二次函数的概念教学设计Word文档格式.docx
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问题1.现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？
小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？
问题2.很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：
投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？
怎样计算篮球达到最高点时的高度？
师：
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”
（板书课题）
（二）合作学习，探索新知
请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：
（1）面积y（cm2）与圆的半径x（cm）
（2）王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文x两年后王先生共得本息y元;
（3）拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为120cm,室内通道的尺寸如图,设一条边长为x（cm）,种植面积为y（m2）
（1）教师组织合作学习活动：
1求，尝试写出y与x之间的函数解析式。
2述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。
（1）
（2）y=2000（1+x）2=20000x2+40000x+20000
（3）y=（60-x-4）（x-2）=-x2+58x-112
（2）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
让学生充分发表意见，提出各自看法。
上述三个函数解析式经化简后都具y=ax²
+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）的形式。
下面我们给出二次函数的定义：
我们把形如y=ax²
+bx+c（其中a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadraticfuncion）；
称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
（3）做一做
在学习完二次函数的定义之后，我们给出几道练习题，让同学们通过习题来巩固所学的知识点。
1列函数中，哪些是二次函数？
（2）
（3）
（2）（4）
（5）
2别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（3）
（4）例题示范，了解规律
例一若函数
为二次函数，则m的值为。
分析：
要使函数为二次函数，则二次项系数不为零，且最高项次数为2.
解：
且
解得
或
所以
例二：
如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。
设AE=BF=CG=DH=x（cm）,四边形EFGH的面积为y（cm2）,求：
y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围。
（1）学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨；
（2）对于这问题可以用多种方法解答，比如：
求差法：
四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积的4倍。
直接法：
先证明四边形EFGH是正方形，再由勾股定理求出EH2
（3）对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。
解：
=
随堂练习：
1．下列函数中，哪些是二次函数？
若是,分别指出二次项系数，一次项系数，常数项；
（1）y=3（x-1）²
+1
（2）y=x+
（3）s=3-2t²
（4）y=（x+3）²
-x²
2．已知函数
是二次函数，求m的值；
3．已知二次函数
，当x=3时，y=-5，当x=-5时，求y的值；
4．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y；
5．用20米的篱笆围一个矩形的花圃，设连墙的一边为x，矩形的面积为y，求：
（1）写出y关于x的函数关系式.
（2）当x=3时,矩形的面积为多少?
（五）作业布置
必做题：
123
选做题：
24
（六）板书设计
二次函数的概念
一、二次函数的定义
例题讲解与习题练习
（七）教学反思
重点总结二次函数概念的形成过程、本质特征和初步的应用，以及本节课所应用到的思想与方法。
使学生对本节课的整体有所把握，了解新旧知识的区别与联系，及新知的形成过程，提炼出思想方法，使学生的思维得以升华。
探索问题1、
用周长为20m的篱笆围成矩形场地，场地面积y（m²
）与矩形一边长x（m）之间的关系是什么？
由学生认真思考并与同桌交流，然后回答下面的问题
1设矩形靠墙的一边AB的长ｘｍ，矩形的面积yｍ2．
能用含x的代数式来表示y吗？
2
试填表（见课本）
3
x的值可以任意取？
有限定范围吗？
4
我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式
探究问题2
某商店将每件商品进价为8元的商品按每10元出售，一天可售出约100件。
该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。
经市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。
将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
1
设每件商品降低x元，该商品每天的利润为y，y是x的函数吗？
x的值有限定吗？
怎样写出该关系式？
教师提问：
以上两个例子所列出的函数有声么特点，学生观察并讨论。
【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，对比一次函数归纳出二次函数的定义
三、讲解新课
引入二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数）的函数叫做二次函数。
巩固对二次函数概念的理解：
提问：
1．上述概念中的a为什么不能是0？
2.对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？
若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？
你认为它们还是不是二次函数？
思考：
1.
由问题1和2你认为判断二次函数的关键是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是：
看二次项的系数是否为0．
2.
二次函数的一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有什么联系和区别？
联系
（1）等式一边都是ax2+bx+c且
a≠0
（2）方程ax2+bx+c可以看成是函数y=ax2+bx+c中y=0时得到的.
区别:
前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0
【设计意图】这里强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解，掌握其特征，为接下来的判断二次函数做好铺垫。
例1:
下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=3x-1
（
）
（2）y=3x2
（
）
（3）y=3x3+2x-2（
（4）y=2x2-2x+1（
）
（5）y=x-2+x
（6）y=x2-x（1+x）（
例2:
m取何值时，函数y=（m+1）x
m2—2m-1+（m-3）x+m
是二次函数？
根据题意得
m2—2m-1=2
且
m+1≠0
∴m=3
【设计意图】理论学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中。
跟进练习：
四、巩固练习
1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10cm。
（1）当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积；
（2）设这个直角三角形的面积为Scm2,其中一条直角边为xcm，求S关于x的函数关系式。
【设计意图】此题由具体数据逐步过渡到用字母表示关系式，让学生经历由具体到抽象的过程，从而降低学生学习的难度。
2.已知正方体的棱长为xcm,它的表面积为Scm2,体积为Vcm3。
（1）分别写出S与x，V与x之间的函数关系式子；
（2）这两个函数中，那个是x的二次函数？
【设计意图】简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数。
通过简单题目的练习，让学生体验到成功的欢愉，激发他们学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。
3.设圆柱的高为h（cm）是常量，底面半径为rcm，底面周长为Ccm，圆柱的体积为Vcm3
（1）分别写出C关于r；
V关于r的函数关系式；
（2）两个函数中，都是二次函数吗？
【设计意图】此题要求学生熟记圆柱体积和底面周长公式，在这儿相当于做了一次复习，并与今天所学知识联系起来。
4.篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y（m2）与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
【设计意图】此题较前面几题稍微复杂些，旨在让学生能够开动脑筋，积极思考，让学生能够“跳一跳，够得到”。
五、小结思考：
本节课你有哪些收获？
还有什么不清楚的地方?
【设计意图】让学生来谈本节课的收获，培养学生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化。
而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充。
六、作业布置：
1.正方形的边长为4，如果边长增加x，则面积增加y，求y关于x的函数关系式。
这个函数是二次函数吗？
2.在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y（cm2）与正方形边长x（cm）之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。
1.已知函数是二次函数，求m的值。
2.试在平面直角坐标系画出二次函数y=x2和y=-x2图象
【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，体现新课标人人学有价值的数学，不同的人得到不同的发展。
另外补充第4题，旨在激发学生继续学习二次函数图象的兴趣。
七、板书设计
二次函数
一、复习提问，情境导入
1、复习提问：
1、2、3、
2、情境引入：
探究1探究2
二、二次函数的定义：
三、例1例2
四、课堂练习：
1、2、3、4
五、小结：
六、作业布置：
（一）复习提问
1．什么叫函数？
我们之前学过了那些函数？
（一次函数，正比例函数，反比例函数）
2．它们的形式是怎样的?
（y=kx+b，k≠0；
y=kx,k≠0；
y=
k≠0）
3．一次函数（y=kx+b）的自变量是什么？
函数是什么？
常量是什么？
为什么要有k≠0的条件？
k值对函数性质有什么影响？
【设计意图】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．
（二）引入新课
函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。
看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。
（电脑演示）
例1、
（1）圆的半径是r（cm）时，面积s（cm²
）与半径之间的关系是什么?
s=πr²
（r>
0）
例2、用周长为20m的篱笆围成矩形场地，场地面积y（m²
y=x（20/2-x）=x（10-x）=-x²
+10x（0<
x<
10）
例3、设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。
如果存款额是100元，那么请问两年后的本息和y（元）与x之间的关系是什么（不考虑利息税）?
y=100（1+x）²
=100（x²
＋2x+1）
=100x²
+200x+100（0<
1）
以上三个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点？
【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数与一次函数的联系：
（1）函数解析式均为整式（这表明这种函数与一次函数有共同的特征）。
（2）自变量的最高次数是2（这与一次函数不同）。
（三）讲解新课
以上函数不同于我们所学过的一次函数，正比例函数，反比例函数，我们就把这种函数称为二次函数。
二次函数的定义：
1、强调“形如”，即由形来定义函数名称。
二次函数即y是关于x的二次多项式（关于的x代数式一定要是整式）。
2、在y=ax2+bx+c中自变量是x，它的取值范围是一切实数。
但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。
（如例1中要求r>
3、为什么二次函数定义中要求a≠0？
（若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了）
4、在例3中，二次函数y=100x2＋200x＋100中，a=100，b=200，c=100．
5、b和c是否可以为零？
由例1可知，b和c均可为零．
若b=0，则y=ax2＋c；
若c=0，则y=ax2＋bx；
若b=c=0，则y=ax2．
注明：
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式．
判断：
下列函数中哪些是二次函数？
哪些不是二次函数？
若是二次函数，指出a、b、c．
（1）y=3（x-1）²
+1
（2）
（3）s=3-2t²
（4）y=（x+3）²
-x²
（5）s=10πr²
（6）y=2²
+2x
（8）y=x4＋2x2＋1（可指出y是关于x2的二次函数）
（四）巩固练习
（2）设这个直角三角形的面积为Scm2,其中一条直角边为xcm，求S关
于x的函数关系式。
（1）分别写出S与x，V与x之间的函数关系式子；
（2）这两个函数中，那个是x的二次函数？
（1）分别写出C关于r；
（2）两个函数中，都是二次函数吗？
（五）拓展延伸
1.已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当x=0时，y=0；
x=1时，y=2；
x=-1时，y=1．求a、b、c，并写出函数解析式．
【设计意图】在此稍微渗透简单的用待定系数法求二次函数解析式的问题，为下节课的教学做个铺垫。
2.确定下列函数中k的值
（1）如果函数y=xk^2-3k+2+kx+1是二次函数,则k的值一定是______
（2）如果函数y=（k-3）xk^2-3k+2+kx+1是二次函数,则k的值一定是______
【设计意图】此题着重复习二次函数的特征：
自变量的最高次数为2次，且二次项系数不为0.
（六）小结思考：
（七）作业布置：
2.在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y（cm2）与正方形边长x（cm）之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。
1.已知函数
是二次函数，求m的值。
2.试在平面直角坐标系画出二次函数y=x2和y=-x2图象
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