4k）2=3（n+2）﹣（n+3）2=﹣n2﹣3n﹣3．

当n=4k﹣3，k∈N*时，Tn=3×

4k﹣（4k+1）2+（4k﹣1）2=3（n+3）﹣（n+4）2+（n+2）2=﹣n﹣3．

从而n≥3时，有

总之，当n≥3时有，即|Tn|＜2n2．

第25页（共25页）