初二因式分解提高同步讲义Word格式文档下载.docx

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把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。

2、因式分解与整式乘法的关系

如果把整式乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程；

如果把多项式的因式分解看成一个变形过程，那么整式乘法又是多项式的因式分解的逆过程。

3、公因式的定义：

我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

4、确定公因式的方法：

确定公因式的一般步骤：

（1）如果多项式的第一项系数是负数，应把公因式的符

号取“—”；

（2）确定公因式的数字因数：

当各项系数都是整数时，取多项式各项系

数的最大公约数为公因式的系数；

（3）确定公因式的字母及其指数：

取多项式各项都

含有的相同字母（或因式），其指数取最低次。

5、提公因式法：

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多

项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

提公因式法的依据是乘法的分配律，它的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的

“逆用”。

6、公式法

（1）用平方差公式因式分解：

（2）用完全平方公式因式分解：

（3）因式分解的一般步骤：

步骤：

①有公因式先提公因式；

②没有公因式，可以尝试公式法因式分解；

③如果上述方法都不可以，可以先整理多项式，然后分解；

④必须分解到最后。

Ø

典例分析

一、因式分解的定义

例1、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　）

A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2B．m2﹣n2=（m﹣n）（m+n）

C．（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1）D．4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z

例2、若x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式，那么p+q的值等于　　．

举一反三

1、下列各式从左到右的变形为分解因式的是（　　）

A．m2﹣m﹣6=（m+2）（m﹣3）B．（m+2）（m﹣3）=m2﹣m﹣6

C．x2+8x﹣9=（x+3）（x﹣3）+8xD．x2+1=x（x+

）

2、已知多项式x2+7xy+my2﹣5x+43y﹣24可分解成x、y的两个一次因式，则实数m=　　．

3、先阅读第

（1）题的解答过程，然后再解第

（2）题．

（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．

解法一：

设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），

则：

2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b

比较系数得

，解得

，∴

解法二：

设2x3﹣x2+m=A•（2x+1）（A为整式）

由于上式为恒等式，为方便计算了取

，2×

=0，故

．

（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．

二、提公因式法

例1、计算a2（2a）3﹣a（3a+8a4）的结果是（　　）

A．3a2B．﹣3aC．﹣3a2D．16a5

例2、先化简，再求值：

（1）2（a2b﹣ab2）﹣3（a2b﹣1）+2ab2+1，其中a=1，b=2．

（2）2a（a+b）﹣（a+b）2，其中a=3，b=5．

1、把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（　　）

A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y）B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）

C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y）D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）

2、已知a=3+2

，b=3﹣2

，则代数式ab2﹣a2b的值是　　．

3、阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x（x+1）+x（x+1）2

（1+x）[1+x+x（x+1）]

=（1+x）2（1+x）

=（1+x）3

（1）上述分解因式的方法是　　，共应用了　次．

（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）3，则需用上述方法3次，结果是　．

（3）分解因式：

1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）结果是　．

三、公式法

例1、已知：

a=2014x+2015，b=2014x+2016，c=2014x+2017，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）

A．0B．1C．2D．3

例2、若a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，则a2+b2=　　．

1、把多项式x2+ax+b分解因式，得（x﹣1）（x+3），则a，b的值分别是（　　）

A．a=2，b=3B．a=2，b=﹣3

C．a=﹣2，b=3D．a=﹣2，b=﹣3

2、分解因式：

（a+b）2﹣12（a+b）+36=　　．

3、阅读与思考：

整式乘法与因式分解是方向相反的变形

由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；

利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，

例如：

将式子x2+3x+2分解因式．

分析：

这个式子的常数项2=1×

2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×

2．

解：

x2+3x+2=（x+1）（x+2）

请仿照上面的方法，解答下列问题

（1）分解因式：

x2+7x﹣18=　　

启发应用

（2）利用因式分解法解方程：

x2﹣6x+8=0；

（3）填空：

若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是　　．

课堂闯关

初出茅庐

建议用时：

10分钟

1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）

A．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9B．

C．a2﹣4a﹣5=a（a﹣4）﹣5D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）

2、下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）

A．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4B．x2﹣4=（x+2）（x﹣2）

C．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3xD．x2+4=（x+2）2

3、将m2（a﹣2）+m（a﹣2）分解因式的结果是（　　）

A．（a﹣2）（m2﹣m）B．m（a﹣2）（m﹣1）

C．m（a﹣2）（m+1）D．m（2﹣a）（m﹣1）

4、多项式﹣2x2﹣12xy2+8xy3的公因式是（　　）

A．2xyB．24x2y3C．﹣2xD．以上都不对

5、对下列各整式因式分解正确的是（　　）

A．2x2﹣x+1=x（2x﹣1）+1B．x2﹣2x﹣1=（x2﹣1）2

C．2x2﹣xy﹣x=2x（x﹣y﹣1）D．x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）

6、10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜x1局，负y1局；

第二名胜x2局，负y2局；

…；

第十名胜x10局，负y10局，若记M=x12+x22+…+x102，N=y12+y22+…+y102，则（　　）

A．M＜NB．M＞N

C．M=ND．M、N的大小关系不确定

7、由（x﹣2）（x﹣1）=x2﹣3x+2，则x2﹣3x+2分解因式为　　．

8、若4a2+kab+9b2可以因式分解为（2a﹣3b）2，则k的值为　　．

9、分解因式：

3a3﹣12a2b+12ab2=　　．

10、分解因式：

﹣2xy2+8xy﹣8x=　　．

优学学霸

15分钟

1、仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：

已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n

∴n+3=﹣4，m=3n，解得：

n=﹣7，m=﹣21

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．

问题：

（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=　　；

（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=　；

（3）仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．

2、先化简，再求值：

（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．

（2）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1．

3、“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：

ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）．

例：

分解因式：

x2﹣2xy﹣8y2．

如图1，其中1=1×

1，﹣8=（﹣4）×

2，而﹣2=1×

2+1×

（﹣4）．

∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y）

而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；

x2+2xy﹣3y2+3x+y+2

如图3，其中1=1×

1，﹣3=（﹣1）×

3，2=1×

2；

而2=1×

3+1×

（﹣1），1=（﹣1）×

2+3×

1，3=1×

1；

∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）

请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：

①6x2﹣17xy+12y2=　　

②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=　　

③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=　　

（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．

考场直播

1、【2016春•深圳期末】仔细阅读下面例题，解答问题：

设另一个因式为（x+n），得

x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）

则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n

∴

解得：

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21

仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．

2、【2015•深圳】因式分解：

（1）6xy2﹣9x2y﹣y3

（2）（p﹣4）（p+1）+3p．

自我挑战

30分钟

1、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）

A．2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2

C．x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1）D．x2+y2=（x﹣y）2+2xy

2、下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　）

A．m（a+b）=ma+mbB．a2﹣a=2=a（a﹣1）﹣2

C．﹣4a2+9b2=（﹣2a+3b）（2a+3b）D．x2﹣

=（x﹣

）（x+

3、多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是（　　）

A．5mx2B．﹣5mx3C．mxD．﹣5mx

4、多项式18a2b2﹣12a3b2c﹣6ab2的公因式是（　　）

A．﹣6ab2B．﹣6ab2cC．﹣ab2D．﹣6a3b2c

5、下列因式分解正确的是（　　）

A．m2+n2=（m+n）（m﹣n）B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2

C．a2﹣a=a（a﹣1）D．a2+2a+1=a（a+2）+1

6、因式分解的结果是（x+y﹣z）（x﹣y+z）的多项式是（　　）

A．x2﹣（y+z）2B．（x﹣y）2﹣z2C．﹣（x﹣y）2+z2D．x2﹣（y﹣z）2

7、多项式xn﹣yn因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），则n=　　．

8、因式分解：

6x3y﹣12xy2+3xy=　　．

（3a﹣b）（a+b）﹣ab﹣b2=　　．

10、把下列各式分解因式：

（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）

（2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3．

11、下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．

设x2﹣4x=y，

原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）

=y2+8y+16（第二步）

=（y+4）2（第三步）

=（x2﹣4x+4）2（第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　　．

A．提取公因式B．平方差公式

C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？

　．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．